線性代數(shù)二次型及其標準型第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標準形.第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月1．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月2．用矩陣表示第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月解例１第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)四、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月證明即為對稱矩陣.第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月說明第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月用正交變換化二次型為標準形的具體步驟第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例2第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月4．將正交向量組單位化，得正交矩陣第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月于是所求正交變換為第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月解例3第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月五、小結(jié)1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學們注意這種研究問題的思想方法．2.實二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種方法——拉格朗日配方法．第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月化為標準型，并指出表示何種二次曲面.求一正交變換，將二次型思考題第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題解答第25頁，課