山西省陽泉市平定縣第二中學高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列兩個變量具有相關關系的是A.正方體的體積與它的邊長

B.勻速行駛的車輛的行駛距離與時間C.人的身高與體重

D.人的身高與視力參考答案：C正方體的體積與它的邊長，勻速行駛的車輛的行駛距離與時間兩個變量具有函數關系；而人的身高與體重兩個變量是具有相關關系；人的身高與視力兩個變量不具有相關關系，故選擇C.

2.如圖，每一個虛線圍成的最小正方形邊長都為1，某幾何體的三視圖如圖中實線所示，則該幾何體的體積為（

）A．8π B．9π C． D．參考答案：C該幾何體為一個半圓錐和一個圓柱組合而成，半圓錐體積為，圓柱體積為，∴該幾何體的體積為．3.已知函數，有下列四個命題，①函數是奇函數；②函數在是單調函數；③當時，函數恒成立；④當時，函數有一個零點，其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B①函數的定義域是，，不滿足函數奇偶性定義，所以函數非奇非偶函數，所以①錯誤；②取，，，所以函數在不是單調函數，所以②錯誤；③當x＞0時，，要使，即，即，令，，，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以③正確；④當時，函數的零點即為的解，也就是，等價于函數與函數圖像有交點，在同一坐標系畫出這兩個函數圖像，可知他們只有一個交點，所以④是正確的．故選B．4.函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，若將f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短來原來的倍（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖象，則g（x）的解析式為（）A．y=sin（4x+） B．y=sin（4x+） C．y=sin（x+） D．y=sin（x+）參考答案：A【考點】H2：正弦函數的圖象．【分析】首先根據函數的圖象確定確定A，ω，?的值，進一步利用函數圖象的平移變換求出結果．【解答】解：根據函數的圖象：A=1，則：T=π利用解得：?=k（k∈Z）由于|?|＜所以：?=求得：f（x）=將f（x）圖象上所有點的橫坐標縮短來原來的倍（縱標不變）g（x）=故選：A5.設函數f(x)=x3+(a－1)x2+ax，若f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為A.y=－2x

B.y=－x

C.y=2x

D.y=x參考答案：D解答：∵為奇函數，∴，即，∴，∴，∴切線方程為：，∴選D.

6.（5分）（2014秋?廬江縣月考）數列的前n項和為Sn，且滿足a1=1，an=an﹣1+n，（n≥2），則Sn等于（）A．B．C．D．參考答案：B考點：數列的求和．專題：等差數列與等比數列．分析：由an=an﹣1+n（n≥2）得an﹣an﹣1=n，利用累加法求出an，代入化簡后，由等差數列的前n項和公式求出則數列的前n項和為Sn．解答：解：由題意得，an=an﹣1+n（n≥2），則an﹣an﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，an﹣an﹣1=n，以上（n﹣1）個式子相加得，an﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，則an=1+2+3+…+n=，所以=，則數列的前n項和為Sn=[2+3+…+（n+1）]==，故選：B．點評：本題考查等差數列的前n項和公式，以及累加法求數列的通項公式．7.已知函數f（x）=x2﹣2x+2，g（x）=ax2+bx+c，若這兩個函數的圖象關于（2，0）對稱，則f（c）=（）A．122 B．5 C．26 D．121參考答案：B【考點】二次函數的性質．【分析】求出函數f（x）=x2﹣2x+2的對稱軸與頂點坐標，然后求解g（x）=ax2+bx+c的系數，得到c，即可求解f（c）的值．【解答】解：函數f（x）=x2﹣2x+2，的對稱軸為：x=1，頂點坐標（1，1），開口向上；過（0，2）函數f（x）=x2﹣2x+2，g（x）=ax2+bx+c，若這兩個函數的圖象關于（2，0）對稱，可知g（x）=ax2+bx+c，的對稱軸為：x=3，頂點坐標（3，﹣1）開口向下．（0，2）關于（2，0）的對稱點為：（4，﹣2）．可得，解得，f（﹣1）=（﹣1）2+2+2=5．故選：B．8.設a，b，c是空間三條直線，，是空間兩個平面，則下列命題中，逆命題不成立的是（）A．當c⊥時，若c⊥，則∥B．當時，若b⊥，則C．當，且c是a在內的射影時，若b⊥c，則a⊥bD．當，且時，若c∥，則b∥c參考答案：答案：B9.已知，函數，若實數滿足關于的方程，則下列選項的命題中為假命題的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題：①若，則

，②若，則③若，則

，④若，則其中正確命題的個數是（

）

A．1

B．2

C．3

D．0

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知關于x的不等式對于任意恒成立，則實數a的取值范圍為_________．參考答案：【分析】先將不等式對于任意恒成立,轉化為任意恒成立，設，求出在內的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對于任意恒成立，即，又因為，，對任意恒成立，設，其中，由不等式，可得：，則，當時等號成立，又因為在內有解，，則，即：，所以實數的取值范圍：.故答案為：.【點睛】本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數法和構造函數，通過求新函數的最值求出參數范圍，考查轉化思想和計算能力.12.設變量，y滿足約束條件，則目標函數；z=2+y的最小值為

參考答案：答案：313.已知，，，若，則

．參考答案：已知，，,若,則則.故答案為：.

14.已知向量，滿足，，，則向量與向量的夾角為

．參考答案：略15.將圓錐的側面展開恰為一個半徑為2的半圓，則圓錐的體積是

．參考答案：【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱錐的結構特征．【專題】計算題．【分析】通過圓錐的側面展開圖，求出圓錐的底面周長，然后求出底面半徑，求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【解答】解：圓錐的側面展開恰為一個半徑為2的半圓，所以圓錐的底面周長為：2π，底面半徑為：1，圓錐的高為：；圓錐的體積為：=【點評】本題是基礎題，考查圓錐的側面展開圖，利用扇形求出底面周長，然后求出體積，考查計算能力，常規題型．16.函數的零點的個數為

．參考答案：17.集合共有

▲

個子集參考答案：8（個）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的左右焦點分別為，點為短軸的一個端點，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）如圖，過右焦點，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為.求證:為定值.參考答案：解：（Ⅰ）由條件可知，

…………2分故所求橢圓方程為.

…………4分（Ⅱ）設過點的直線方程為：.

…………5分由可得：

…………6分因為點在橢圓內，所以直線和橢圓都相交，即恒成立.設點，則.

…………8分因為直線的方程為：，直線的方程為：，

………9分令，可得，，所以點的坐標.

………10分直線的斜率為

…………12分

所以為定值.

…………13分

略19.（本題滿分12分）已知數列滿足，（1）求，，；

（2）求證：數列是等差數列，并求出的通項公式。參考答案：解：（1）

∴___________________________3分

(2)證明：易知，所以_____________________4分

當

=

=1

所以__________8分（3）由（2）知__________________10分

所以__________________________12分20.（12分）在四棱錐中，平面，底面為矩形，.(Ⅰ)當時，求證：；(Ⅱ)若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.參考答案：

解析:(Ⅰ)當時，底面為正方形，又因為,面…………2分又面…………3分(Ⅱ)因為兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸、軸、軸建立坐標系，如圖所示，則…4分設，則要使，只要所以，即………6分由此可知時，存在點使得當且僅當，即時，邊上有且只有一個點，使得由此可知…………8分設面的法向量則即解得…………10分取平面的法向量則的大小與二面角的大小相等所以因此二面角的余弦值為…………12分21.如圖，島A、C相距海里.上午9點整有一客輪在島C的北偏西40°且距島C10海里的D處，沿直線方向勻速開往島A，在島A停留10分鐘后前往B市.上午9:30測得客輪位于島C的北偏西70°且距島C海里的E處，此時小張從島C乘坐速度為V海里/小時的小艇沿直線方向前往A島換乘客輪去B市.（1）若，問小張能否乘上這班客輪？（2）現測得，.已知速度為V海里/小時的小艇每小時的總費用為元，若小張由島C直接乘小艇去B市，則至少需要多少費用？參考答案：（1）如圖，根據題意得：，，，．在中，由余弦定理得，,………………2分所以客輪的航行速度（海里/小時）．………………3分因為，所以，所以．在中，由余弦定理得，，整理得：，解得或（不合舍去）．………………5分所以客輪從處到島所用的時間小時，小張到島所用的時間至少為小時．由于，所以若小張9點半出發，則無法乘上這班客輪………………6分（2）在中，，,所以為銳角，，．………………7分所以．………………8分由正弦定理得，,所以,………………9分所以小張由島直接乘小艇去城市的總費用為(),………………10分當且僅當，即時，（元）………………11分所以