§1拉格朗日定理和函數的單調性我們知道，導數是刻劃函數在一點處變化率的數學模型，它反映的是函數在一點處的局部變化性態，但在理論研究和實際應用中，常常需要把握函數在某區間上的整體變化性態，那么函數的整體變化性態與局部變化性態有何關系呢？中值定理正是對這一問題的理論詮釋。中值定理揭示了函數在某區間上的整體性質與該區間內部某一點的導數之間的關系。中值定理既是利用微分學知識解決應用問題的數學模型，又是解決微分學自身發展的一種理論性數學模型。引言微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，費馬定理是它的預備定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣。一.預備定理——費馬(Fermat)定理費馬（Fermat，1601-1665）,法國人,與笛卡爾共同創立解析幾何。因提出費馬大、小定理而著名。

.0)(0=￠xf若函數f(x)在(a,b)內一點x0取得極值,且f(x)在x0可微,則幾何解釋:證明:只就f(x)在x0取極大值的情形給出證明.由于f(x)在x0取極大值,所以存在>0,當xU(x0,)時,有f(x)f(x0),又f(x)在x0可導,所以而所以所以●●這說明：在極大值或極小值點處,函數的導數為0.幾何意義是：在極值點處的切線平行于AB的連線或x軸.典型情形的證明思想●結論:Rolle定理MadebyldydcRolle定理（一）Rolle定理羅爾:法國數學家，1652年4月21日生于昂貝爾特，羅爾在數學上的成就主要是在代數方面，專長于丟番圖方程的研究。證(1)若M=m,則f(x)

M,由此得f'(x)0,所以因為f(x)在[a,b]上連續,所以必取得最大值M和最小值m.都有(2)若Mm,由于f(a)=f(b),所以函數的最大值和最小值不可能同時在端點取得,不妨設Mf(a),則在(a,b)內至少存在一點,使M=f(),因為所以（二）Rolle定理的幾何意義(三)關于洛爾定理的幾點說明注1：習慣上把結論中的ξ稱為中值，羅爾定理的三個條件是充分而非必要的.-2-1.5-1-0.500.511.5-1-0.500.51f(x)滿足條件(2),

(3),但不滿足條件(1),

在(0,1)內,例如:(i)y=f(x)=1,x=1,x[0,1)

圖3-1-2x

y011注2：f(x)在[-1,1]上,滿足條件(1),(3),但不滿足條件(2),當

x

時,

f

(x)=1.

x

時,

f

(x)=1.

x=0時,

f

(0)不存在.

(ii)0x

y111圖3-1-3y=|x|(iii)y=f(x)=x,x[1,2],

f(x)在[1,2]上滿足條件(1),(2).但不滿足條件(3),在(1,2)內,f

(x)=1.

02112xyy=x

圖3-1-4注3.羅爾定理的結論中不是唯一的,可能有一個,幾個甚至無窮多個.例如在[-1,1]上滿足羅爾定理的條件,而顯然在(-1,1)內,存在無數個使f/(cn)=0-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2-1-0.500.511.52x10例1,注4.將羅爾定理的條件1.2.換為[a,b]上可導,結論仍成立.例2例3證由介值定理即為方程的小于1的正實根.矛盾,約瑟夫．拉格朗日（JosephLouisLagrange1736-1813），普魯士國王腓特烈大帝尊稱他為“歐洲最大之數學家”，他在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學方面的成就最為突出。

IfIhadbeenrich,Iprobablywouldnothavedevotedmyselftomathematics.

Lagrange中值定理T與l平行更廣泛情形的證明思想:同一點Lagrange中值定理（一）Lagrange中值定理中值定理的演示T與l平行這樣的x可能有好多證分析:弦AB方程為（二）Lagrange中值定理的幾何意義作輔助函數注意:拉氏公式精確地表達了函數在一個區間上的增量與函數在這區間內某點處的導數之間的關系.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.（三）Lagrange公式的幾種形式(四)Lagrange中值定理的應用1.導數相等的函數之間的關系推論１推論證明恒等式例4證例5證由上式得證明不等式判定函數的單調性推論2證應用拉氏定理,得注:例6解推論3(導數極限定理)設函數f(x)在點x0的某鄰域U(x0)內連續,在U0(x0)內可導,且極限存在,則f(x)在點x0可導,且．

§2柯西中值定理和不定式極限Cauchy中值定理（一）cauchy中值定理證作輔助函數（二）cauchy中值定理的幾何意義例7證分析:結論可變形為L.Hospital法則我們已經知道，當分子分母都是無窮小或都是無窮大時，兩個函數之比的極限可能存在也可能不存在，即使極限存在也不能用“商的極限等于極限的商”這一運算法則。這種極限稱為未定式本節我們就利用Cauchy中值定理來建立求未定式極限的L.Hospital法則，利用這一法則，可以直接求這兩種基本未定式的極限，也可間接求出等其它類型的未定式的極限這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.洛必達(1661～1704)

法國數學家。在早年就顯露出數學才能，15歲時解出B.帕斯卡提出的擺線難題。以后又解出約翰伯努利向歐洲挑戰的“最速降曲線”問題。洛必達最重要的著作是《無窮小分析》這是第一本系統的微分學教科書，對傳播新創建的微分學起了很大作用。定義例如,定理1證定義輔助函數則有注①定理的條件：分子分母都是無窮小；分子分母都可導，且分母的導數不等于0；導數之比的極限存在或為∞②定理的結論：函數之比的極限等于導數之比的極限③④仍有類似的結論如：定理例1解例2注在反復使用法則時，要時刻注意檢查是否為未定式，若不是未定式，不可使用法則。例3

例4

例5(作代換

或利用等價無窮小代換直接計算.)例5分母→1，分子振蕩而沒有極限L.Hospital法則“失效”注分子分母中出現不可使用L.Hospital法則xxxxxx1cos,1sin,cos,sin,0時或時￥??二.型未定式的極限定理2結論仍成立例1解例2解注意1：若導數比的極限不存在，不能判斷原函數極限不存在。例如，事實上例題例8解注意2：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法——尤其是等價無窮小的代換——結合使用，可以簡化運算過程，效果會更好，使用起來也更有效。關鍵:通過適當的恒等變形將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型.仍可使用L.Hospital法則來求極限三其他未定式例1注意：對數因子不下放，要放在分子上步驟:即將其中之一個因子下放至分母就可轉化為步驟:例2解步驟:例3解例4解例5解例6解極限不存在洛必達法則失效。注意：洛必達法則的使用條件．幾點說明①L.Hospital法則只是求未定式極限的一種有效方法，是充分條件，當定理的條件滿足時，所求的極限存在或為∞，當定理的條件不滿足時，主要是指（3）不成立，即導數之比的極限不易求出，或不存在但不∞，函數之比的極限未必不存在，此時L.Hospital法則：“失效”不宜使用L.Hospital法則②L.Hospital法則只能對這兩種基本未定式才可直接應用，其它類型的未定式必須先轉化③L.Hospital法則與等價無窮小的代換結合使用效果會更好④使用L.Hospital法則前宜先行約去可約因子，特別是極限不為0的因子，宜將確定后的極限值提到極限號外，以簡化計算（這相當于提前使用了一次乘積極限的運算法則）⑤可考慮進行恒等變形或引入適當的變量代換，以簡化計算三、小結洛必達法則思考題思考題解答不一定．例顯然極限不存在．但極限存在．§3泰勒公式英國數學家——泰勒１８世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（BrookTaylor），于１６８５年８月１８日在米德爾塞克斯的埃德蒙頓出生。泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變量函數都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。

一問題的提出不足問題1、精確度不高；2、誤差不能估計。分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交三泰勒(Taylor)中值定理證明:定理1（帶lagrange余項的泰勒定理）如果f(x)在點鄰域內有n+1階導數，則拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項定理2（帶peano余項的泰勒定理）如果f(x)在點鄰域內有n+1階導數，則幾點說明：麥克勞林(Maclaurin)公式麥克勞林,Maclaurin(1698-1746),是18世紀英國最具有影響的數學家之一。1719年Maclaurin在訪問倫敦時見到了Newton，從此便成為了Newton的門生。他在1742年撰寫的名著《流數論》是最早為Newton流數方法做出了系統邏輯闡述的著作。他以熟練的幾何方法和窮竭法論證了流數學說，還把級數作為求積分的方法，并獨立于Cauchy以幾何形式給出了無窮級數收斂的積分判別法。他得到數學分析中著名的Maclaurin級數展開式，并用待定系數法給予證明。

麥克勞林估計式四常用n階泰勒公式及其簡單應用解當

x=1時當n=10時,

例3.

求f(x)=sinx展開到n階的麥克勞林公式解：因為所以m=1,m=2m=3oyxy=x

y=sinx

解

例4求在x=1點的四階泰勒公式幾個常用函數的麥克勞林展開式1.f(x)=cosx

(在0與x之間)

記住常用函數的麥克勞林公式例5.

求sin100的近似值,要求誤差不超過510-6

解：取函數f(x)=sinx.取x0=0

當n=2時,

當n=4時,

解例7：求極限解例9解解

應用帶皮亞諾型余項的麥可勞林公式，有思考題利用泰勒公式求極限思考題解答例4利用帶有佩亞若型余項的麥克勞林公式，求極限解由于分式的分母所以，用帶有佩亞若型余項的三階麥克勞林公式，即解原式§4函數的極值與最大(小)值一.函數的單調性Lagrange定理給出了函數在某區間上的增量與函數在區間內某點處的導數之間的關系，為利用導數反過來研究函數的性質或曲線的形態提供了一座橋梁。本節我們就來討論這方面的問題，主要介紹：單調性、極值最值、凹凸、拐點和曲率。1、單調性的判別法函數在某區間上是否具有單調性是我們在研究函數的性態時，首先關注的問題。第一章中已經給出了函數在某區間上單調的定義，但利用定義來判定函數的單調性卻是很不方便的。從幾何圖形上看，表示單調函數的曲線當自變量在單調區間內按增加方向變動時，曲線總是上升（下降）的。進一步若曲線在某區間內每點處的切線斜率都為正（負），即切線的傾角全為銳（鈍）角，曲線就是上升（下降）的這就啟示我們：能否利用導數的符號來判定單調性？回答是肯定的。定理注①若在(a,b)內至多有有限個導數等0的點和至多有限個不可導點，而在其余點處均有則由連續性，結論仍成立②此判定法則對其它各種類型的區間仍適用例1解例2解注意:函數的單調性是一個區間上的性質，要用導數在這一區間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性．2、單調區間求法問題:如上例，函數在定義區間上不是單調的，但在各個部分區間上單調．定義:若函數在其定義域的某個區間內是單調的，則該區間稱為函數的單調區間.導數等于零的點和不可導點，可能是單調區間的分界點．方法:-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6注意:區間內個別點導數為零,不影響區間的單調性.例如,例4解單調區間為推論.設函數f(x)在(a,b)內可導,若f’/(x)>0(f’/(x)<0),則f(x)在(a,b)內嚴格遞增(嚴格遞減).3.利用單調性證明不等式①將要證的不等式作恒等變形（通常是移項）使一端為0另一端即為所作的輔助函數f(x)②求驗證f(x)在指定區間上的單調性③與區間端點處的函數值或極限值作比較即得證步驟：例5證例6證明：當x>1時，證令則例7設證明[分析]如圖所示oxy結論是顯然的證一總之有證二或令或例8證4、小結單調性的判別是拉格朗日中值定理的重要應用.定理中的區間換成其它有限或無限區間，結論仍然成立.應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式.二.函數的極值由單調性的判定法則，結合函數的圖形可知，曲線在升、降轉折點處形成“峰”、“谷”，函數在這些點處的函數值大于或小于兩側附近各點處的函數值。函數的這種性態以及這種點，無論在理論上還是在實際應用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論.1、函數極值的定義定義函數的極大值與極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.2、函數極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,注①這個結論又稱為Fermat定理②如果一個可導函數在所論區間上沒有駐點則此函數沒有極值，此時導數不改變符號③不可導點也可能是極值點可疑極值點：駐點、不可導點可疑極值點是否是真正的極值點，還須進一步判明。由單調性判定法則知，若可疑極值點的左、右兩側鄰近，導數分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。定理2(第一充分條件)(是極值點情形)求極值的步驟:(不是極值點情形)例1解,現列表討論00不存在1-30123012345定理3(第二充分條件)證同理可證(2).例2解圖形如下注意:例3解注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點.例4證（不易判明符號）而且是一個最大值點，例5設f(x)連續，且f(a)是f(x)的極值，問f

2(a)是否是f

2(x)的極值證分兩種情況討論①所以f

2(a)是f

2(x)的極小值②設f(a)是f(x)的極小值，且又f(x)在x=a處連續，且f

2(a)是f

2(x)的極大值同理可討論f(a)是f(x)的極大值的情況例6假定f(x)在x=x0處具有直到n階的連續導數，且證明當n為偶數時，f(x0)是f(x)的極值當n為奇數時，f(x0)不是f(x)的極值證由Taylor公式，得因此存在x0的一個小鄰域，使在該鄰域內下面來考察兩種情形①n為奇數，當x漸增地經過x0時變號不變號變號不是極值②n為偶數，當x漸增地經過x0時不變號不變號不變號是極值且當時是極小值當時是極大值例7

解例8解定理4(第三充分條件)設而則i)為奇數時,不是極值點;對應極小;對應極大.為偶數時,是極值點.且ii)

的極值例求函數

該定理仍然是判定極值的充分條件,例如思考題:

下命題正確嗎？不正確．例在–1和1之間振蕩故命題不成立．在生產實踐中，為了提高經濟效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能是2用料最省，費用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數學上統統歸結為求函數的最大值或最小值問題。最值問題主要討論問題的兩個方面：最值的存在性；最值的求法。先看下面圖像

三、最大值最小值ab求最值的步驟:1.求駐點和不可導點;注意:如果區間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)2設f(x)在(a,b)內的駐點和不可導點為x1,x2,…xn,則比較f(a),f(x1),…,f(xn),f(b)的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的最大值,最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值．例1解計算比較得-0.500.511.5