第第頁高考數學天津卷3年（2023-2023）真題分類匯編-平面解析幾何中小學教育資源及組卷應用平臺

高考數學天津卷3年（2023-2023）真題分類匯編-平面解析幾何

一、單選題

1．（2023·天津·統考高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）

A．B．

C．D．

2．（2022·天津·統考高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（）

A．B．

C．D．

3．（2023·天津·統考高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（）

A．B．C．2D．3

二、填空題

4．（2023·天津·統考高考真題）過原點的一條直線與圓相切，交曲線于點，若，則的值為．

5．（2022·天津·統考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則．

6．（2023·天津·統考高考真題）若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則．

三、解答題

7．（2023·天津·統考高考真題）設橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．

(1)求橢圓方程及其離心率；

(2)已知點是橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．

8．（2022·天津·統考高考真題）橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．

(1)求橢圓的離心率；

(2)直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．

9．（2023·天津·統考高考真題）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．若，求直線的方程．

參考答案：

1．D

【分析】先由點到直線的距離公式求出，設，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.

【詳解】如圖，

因為，不妨設漸近線方程為，即，

所以，

所以.

設,則，所以，所以.

因為,所以，所以，所以，

所以，

因為，

所以，

所以，解得，

所以雙曲線的方程為

故選：D

2．C

【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標，分析可得，由此可得出關于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.

【詳解】拋物線的準線方程為，則，則、，

不妨設點為第二象限內的點，聯立，可得，即點，

因為且，則為等腰直角三角形，

且，即，可得，

所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.

故選：C.

3．A

【分析】設公共焦點為，進而可得準線為，代入雙曲線及漸近線方程，結合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.

【詳解】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，

則拋物線的準線為，

令，則，解得，所以,

又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，

所以，即，所以，

所以雙曲線的離心率.

故選：A.

4．

【分析】根據圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，即可根據直線與圓的位置關系，直線與拋物線的位置關系解出．

【詳解】易知圓和曲線關于軸對稱，不妨設切線方程為，，

所以，解得：，由解得：或，

所以，解得：．

當時，同理可得．

故答案為：．

5．

【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關于的等式，即可解得的值.

【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，

圓心到直線的距離為，

由勾股定理可得，因為，解得.

故答案為：.

6．

【分析】設直線的方程為，則點，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.

【詳解】設直線的方程為，則點，

由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，

則，解得或，所以，

因為，故.

故答案為：.

7．(1)橢圓的方程為，離心率為.

(2).

【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.

（2）先設直線的方程，與橢圓方程聯立，消去，再由韋達定理可得，從而得到點和點坐標.由得，即可得到關于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.

【詳解】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，

所以橢圓的方程為，離心率為.

（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，

設直線的方程為，

聯立方程組，消去整理得：，

由韋達定理得，所以，

所以，.

所以,,，

所以，

所以，即，

解得，所以直線的方程為.

8．(1)

(2)

【分析】（1）根據已知條件可得出關于、的等量關系，由此可求得該橢圓的離心率的值；

（2）由（1）可知橢圓的方程為，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯立，由可得出，求出點的坐標，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.

【詳解】（1）解：，

離心率為.

（2）解：由（1）可知橢圓的方程為，

易知直線的斜率存在，設直線的方程為，

聯立得，

由，①

，，

由可得，②

由可得，③

聯立①②③可得，，，故橢圓的標準方程為．

9．（1）；（2）.

【分析】（1）求出的值，結合的值可得出的值，進而可得出橢圓的方程；

（2）設點，分析出直線的方程為，求出點的坐標，根據可得出，求出、的值，即可得出直線的方程.

【詳解】（1）易知點、，故，

因為橢圓的離心率為，故，，

因此，橢圓的方程為；

（2）設點為橢圓上一點，

先證明直線的方程為，

聯立，消去并整理得，，

因此，橢圓在點處的切線方程為.

在直線的方程中，令，可得，由題意可知，即點，

直線的斜率為，所以，直線的方程為，

在直線的方程中，令，可得，即點，

因為，則，即，整理可得，

所以，，因為，，故，，

所以，直線的方程為，即.

【點睛】結論點睛：在利用橢圓的切線方程