湖南省湘潭市東山中學高一數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結論中不正確的是（） A． AC⊥SB B． AB∥平面SCD C． SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D． AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角參考答案：D考點： 直線與平面垂直的性質．專題： 綜合題；探究型．分析： 根據SD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，以及三垂線定理，易證AC⊥SB，根據線面平行的判定定理易證AB∥平面SCD，根據直線與平面所成角的定義，可以找出∠ASO是SA與平面SBD所成的角，∠CSO是SC與平面SBD所成的角，根據三角形全等，證得這兩個角相等；異面直線所成的角，利用線線平行即可求得結果．解答： 解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，∴連接BD，則BD⊥AC，根據三垂線定理，可得AC⊥SB，故A正確；∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正確；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA與平面SBD所成的角，∠DSO是SC與平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角，故C正確；∵AB∥CD，∴AB與SC所成的角是∠SCD，DC與SA所成的角是∠SAB，而這兩個角顯然不相等，故D不正確；故選D．點評： 此題是個中檔題．考查線面垂直的性質定理和線面平行的判定定理，以及直線與平面所成的角，異面直線所成的角等問題，綜合性強．2.在△ABC中，，如果不等式恒成立，則實數t的取值范圍是

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略3.已知m、n為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是()A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥βB．α∥β，m?α，n?β?m∥nC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．n∥m，n⊥α?m⊥α參考答案：D4.下列四組函數中，表示同一函數的是(

)A．f（x）=log22x，g（x）= B．f（x）=，g（x）=xC．f（x）=x，g（x）= D．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx參考答案：A【考點】判斷兩個函數是否為同一函數．【專題】計算題；函數思想；函數的性質及應用．【分析】判斷函數的定義域與對應法則是否相同，推出結果即可．【解答】解：f（x）=log22x=x，g（x）==x，兩個函數的定義域相同，對應法則相同，所以是相同函數．f（x）=，g（x）=x，兩個函數的對應法則不相同，所以不是相同函數．f（x）=x，g（x）=兩個函數的定義域不相同，所以不是相同函數．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx兩個函數的定義域不相同，所以不是相同函數．故選：A．【點評】本題考查兩個函數的定義域與對應法則的判斷，是基礎題．5.集合P=，集合Q=那么P，Q的關系是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略6.直線與圓交于Ｅ、F兩點，則EOF（O為原點）的面積為A.

B.

C.

D.參考答案：D7.執行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為（）A. B. C. D.參考答案：D初始條件：，第1次判斷0<8，是，第2次判斷2<8，是，第3次判斷4<8，是，第4次判斷6<8，是，第5次判斷8<8，否，輸出;故選D.8.設，則（

）A. B.C. D.參考答案：D試題分析：根據我們所學的指數函數和對數函數的性質可知，，，，因此可知，故選B.考點：對數函數性質點評：解決的關鍵是對于不同底數的對數和指數式比較大小，一般找中間量即可，1,0為常用的常數,屬于基礎題。9.在中，已知是邊上一點，若，，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.函數在區間上的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C因為函數在單調遞減，所以時取最大值4.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若在區間上的最大值是，則=________.參考答案：

略12.按如圖所示的算法框圖運算，若輸入x＝8，則輸出k＝__________；若輸出k＝2，則輸入x的取值范圍是__________．參考答案：4，(28,57].13.在等差數列{an}中，a2=6，a5=15，則a2+a4+a6+a8+a10=

．參考答案：90考點：等差數列的前n項和．專題：等差數列與等比數列．分析：由已知條件，利用等差數列的前n項和公式求出首項和公差，由此能求出結果．解答： 解：∵在等差數列{an}中，a2=6，a5=15，∴，解得a1=3，d=3，∴a2+a4+a6+a8+a10=5a1+25d=90．故答案為：90．點評：本題考查數列的若干項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用．14.映射：，在的作用下，A中元素與B中元素對應，則與B中元素對應的A中元素是_______.參考答案：(1,2)15.某商品在近30天內每件的銷售價格p（元）與時間t（天）的函數關系是該商品的日銷售量Q（件）與時間t（天）的函數關系是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N），求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第

天？參考答案：25【考點】分段函數的應用．【分析】先設日銷售金額為y元，根據y=P?Q寫出函數y的解析式，再分類討論：當0＜t＜25，t∈N+時，和當25≤t≤30，t∈N+時，分別求出各段上函數的最大值，最后綜合得出這種商品日銷售額的最大值即可．【解答】解：設日銷售金額為y（元），則y=p?Q．∴=當0＜t＜25，t∈N，t=10時，ymax=900（元）；當25≤t≤30，t∈N，t=25時，ymax=1125（元）．由1125＞900，知ymax=1125（元），且第25天，日銷售額最大16.設是的邊上任意一點，且，若，則

．參考答案：因為M是△ABC邊BC上任意一點,設，且m+n=1，

又=,所以.

17.

設集合，則集合的個數為_____；如果集合中至多有一個奇數，則這樣的集合共有________個．參考答案：8，6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在五面體EF﹣ABCD中，四邊形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2，∠BAD=∠CDA=45°．①求異面直線CE與AF所成角的余弦值；②證明：CD⊥平面ABF；③求二面角B﹣EF﹣A的正切值．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．【專題】空間位置關系與距離；空間角；立體幾何．【分析】（Ⅰ）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點E，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．（Ⅱ）根據線面垂直的判定定理可知，只需證直線CD與面ABF中的兩條相交直線垂直即可；（Ⅲ）先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求出此角即可．【解答】（Ⅰ）解：因為四邊形ADEF是正方形，所以FA∥ED．故∠CED為異面直線CE與AF所成的角．因為FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3，故cos∠CED==．所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為；（Ⅱ）證明：過點B作BG∥CD，交AD于點G，則∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，從而CD⊥AB，又CD⊥FA，FA∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G為AD的中點．取EF的中點N，連接GN，則GN⊥EF，因為BC∥AD，所以BC∥EF．過點N作NM⊥EF，交BC于M，則∠GNM為二面角B﹣EF﹣A的平面角．連接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．從而BC⊥GM．由已知，可得GM=．由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．在Rt△NGM中，tan，所以二面角B﹣EF﹣A的正切值為．【點評】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．19.設f（x）的定義域為[﹣3，3]，且f（x）是奇函數，當x∈[0，3]時，f（x）=x（1﹣3x）．（1）求當x∈[﹣3，0）時，f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜﹣8x．參考答案：【考點】奇偶性與單調性的綜合．【分析】（1）根據函數奇偶性的性質進行求解即可．（2）根據函數的解析式，利用分類討論的思想解不等式即可．【解答】解：（1）若x∈[﹣3，0），則﹣x∈（0，3]，即f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x）．∵f（x）是奇函數，∴f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x）=﹣f（x），即f（x）=x（1﹣3﹣x）．x∈[﹣3，0）．（2）若x∈[0，3]時，由f（x）=x（1﹣3x）＜﹣8x．得1﹣3x＜﹣8，即3x＞9，即2＜x≤3，若x∈[﹣3，0）時，由f（x）=x（1﹣3﹣x）＜﹣8x．得1﹣3﹣x＞﹣8，即3﹣x＜9，即﹣2＜x＜0，綜上不等式的解集為（﹣2，0）∪（2，3]．20.如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎?請用你的計算數據說明理由．

參考答案：解：因為

………………5分

………………10分因為

所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子．

………………12分21.（12分）已知集合A={x|2＜2x＜8}，B={x|a≤x≤a+3}．（Ⅰ）當a=2時，求A∩B；（Ⅱ）若B??RA，求實數a的取值范圍．參考答案：考點： 集合的包含關系判斷及應用；交集及其運算．專題： 計算題；集合．分析： （Ⅰ）當a=2時，A={x|2＜2x＜8}=（1，3），B={x|a≤x≤a+3}=[2，5]；從而求A∩B=[2，3）；（Ⅱ）化簡?RA=（﹣∞，1]∪[3，+∞）；從而可得a+3≤1或a≥3；從而可得實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．解答： （Ⅰ）當a=2時，A={x|2＜2x＜8}=（1，3），B={x|a≤x≤a+3}=[2，5]；故A∩B=[2，3）；（Ⅱ）?RA=（﹣∞，1]∪[3，+∞）；故由B??RA知，a+3≤1或a≥3；故實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．點評： 本題考查了集合的化簡與運算，屬于基礎題．22.設，（1）若，求f（α