第第頁人教B版高中數學必修第三冊7．2.4誘導公式課件（2份打包）(共38張PPT)

第2課時誘導公式五、六、七、八

新知初探·自主學習

課堂探究·素養提升

【課程標準】

借助單位圓的對稱性，利用三角函數的定義推導出誘導公式(－α、α＋、α＋、－α的正弦、余弦)．

新知初探·自主學習

教材要點

知識點一誘導公式五

α與－α的三角函數間的關系：

sin(－α)＝________，cos(－α)＝________．

cosα

sinα

狀元隨筆(1)角－α與角α的終邊有什么樣的位置關系？

[提示]角－α與角α的終邊關于y＝x對稱．

(2)點P1(a，b)關于y＝x對稱的對稱點坐標是什么？

[提示]點P1(a，b)關于y＝x對稱的對稱點坐標是P2(b，a)．

知識點二誘導公式六

α與α＋的三角函數間的關系：

sin(α＋)＝________，cos(α＋)＝________．

知識點三誘導公式七

α與α＋的三角函數間的關系：

sin(α＋)＝________，cos(α＋)＝________．

知識點四誘導公式八

α與－α的三角函數間的關系：

sin(－α)＝________，cos(－α)＝________．

cosα

－sinα

－cosα

sinα

－cosα

－sinα

狀元隨筆各組誘導公式雖然形式不同，但存在著一定的規律，有人把它概括為“奇變偶不變，符號看象限”，你理解這句話的含義嗎？

[提示]誘導公式可以歸納為k·＋α(k∈Z)的三角函數值．當k為偶數時，得α的同名三角函數值；當k為奇數時，得α的異名三角函數值．然后，在前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號，概括為“奇變偶不變，符號看象限”．值得注意的是，這里的奇和偶分別指的是的奇數倍或偶數倍；符號看象限指的是等式右邊的正負號恰為把α看成銳角時，原函數值的符號．

基礎自測

1．sin585°的值為()

A．－B．

C．－D．

答案：A

解析：sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)

＝－sin45°＝－.故選A.

2．已知sin40°＝a，則cos130°＝()

A．aB．－a

C．D．－

答案：B

解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.

3．若cos(＋θ)>0，且sin(－θ)0，所以sinθ＝cosA，故錯誤；

對于D，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，由C為銳角，可得：cosC>0，

可得：cos(A＋B)＝－cosC<cosC，正確．

狀元隨筆因為角A，B，C是銳角三角形的三個內角，所以角A，B，C內角和為180°且均小于90°.

方法歸納

(1)已知一個角的某種三角函數值，求這個角的其他三角函數值，若給定具體數值，但未指定角α的取值范圍，就要進行討論．

(2)常見的互余關系有：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等．

(3)常見的互補關系有：＋θ與－θ；＋θ與－θ等．

跟蹤訓練2(1)已知sinα＝，α∈(0，)，那么cos(π－α)等于()

A．－B．－

C．D．

先根據誘導公式將待求式子化簡，然后根據平方和為1去計算相應結果．

答案：B

解析：因為cos(π－α)＝－cosα；

又因為sin2α＋cos2α＝1且α∈(0，)，所以cosα＝＝，所以cos(π－α)＝－，故選B.

(2)若α∈(0，)，sin(＋α)＝，則cos(＋α)＝()

A．－B．

C．－D．

答案：D

解析：因為sin(＋α)＝cosα＝，α∈(0，)，

所以sinα＝＝，

所以cos(＋α)＝sinα＝.

(3)在△ABC中，sin(－A)＝3sin(π－A)，cosA＝－cos(π－B)，則△ABC為()

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等邊三角形

答案：B

解析：由sin(－A)＝3sin(π－A)可得cosA＝3sinA，即tanA＝，又0題型3利用誘導公式化簡三角函數式

【思考探究】1.利用誘導公式能否直接寫出sin(kπ＋α)的值？

[提示]不能．因為k是奇數還是偶數不確定．

當k是奇數時，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；

當k是偶數時，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.

2．如何化簡tan(π＋α)呢？

[提示]當k為奇數時，即k＝2n＋1(n∈Z)，

tan(＋α)＝tan(＋α)＝＝＝；

當k為偶數時，即k＝2n(n∈Z)，tan(＋α)＝tanα.

綜上，tan(＋α)＝

例3已知α是第三象限角，f(α)＝.

(1)化簡f(α)；

(2)已知f(α)＝－，求cosα－sinα的值．

【解析】(1)f(α)＝

＝

＝－tanα.

(2)由(1)f(α)＝－tanα＝－，知tanα＝，

因為α是第三象限角，所以α＝(2k＋1)π＋，k∈Z，

則sinα＝sin[(2k＋1)π＋]＝－sin＝－，

cosα＝cos[(2k＋1)π＋]＝－cos＝－，

所以cosα－sinα＝.

狀元隨筆(1)用誘導公式化簡f(α)；

(2)由正切值求出角α，然后計算sinα，cosα即得．

方法歸納

誘導公式綜合應用要“三看”

一看角：①化大為小；②看角與角間的聯系，可通過相加、相減分析兩角的關系．

二看函數名稱：一般是弦切互化．

三看式子結構：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．

跟蹤訓練3化簡(n∈Z)的結果為___________．

解析：①當n＝2k(k∈Z)時，

原式＝＝

＝－sinα.

②當n＝2k＋1(k∈Z)時，

原式＝

＝＝sinα.

所以化簡所得的結果為(－1)n＋1sinα.

(－1)n＋1sinα

教材反思

(1)誘導公式分類歸納：

①誘導公式一～四反映的是角π±α，2kπ±α，－α與α的三角函數值之間的關系，可借用口訣“函數名不變，符號看象限”來記憶．

②誘導公式五～八反映的是角±α與α的三角函數值之間的關系．可借用口訣“函數名改變，符號看象限”來記憶．

(2)誘導公式共同特征

①誘導公式一～四揭示了終邊具有某種對稱關系的兩個角的三角函數之間的關系．

②這八組誘導公式可歸納為“k·±α(k∈Z)”的三角函數值與α的三角函數值之間的關系．當k為偶數時得角α的同名三角函數值，當k為奇數時得角α的異名三角函數值．然后在前面加上一個把角α看成銳角時原三角函數值的符號．可簡記為“奇變偶不變，符號看象限”．

③誘導公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個單角，也可以是一個復角，應用時要注意整體把握，靈活變通．(共39張PPT)

第1課時誘導公式一、二、三、四

新知初探·自主學習

課堂探究·素養提升

【課程標準】

借助單位圓的對稱性，利用三角函數的定義推導出誘導公式(α＋2kπ，π±α，－α的正弦、余弦、正切)．

新知初探·自主學習

教材要點

知識點一誘導公式一

sin(α＋k·2π)＝____________

cos(α＋k·2π)＝____________

tan(α＋k·2π)＝____________

sinα

cosα

tanα

知識點二角的旋轉、對稱

如圖，已知角α的終邊為OA，將射線OA逆時針旋轉θ到OB，順時針旋轉θ到OC；

則射線OB是____________，射線OC是____________，所以角α＋θ的終邊與角α－θ的終邊關于角α的終邊所在的直線________．

角α＋θ的終邊

角α－θ的終邊

對稱

狀元隨筆角的正負與旋轉方向之間的關系是什么？

[提示]將射線逆時針方向旋轉得到正角，順時針方向旋轉得到負角．

知識點三誘導公式二

sin(－α)＝____________

cos(－α)＝____________

tan(－α)＝____________

－sinα

cosα

－tanα

狀元隨筆角－α的終邊與角α的終邊有什么關系？角－α的終邊與單位圓的交點P2(cos(－α)，sin(－α))與點P(cosα，sinα)有怎樣的關系？

[提示]角－α的終邊與角α的終邊關于x軸對稱，P2與P也關于x軸對稱．

知識點四誘導公式三

sin(π－α)＝____________

cos(π－α)＝____________

tan(π－α)＝____________

sinα

－cosα

－tanα

狀元隨筆角π－α的終邊與角α的終邊有什么關系？角π－α的終邊與單位圓的交點P3(cos(π－α)，sin(π－α))與點P(cosα，sinα)有怎樣的關系？

[提示]角π－α的終邊與角α的終邊關于y軸對稱，P3與P也關于y軸對稱．

知識點五誘導公式四

sin(π＋α)＝____________

cos(π＋α)＝____________

tan(π＋α)＝____________

－sinα

－cosα

tanα

狀元隨筆角π＋α的終邊與角α的終邊有什么關系？角π＋α的終邊與單位圓的交點P4(cos(π＋α)，sin(π＋α))與點P(cosα，sinα)有怎樣的關系？

[提示]角π＋α的終邊與角α的終邊關于原點對稱；P4與P也關于原點對稱．

基礎自測

1．sin(－30°)的值是()

A．B．－

C．D．－

答案：B

解析：sin(－30°)＝－sin30°＝－.

2．cos(－)的值為()

A．B．－

C．D．

答案：A

解析：cos(－)＝cos(－14π＋)＝cos＝.

3．cos(－π)－sin(－π)＝________．

解析：cos(－π)－sin(－π)＝cosπ＋sinπ＝cos(4π＋)＋sin(4π＋)＝cos＋sin＝＝.

4．tan225°＝()

A．1B．－1

C．D．－

答案：A

解析：tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1.

課堂探究·素養提升

題型1利用誘導公式給角求值問題

例1計算：

(1)sin(－)tan－cos·tan(－)；

(2)sin(－)＋cos·tan4π；

(3)cos＋tan(－)；

(4)sin·cos·tan；

先化負角為正角，再將大于360°的角化為0°到360°內的角，進而利用誘導公式求得結果．

【解析】(1)原式＝(－sin)·tan(2π＋)－cos(2π＋)·tan(－5×2π－)

＝－sin(3×2π＋)·tan－cos·tan(－)

＝－×(－1)＝0.

(2)原式＝－sin＋cos·tan0

＝－sin(2π＋)＋0＝－sin＝－.

(3)原式＝cos(8π＋)－tan

＝cos－tan(4π＋)

＝－tan＝－1＝－.

(4)原式＝sin·cos(2π＋)·tan(4π＋)

＝sin·cos·tan

＝sin(π＋)·cos(π＋)·tan(π＋)

＝(－sin)·(－cos)·tan＝(－)×(－)×1＝.

(5)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊

關于y軸對稱，若sinα＝，sinβ＝________.

【解析】因為角α與角β均以Ox為始邊，

它們的終邊關于y軸對稱，

所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，所以β＝π＋2kπ－α.

sinβ＝sin(π＋2kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα＝.

方法歸納

利用誘導公式求任意角三角函數值的步驟

(1)“負化正”：用誘導公式一或二來轉化．

(2)“大化小”：用誘導公式一將角化為0°到360°間的角．

(3)“小化銳”：用誘導公式二或四將大于90°的角轉化為銳角．

(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數后求值．

跟蹤訓練1求下列各式的值：

(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；

(2)sin(－)·cos·tan.

解析：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)

＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°

＝＝＝.

(2)原式＝sin(－4π＋)·cos(4π－)·tan(6π＋)＝sin·cos(－)·tan

＝sin(π＋)·cos·tan

＝－sin·cos·tan

＝－＝－.

題型2利用誘導公式給值(式)求值問題(數學運算)

例2(1)已知cos(－70°)＝k，那么tan110°＝()

A．B．－

C．－D．

【解析】因為cos(－70°)＝k，

所以sin(－70°)＝－＝－，

所以tan(－70°)＝＝.

所以tan110°＝tan(180°－70°)＝tan(－70°)＝.

【答案】B

(2)已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，則cos(α－2π)的值是()

A．－B．

C．±D．

【解析】由sin(π＋α)＝，得sinα＝－，

而cos(α－2π)＝cosα，且α是第四象限角，

所以cosα＝＝.

【答案】B

狀元隨筆(1)110°＝180°－70°，結合誘導公式求解．

(2)由sin(π＋α)＝求得sinα，又cos(α－2π)＝cosα，結合α的范圍求得結果．

方法歸納

解決給值求值問題的策略

(1)解決給值求值問題，首先要仔細觀察條件式與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的差異及聯系．

(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．

(3)經常出現α＋或α－；α＋或－α＋等這樣的角，通常是利用“整體思想”，一般把含有參變量的兩個角相加或相減，尋找兩個角之間的關系，如(α＋)－(α－)＝2π；(α＋)＋(－α＋)＝π，然后將所求用已知和π的形式表示出來并求解．

跟蹤訓練2(1)若cos165°＝a，則tan195°＝()

A．B．－

C．D．

答案：B

解析：cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝a，

故cos15°＝－a(a<0)，得sin15°＝，

tan195°＝tan(180°＋15°)＝tan15°＝.

(2)已知cos(－α)＝，求cos(＋α)－sin2(α－)的值．

解析：因為cos(＋α)＝cos[π－(－α)]

＝－cos(－α)＝－，

sin2(α－)＝sin2(－α)＝1－cos2(－α)＝1－()2＝，

所以cos(＋α)－sin2(α－)＝－＝－.

題型3利用誘導公式化簡求值

例3化簡：；

【解析】原式＝

＝＝

＝＝－1.

(2)計算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________；

【解析】原式＝cos＋cos＋