4.2.1直線與圓的位置關系

襄州區六中申娜4.2.1直線與圓的位置關系

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襄州區六中申娜問題：一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區域。已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？

.輪船港口O70km40km你知道直線和圓的位置關系有幾種？討論觀察三幅太陽落山的照片,地平線與太陽的位置關系是怎樣的?如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線,那你能根據直線與圓的公共點的個數想象一下，直線和圓的位置關系有幾種？為了大家能看的更清楚些.以藍線為水平線,圓圈為太陽!注意觀察!!(1)直線和圓有一個公共點(2)直線和圓有兩個公共點.(3)直線和圓沒有公共點.

直線和圓的位置關系是用直線和圓的公共點的個數來定義的，即直線與圓沒有公共點、只有一個公共點、有兩個公共點時分別叫做直線和圓相離、相切、相交。相離相交相切切點切線割線交點交點直線與圓有三種位置關系動動腦,你一定知道

１、直線與圓最多有兩個公共點。

（）

√×？判斷3、若A是⊙O上一點，則直線AB與⊙O相切

。().A.O２、直線和圓有公共點，這直線叫做圓的割線()

4、若C為⊙O外的一點，則過點C的直線CD與

⊙O相交或相離。………（）××.C.OB....如何判斷直線和圓的位置關系？討論設直線l和圓C的方程分別為：Ax+By+C=0,X2+y2+Dx+Ey+F=0如果直線l與圓C有公共點，由于公共點同時在l和C上，所以公共點的坐標一定是這兩個方程的公共解；反之，如果這兩個方程有公共解，那么以公共解為坐標的點必是l與C的公共點．由直線l和圓C的方程聯立方程組Ax+By+C=0X2+y2+Dx+Ey+F=0有如下結論：判斷直線與圓的位置關系的方法(代數法):若Δ>0

則直線與圓相交若Δ=0

則直線與圓相切若Δ<0

則直線與圓相離反之成立

從方程組

Ax+By+C=0

中消去變量y（或x），得到關x或y的二次方程，考察根的判別式Δ的情況，容易證明以下結論：判斷直線與圓的位置關系的方法(代數法):例1

如圖4.2-2，已知直線L：3x+y-6=0和圓心為C的圓，判斷直線L與圓的位置關系；如果相交，求它們交點的坐標。分析：判斷直線L與圓的位置關系，就是看由它們的方程組成的方程有無實數解；0xyAB●CL圖4.2-2講解解：由直線L與圓的方程，得①

②

消去y，得

因為

⊿=所以，直線L與圓相交，有兩個公共點。例1。已知直線L：3x+y-6=0和圓心為C的圓判斷直線L與圓的位置關系判定直線L：3x+4y－12=0與圓C：(x-3)2+(y-2)2=4的位置關系練習1：解：（代數法）3x+4y－12=0(x-3)2+(y-2)2=4消去y得25x2–120x+96=0=1202-4×25×96＞0所以，方程有兩個不同的根，直線L與圓C相交回憶點與圓的位置關系O點B在圓上點A在圓內點C在圓外ABCd1d2d3數缺形時少直觀形少數時難入微數形結合百般好隔離分家萬事非

-----華羅庚點和圓的位置關系如果用圓心到點之間的距離這一數量關系來刻畫，那么直線和圓的位置關系是否也可以用數量關系來刻畫他們三種位置關系呢?．o圓心O到直線L的距離dL半徑r(1)直線L和⊙O的相離,此時d與r大小關系為_________d>r．o圓心O到直線L的距離d半徑r(2)直線L和⊙O相切,此時d與r大小關系為_________Ld=r．o圓心O到直線L的距離d半徑r(3)直線L和⊙O相交,此時d與r大小關系為_________Ld<r直線與圓的位置關系

直線與圓的位置關系

相交

相切

相離

公共點個數

公共點名稱

直線名稱

圖形圓心到直線距離d與半徑r的關系d<r

d=r

d>r

2交點割線1切點切線0歸納與小結無無直線與圓的位置關系的判斷方法（幾何法）:

一般地,已知直線Ax+By+C=0(A,B不同時為零)和圓(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心(a,b)到此直線的距離為d<rd=rd>rd與r2個1個0個交點個數圖形相交相切相離位置rdrdrd則例2:直線mx-y-2=0與圓相切,

求實數m的值。解:已知圓心O(0,0)半徑r=1,則O到直線的距離由已知得即解得判定直線L：3x+4y－12=0與圓C：(x-3)2+(y-2)2=4的位置關系練習2：代數法：3x+4y－12=0(x-3)2+(y-2)2=4消去y得25x2-120x+96=0=1202-4×25×96＜0所以方程有兩解，直線L與圓C相交幾何法：圓心C（3，2）到直線L的距離d=因為r=2,d<r所以直線L與圓C相交比較：幾何法比代數法運算量少，簡便。dr直線與圓的位置關系：0d>r1d=r切點切線2d<r交點割線．Ｏldr┐┐．ｏldr．Old┐r.ACB..相離

相切

相交

課堂小結把直線方程與圓的方程聯立成方程組求出其Δ的值比較Δ與0的大小:當Δ<0時,直線與圓相離；當Δ=0時,直線與圓相切;當Δ>0時,直線與圓相交。一、代數方法。主要步驟：利用消元法，得到關于另一個元的一元二次方程直線與圓的位置關系判斷方法：課堂小結直線與圓的位置關系判斷方法：二、幾何方法。主要步驟：利用點到直線的距離公式求圓心到直線的距離作判斷:當d>r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切;當d<r時，直線與圓相交把直線方程化為一般式,利用圓的方程求出圓心和半徑課堂小結問題：一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長為30km的圓形區域。已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到