專題四平衡中的極值和臨界問題——精剖細解預(yù)習講義學問點1：平衡中的極值和臨界問題1、靜態(tài)平衡和動態(tài)平衡靜態(tài)平衡v=0，a=0；靜止與速度v＝0不是一回事。物體保持靜止狀態(tài)，說明v＝0，a＝0，兩者同時成立。假設(shè)僅是v＝0，a≠0，如自由下落開頭時刻的物體，并非處于平衡狀態(tài)。動態(tài)平衡v≠0，a=0。瞬時速度為0時，不肯定處于平衡狀態(tài)，如豎直上拋最高點。只有能保持靜止狀態(tài)而加速度也為零才能認為平衡狀態(tài)。物理學中的“緩慢移動〞一般可理解為動態(tài)平衡。動態(tài)平衡：通過掌握某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢地變化，物體在這一變化過程中始終處于一系列的平衡狀態(tài)中，這種平衡稱為動態(tài)平衡。動態(tài)平衡的根本思路：化“動〞為“靜〞，“靜〞中求“動〞。2、靜態(tài)平衡的分析方法方法內(nèi)容合成法物體受三個共點力的作用而平衡，那么任意兩個力的合力肯定與第三個力大小相等，方向相反。分解法物體受三個共點力的作用而平衡，將某一個力按力的效果分解，那么其分力和其他兩個力滿意平衡條件。正交分解法物體受到三個或三個以上力的作用而平衡，將物體所受的力分解為相互垂直的兩組，每組力都滿意平衡條件。力的三角形法對受三個力作用而平衡的物體，將力的矢量圖平移使三個力組成一個首尾依次相接的矢量三角形，依據(jù)正弦定理、余弦定理或相像三角形等數(shù)學學問求解未知力。3、動態(tài)平衡分析方法解析法假如物體受到多個力的作用，可進行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函數(shù)關(guān)系，依據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。還可由數(shù)學學問求極值或者依據(jù)物理臨界條件求極值。圖解法一個力恒定、另一個力的方向恒定時可用此法．由三角形中邊長的變化知力的大小的變化，還可推斷出極值。相像三角形法一個力恒定、另外兩個力的方向同時變化，當所作“力的矢量三角形〞與空間的某個“幾何三角形〞總相像時用此法。4、平衡中的臨界極值問題臨界或極值條件的標志：有些題目中有“剛好〞、“恰好〞、“正好〞等字眼，明顯說明題述的過程存在著臨界點。假設(shè)題目中有“取值范圍〞、“多長時間〞、“多大距離〞等詞語，說明題述的過程存在著“起止點〞，而這些起止點往往就對應(yīng)臨界狀態(tài)。假設(shè)題目中有“最大〞、“最小〞、“至多〞、“至少〞等字眼，說明題述的過程存在著極值，這個極值點往往是臨界點。假設(shè)題目要求“最終加速度〞、“穩(wěn)定加速度〞等，即是求收尾加速度或收尾速度。5、解決動力學臨界、極值問題的常用方法極限分析法一種處理臨界問題的有效方法，它是指通過恰中選取某個變化的物理量將問題推向極端〔“極大〞、“微小〞、“極右〞、“極左〞等〕，從而把比擬隱藏的臨界現(xiàn)象暴露出來，使問題明朗化，便于分析求解。臨界條件必需在變化中去查找，不能停留在一個狀態(tài)來爭論臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大和微小，并依次做出科學的推理分析，從而給出推斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。假設(shè)分析法臨界問題存在多種可能，特殊是非此即彼兩種可能時，或變化過程中可能消失臨界條件，也可能不消失臨界條件時，往往用假設(shè)法解決問題。數(shù)學極值法通過對問題的分析，依據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系或畫出函數(shù)圖象，用數(shù)學方法求極值如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值，但利用數(shù)學方法求出極值后，肯定要依據(jù)物理原理對該值的合理性及物理意義進行爭論和說明。物理分析方法依據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定那么進行動態(tài)分析，確定最大值與最小值。平衡中的臨界和極值問題分析單項選擇題1．如下圖，質(zhì)量為m的物體懸掛在輕質(zhì)支架上，斜梁OB與豎直方向的夾角為θ，設(shè)橫梁OA和斜梁OB作用于O點的彈力大小分別為F1和F2，以下結(jié)果正確的選項是〔〕A． B．C． D．【答案】D【詳解】O點的受力狀況如下圖依據(jù)幾何關(guān)系，有應(yīng)選D。2．如下圖，外表粗糙的斜面頂端安有滑輪，兩物塊P，Q用輕繩連接并跨過滑輪〔不計滑輪的質(zhì)量和摩擦〕，P懸于空中，Q放在斜面上，兩物塊和斜面均處于靜止狀態(tài)。當用沿斜面對上漸漸增大的推力推Q時，兩物塊和斜面均靜止不動，那么以下說法正確的選項是〔〕A．Q受到的摩擦力肯定變大B．繩上拉力肯定變小C．Q與斜面間的壓力肯定變大D．斜面與地面間的摩擦力肯定變大【答案】D【詳解】A．由于P、Q兩物體質(zhì)量關(guān)系不確定，所以Q相對于斜面的運動趨勢不確定，假如原來Q的運動趨勢沿斜面對下，那么增加推力之后，Q的摩擦力先減小后增加，故A錯誤；B．因物體P靜止，所受拉力必定始終等于重力，不變，故B錯誤；C．推力沿著斜面方向，并不會轉(zhuǎn)變Q對斜面的壓力，因此壓力大小始終等于Q重力垂直于斜面的分力大小，故C錯誤；D．由整體法，斜面與地面間的摩擦力肯定等于推力沿著水平方向的分力，肯定增大，故D正確；應(yīng)選D。3．如下圖，用一輕質(zhì)細繩系著一質(zhì)量為2kg的小球，細繩的另一端固定在墻壁上，為了防止小球遇到墻壁，在小球和墻壁之間放置一水平輕質(zhì)彈簧，彈簧的一端與豎直墻壁固定。小球處于靜止狀態(tài)時，細繩與豎直墻壁之間夾角為30°，重力加速度為10m/s2，小球可視為質(zhì)點，那么〔〕A．小球所受合力為20NB．細繩上的張力大小為C．彈簧處于伸長狀態(tài)，彈力大小為D．剪斷細繩瞬間小球的加速度大小為【答案】B【詳解】A.小球處于靜止狀態(tài)，合力為零，A錯誤；B.對小球進行受力分析，設(shè)細繩得拉力為T，依據(jù)共點力平衡得那么B正確；C.由受力分析得方向水平向右，彈簧處于壓縮狀態(tài)，C錯誤；D.剪斷細繩瞬間，彈簧彈力不會突變，重力不變，那么細繩的拉力為小球的合力，依據(jù)牛頓其次定律得那么D錯誤。應(yīng)選B。4．如下圖，a、b兩個小球穿在一根與水平面成角的光滑固定桿上，并用一細繩跨過光滑定滑輪相連。初始時兩球靜止，Oa繩與桿的夾角也為，Ob繩沿豎直方向。現(xiàn)沿桿緩慢向上拉動b球，至Ob與桿垂直后靜止釋放，那么〔〕A．a(chǎn)球質(zhì)量是b球的2倍B．b球返回到初始位置時，其速度是a球速度的倍C．b球返回到初始位置時，其動能是a球動能的倍D．從釋放至b球返回到初始位置，b球重力勢能減小量小于b球返回初始位置時的動能【答案】C【詳解】分別對a、b小球受力分析，如下圖A．依據(jù)共點力平衡條件可得，解得即故A錯誤；D．b球回到初始位置時，對b由于繩子拉力對b球做負功所以即D錯誤；BC．b球回到初始位置時，連接a、b兩個小球的繩子與桿的夾角分別為，此時兩球的動能為，又代入計算可得B錯誤，C正確。應(yīng)選C。5．如下圖，質(zhì)量為m、帶正電的小球A通過絕緣輕繩懸掛于O點，O點正下方用絕緣桿固定有一個帶正電的小球B，現(xiàn)讓不帶電的小球C與A接觸后離開，那么A、B兩球間的庫侖力及輕繩拉力如何變化〔〕A．庫侖力大小不變 B．庫侖力大小增大C．拉力大小不變 D．拉力大小減小【答案】C【詳解】對A球受力分析，如下圖力三角形與幾何三角形OAB相像，所以有，即，可得A的電荷量減小，因此AB變小，可知庫侖力F變小，拉力T大小不變。應(yīng)選C。6．水平固定放置的光滑圓筒橫截面如下圖，圓心為O，兩個可視為質(zhì)點的小球固定在質(zhì)量不計的剛性桿兩端，開頭時系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，與水平方向的夾角分別為37°和53°。現(xiàn)對小球a施加始終沿圓切線方向的推力F，使小球在圓簡內(nèi)緩慢移動，直到小球b到達與圓心O等高處，。以下說法正確的選項是〔〕A．質(zhì)量之比為4：3B．對a施力前，圓筒對的彈力大小之比為3：4C．移動過程桿上的彈力漸漸增加，圓筒對b的彈力漸漸增加D．b到達與圓心O等高處時，F(xiàn)的大小小于b的重力【答案】B【詳解】A．對小球a施力前，對受力分析，組成的矢量三角形如圖甲所示，由正弦定理有桿對的彈力等大反向，可得A錯誤；B．由正弦定理有由于有可得B正確；C．移動過程對b受力分析，桿對b的彈力與圓筒對b的彈力間的夾角保持不變，畫出力的矢量圖如圖乙所示，可以看出移動過程先增大后減小，當方向與豎直方向成45°角時到達最大，桿對b的彈力始終增加，小球b到達與圓心O等高處時，到達最大，C錯誤；D．小球b到達與圓心O等高處時，小球a恰好位于圓筒最低點，對小球b受力分析，此時桿對b的彈力對小球a受力分析，沿圓筒切線方向，有D錯誤。應(yīng)選B。7．擴張機的原理如下圖，A、B、C為活動鉸鏈，在A處作用一水平力，滑塊D就能在比大得多的壓力下向上頂起物體，滑塊D與左壁接觸面間的動摩擦因數(shù)為，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，假設(shè)要擴張機能夠頂起質(zhì)量為的物體，并使其上升，必需滿意的條件為〔〕A． B．C． D．【答案】A【詳解】將力分解成沿桿的兩個力、，那么桿AB頂滑塊D使滑塊與墻面之間產(chǎn)生一個垂直墻面的壓力同時給滑塊一個沿墻壁向上的力當滿意條件那么滑塊D就能在比大得多的壓力下向上頂起質(zhì)量為的物體可得，應(yīng)選A。8．2021年12月哈爾濱連降大雪，路面結(jié)冰嚴峻，行駛汽車難以準時停車，常常消失事故。因此某些路段通過在道路上灑一些爐灰來增加輪胎與地面的摩擦。如下圖，一輛運送爐灰的自卸卡車裝滿爐灰，灰粒之間的動摩擦因數(shù)為，爐灰與車廂底板的動摩擦因數(shù)為，卸灰時車廂的傾角用表示〔〕〔假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力〕以下說法正確的選項是〔〕A．要順當?shù)匦稘崈羧繝t灰，應(yīng)滿意B．要順當?shù)匦稘崈羧繝t灰，應(yīng)滿意C．只卸去局部爐灰，車上還留有一局部爐灰，應(yīng)滿意D．只卸去局部爐灰，車上還留有一局部爐灰，應(yīng)滿意【答案】C【詳解】AB．要使爐灰全部卻下，對全部沙子整體分析，有所以AB錯誤；CD．要使爐灰留下一局部，只卸去局部沙子，對留下的局部沙子分析得出對上局部沙子分析得出即D錯誤C正確。應(yīng)選C。9．如圖，滑塊A置于水平地面上，滑塊B在一水平力作用下緊靠滑塊A〔A、B接觸面豎直〕，此時A恰好不滑動，B剛好不下滑。，A與地面間的動摩擦因數(shù)為0.2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。那么A與B間的動摩擦因數(shù)是〔〕【答案】B【詳解】對A、B整體，設(shè)A與地面間的動摩擦因數(shù)為μ1，有μ1=0.2，由受力平衡可知對B物體，由受力平衡可知解得應(yīng)選B。10．如下圖，輕繩兩端分別與A、C兩物體相連接，mA=1kg，mB=2kg，mC=3kg，物體A與B、B與C間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.1，地面光滑，輕繩與滑輪間的摩擦可忽視不計，假設(shè)要用力將B物體拉動，使之向左運動，那么作用在B物體上水平向左的拉力最小為〔取g=10m/s2，物體間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力〕〔〕A．1N B．2N C．4N D．6N【答案】B【詳解】AB間的最大靜摩擦力為BC間的最大靜摩擦力為由此可知，故AB間先發(fā)生相對滑動，BC將一起向左運動，對A物體可得對BC整體可得解得應(yīng)選B。11．如下圖，物體A放在水平桌面上，通過定滑輪懸掛一個重為20N的物體B，且物體A與桌面間的最大靜摩擦力為要使A靜止，需加一水平向左的力，那么力的取值可以為〔〕A．10N B．8N C．15N D．30N【答案】C【詳解】假設(shè)摩擦力方向向右到達最大靜摩擦力，拉力最大，那么有假設(shè)摩擦力方向向左到達最大靜摩擦力，拉力最小，那么有力的取值范圍為應(yīng)選C。12．如下圖，A、B兩物體疊放在水平地面上，A物體質(zhì)量m=20kg，B物體質(zhì)量M=30kg。處于水平位置的輕彈簧一端固定于墻壁，另一端與A物體相連，輕彈簧處于自然狀態(tài)，其勁度系數(shù)為250N/m，A與B之間、B與地面之間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5。現(xiàn)有一水平推力F作用于物體B上使B緩慢地向墻壁移動，當移動0.2m時，水平推力F的大小為〔A、B之間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取10m/s2〕〔??〕A．350N B．300N C．250N D．200N【答案】B【詳解】設(shè)A、B間沒有相對滑動，那么輕彈簧的壓縮量為，此時輕彈簧的彈力大小為而A與B間的最大靜摩擦力為所以A、B之間沒有相對滑動，它們之間的摩擦力為靜摩擦力，其大小為B與地面間的摩擦力為滑動摩擦力，其大小為所以應(yīng)選B。多項選擇題13．如下圖，質(zhì)量為的滑塊A置于水平地面上，質(zhì)量為的滑塊B在一水平推力作用下緊靠滑塊A〔A、B接觸面豎直〕，此時B剛好不下滑。A與B間的動摩擦因數(shù)為〔〕，A與地面間的動摩擦因數(shù)為，重力加速度為g，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。假設(shè)在緩慢增大對B的水平推力的過程中，A始終不滑動，那么〔〕A．A與B間的摩擦力緩慢增大B．A與B間的摩擦力大小為C．A與地面間的摩擦力緩慢增大D．A與地面間的最大靜摩擦力為【答案】CD【詳解】AB．對物體受力分析，受重力、水平推力、A對B的支持力和向上的靜摩擦力，依據(jù)平衡條件，在豎直方向上有故間的靜摩擦力大小不變，AB錯誤；C．對整體分析，受重力、地面對整體的支持力、水平推力和地面的靜摩擦力，依據(jù)平衡條件，在水平方向有故隨著水平推力的增加，地面對A物塊的靜摩擦力不斷增加，C正確；D．最大靜摩擦力和滑動摩擦力相等，那么與地面間的最大靜摩擦力為D正確。應(yīng)選CD。14．如下圖，傾角的斜面C置于水平地面上，一質(zhì)量為m的小物塊B置于斜面上，通過細繩跨過光滑的定滑輪與一質(zhì)量也為m的物體A相連接，連接B的一段細繩與斜面平行。某一段時間內(nèi)A勻速下降，C處于靜止狀態(tài)。重力加速度大小為g，，，那么〔〕A．繩子的拉力大小為mg mg D．假設(shè)將細繩剪斷，B最終將停在斜面上【答案】AB【詳解】A．物體A勻速下降，依據(jù)受力平衡可知，繩子的拉力大小為故A正確；B．物體B勻速上滑，依據(jù)受力平衡可得解得動摩擦因數(shù)為故B正確；C．把B、C看成一個整體，依據(jù)受力平衡可知，C受到地面的摩擦力大小為故C錯誤；D．假設(shè)將細繩剪斷，由于可知物體B不能停在斜面上，故D錯誤。應(yīng)選AB。15．如下圖，木板C放在水平地面上，木板B放在C的上面，木板A放在B的上面，A的右端通過輕質(zhì)彈簧與固定的豎直墻壁相連，彈簧水平且處于原長。A、B、C質(zhì)量相等，且各接觸面間動摩擦因數(shù)相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，用外力向左拉動C，當三者穩(wěn)定后彈簧彈力大小為T，外力大小為F。那么在系統(tǒng)穩(wěn)定后，以下說法正確的選項是〔〕A．B對A的摩擦力是靜摩擦力，大小為T，方向向左B．B對A的摩擦力是滑動摩擦力，大小為T，方向向左C．B對C的摩擦力是靜摩擦力，大小為T，方向向右D．C受到地面的摩擦力大小為F，方向向右【答案】BC【詳解】由題意可知C、B之間的滑動摩擦力大小是B、A之間滑動摩擦力大小的2倍，所以三者穩(wěn)定時A、B、C不行能同時發(fā)生相對滑動。假設(shè)A、B之間相對靜止，B、C之間相對滑動，那么應(yīng)有并且明顯假設(shè)不成立，那么只可能是A、B之間相對滑動，B、C之間相對靜止，即B對A的摩擦力是滑動摩擦力，大小為T，方向向左；B對C的摩擦力是靜摩擦力，依據(jù)平衡條件可知C對B的摩擦力和A對B的摩擦力大小相等、方向相反，因此B對C的摩擦力大小為T，方向向右。對B、C整體依據(jù)平衡條件可知即C受到地面的摩擦力大小為綜上所述可知AD錯誤，BC正確。應(yīng)選BC。16．網(wǎng)課期間，小五同學在家爭論物體受力的方向與大小的關(guān)系。如下圖，第一次試驗：小五用兩輕質(zhì)細線拴住一物體，一根細線系在墻壁上O點，保持系在墻壁上的細線與豎直方向的夾分為，將另一細線由水平緩慢拉至豎直方向的過程中，設(shè)系在墻壁的細線上的拉力大小為，另一細線上的拉力大小為；其次次試驗：小五同學用一根輕質(zhì)細線將物體系在墻壁上O點，用外力緩慢拉結(jié)點，的方向與夾角為且保持不變，使OO'從豎直拉至水平，設(shè)上的拉力大小為。物體所受的重力大小為G。那么以下說中法正確的選項是〔〕A．先減小后增大 B．先減小后增大C．先增大后減小 D．先增大后減小【答案】BD【詳解】AB．第一次試驗中對物體受力分析如下，由三角形法那么可知始終減小，先減小后增大，故A錯誤，B正確；CD．其次次試驗中對結(jié)點受力分析如下，可知先增大后減小，始終增大，故C錯誤，D正確。應(yīng)選BD。17．如圖，用硬鐵絲彎成的光滑半圓環(huán)豎直放置，最高點B處固定一小滑輪，質(zhì)量為m的小球A穿在環(huán)上．現(xiàn)用細繩一端拴在A上，另一端跨過滑輪用力F拉動，使A緩慢向上移動．在移動過程中關(guān)于鐵絲對A的支持力，說法正確的選項是〔〕A．的方向始終背離圓心O B．大小不變C．細繩拉力F大小變大 D．小球所受合力減小【答案】AB【詳解】D．小球緩慢向上移動的過程中，小球A處于三力平衡狀態(tài)，故小球所受合力始終為零，故D錯誤；ABC．依據(jù)平衡條件知mg與的合力與T等大反向共線，作出mg與的合力，如下圖由三角形相像得由圖可知T與F大小相等，依據(jù)圖中的幾何關(guān)系知，A緩慢向上移動時不變，減小，聯(lián)立解得的方向始終背離圓心，而F大小變小，故AB正確，C錯誤。應(yīng)選AB。解答題18．如下圖，一個重為G的小球套在豎直放置的半徑為R的光滑大圓環(huán)上，一個原長為的輕彈簧，一端固定在大圓環(huán)頂點A，另一端與小球相連，當小球靜止于B點時，彈簧的長度。圖中角未知，試求：〔1〕小球在點時，大圓環(huán)對它的支持力大小；〔2〕該彈簧的勁度系數(shù)k。【答案】〔1〕；〔2〕【詳解】〔1〕依據(jù)題意，對小球受力分析，如下圖由于小球靜止于點，那么小球所受合力為0，由平衡條件有由相像三角形