數值分析第一章誤差1第1頁，課件共45頁，創作于2023年2月教材丁麗娟，程杞元，《數值計算方法》，北京理工大學出版社2第2頁，課件共45頁，創作于2023年2月最后成績=實驗作業成績(20%)+考試成績(80%)實驗作業：下列1和2選擇一個,希望選21.課本每章后的一個數值實驗題2.結合所學專業自選題(1)敘述實際問題(2)建立數學模型(解常微分方程組，數據擬合等)(3)設計計算方法(4)程序(matlab)(5)計算結果及分析3.交打印文件或電子文檔(一次交齊,最遲結課后一周交)4.注意完全重復的實驗作業沒有實驗作業成績3第3頁，課件共45頁，創作于2023年2月數值分析是做什么用的？數值分析輸入復雜問題或運算計算機近似解4第4頁，課件共45頁，創作于2023年2月研究對象那些在理論上有解而又無法手工計算的數學問題例解300階的線性方程組求6階矩陣的全部特征值5第5頁，課件共45頁，創作于2023年2月主要內容

數值代數近似求解線性方程組(直接解法,迭代解法)矩陣特征值的計算數值逼近：插值法，函數逼近數值微分與數值積分微分方程近似求解非線性方程求解常微分方程數值解法偏微分方程數值解法6第6頁，課件共45頁，創作于2023年2月第一章誤差§2絕對誤差、相對誤差和有效數字§3數值計算中誤差的傳播§4數值計算中應注意的幾個問題§1誤差的來源7第7頁，課件共45頁，創作于2023年2月§1誤差的來源誤差按來源可分為：模型誤差觀測誤差截斷誤差舍入誤差8第8頁，課件共45頁，創作于2023年2月

模型誤差數學模型通常是由實際問題抽象得到的，一般帶有誤差，這種誤差稱為模型誤差.觀測誤差數學模型中包含的一些物理參數通常是通過觀測和實驗得到的，難免帶有誤差，這種誤差稱為觀測誤差.

截斷誤差求解數學模型所用的數值方法通常是一種近似方法，這種因方法產生的誤差稱為截斷誤差或方法誤差.9第9頁，課件共45頁，創作于2023年2月實際計算時只能截取有限項代數和計算，如取前5項有：這里產生誤差(記作R5)截斷誤差例如，利用ln(x+1)的Taylor公式計算ln2,10第10頁，課件共45頁，創作于2023年2月

舍入誤差由于計算機只能對有限位數進行原則保留有限位，這時產生的誤差稱為舍入誤差。等都要按舍入運算，在運算中像在數值分析中，均假定數學模型是準確的，因而不考慮模型誤差和觀測誤差，只討論截斷誤差和舍入誤差對計算結果的影響.11第11頁，課件共45頁，創作于2023年2月設x*是準確值x的一個近似值，記e=xx*稱e為近似值x*的絕對誤差，簡稱誤差.絕對誤差一般很難準確計算,但可以估計上界.絕對誤差e>0不唯一，當然e越小越具有參考價值.則稱為近似值x*的絕對誤差限，簡稱誤差限.若滿足§2絕對誤差、相對誤差和有效數字12第12頁，課件共45頁，創作于2023年2月例用毫米刻度的米尺測量一長度x,如讀出的長度是x*=765mm,由于誤差限是0.5mm,故準確值精確值x

,近似值x*和誤差限

之間滿足：通常記為

13第13頁，課件共45頁，創作于2023年2月絕對誤差有時并不能完全地反映近似值的好壞，如測量100m和10m兩個長度，若它們的絕對誤差都是1cm，顯然前者的測量結果比后者的準確.因此，決定一個量的近似值的精確度，除了要看絕對誤差外，還必須考慮該量本身的大小.14第14頁，課件共45頁，創作于2023年2月稱er為近似值x*的相對誤差.

記由于x未知，實際使用時總是將x*的相對誤差取為相對誤差稱為近似值x*的相對誤差限.15第15頁，課件共45頁，創作于2023年2月例設x*=1.24是由精確值x經過四舍五入得到的近似值,求x*的絕對誤差限和相對誤差限.由已知可得:所以

=0.005,解一般地,凡是由準確值經過四舍五入得到的近似值,其絕對誤差限等于該近似值末位的半個單位.16第16頁，課件共45頁，創作于2023年2月有位有效數字，精確到小數點后第位有效數字

若近似值x*滿足則稱x*準確到小數點后第n位.并把從第一個非零數字到這一位的所有數字均稱為有效數字.例：問：有幾位有效數字？解：4317第17頁，課件共45頁，創作于2023年2月例已知下列近似值的絕對誤差限都是0.005,問它們具有幾位有效數字?

a=12.175,b=－0.10,c=0.1,d=0.0032由于0.005＝0.5×10－2,解所以a有4位有效數字1,2,1,7;b有2位有效數字1,0;c有1位有效數字1;d沒有有效數字.18第18頁，課件共45頁，創作于2023年2月數x*總可以寫成如下形式x*

作為x的近似值,具有n位有效數字當且僅當其中m是整數,ai是0到9中的一個數字,由此可見,近似值的有效數字越多,其絕對誤差越小.

有效數字的另一等價定義19第19頁，課件共45頁，創作于2023年2月故取n=6，即取6位有效數字.此時x*=1.41421.解則近似值x*可寫為由于令例為了使的近似值的絕對誤差小于10－5，問應取幾位有效數字？20第20頁，課件共45頁，創作于2023年2月

相對誤差限與有效數字之間的關系.

有效數字

相對誤差限已知x*=0.a1a2…an×10m有n位有效數字，則其相對誤差限為21第21頁，課件共45頁，創作于2023年2月相對誤差限有效數字已知x*的相對誤差限可寫為則可見x*至少有n位有效數字.22第22頁，課件共45頁，創作于2023年2月基本運算中()的誤差估計問§3數值計算中誤差的傳播如23第23頁，課件共45頁，創作于2023年2月例計算A=f(x1,x2).如果x1,x2的近似值為x1*,x2*,則A的近似值為A*=f(x1*,x2*),用多元函數微分近似公式可以得到絕對誤差e運算可近似看成微分運算.24第24頁，課件共45頁，創作于2023年2月由此可以得到基本運算中()的誤差估計,

和差的誤差限不超過各數的誤差限之和.25第25頁，課件共45頁，創作于2023年2月

乘法相對誤差限不超過各數相對誤差限之和.26第26頁，課件共45頁，創作于2023年2月

乘除相對誤差限不超過各數相對誤差限之和.27第27頁，課件共45頁，創作于2023年2月例設y=xn,求y的相對誤差與x的相對誤差之間的關系.解所以xn的相對誤差是x的相對誤差的n倍.x2的相對誤差是x的相對誤差的2倍,的相對誤差是x的相對誤差的1/2倍.28第28頁，課件共45頁，創作于2023年2月算法的數值穩定性

一種數值算法,如果其計算舍入誤差積累是可控制的,則稱其為數值穩定的,反之稱為數值不穩定的.29第29頁，課件共45頁，創作于2023年2月利用分部積分法可得計算In的遞推公式例計算積分算法1：由此遞推計算I1,I2,…,I9.解30第30頁，課件共45頁，創作于2023年2月取近似值由此計算I8,I7,…,I0.并將計算公式改寫為算法2：此時31第31頁，課件共45頁，創作于2023年2月InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.2160－0.72807.5520算法20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值0.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.091632第32頁，課件共45頁，創作于2023年2月

對任何n都應有In>0,但算法1的計算結果顯示I8<0,可見,雖然I0的近似誤差不超過0.5×10－4,但隨著計算步數的增加,誤差明顯增大.這說明算法1給出的遞推公式是數值不穩定的.

而對于算法2,雖然初始給出的I9沒有一位有效數字,但算至I6已有4位有效數字.這說明算法2中誤差隨著計算過程的深入是逐步遞減的，因而是數值穩定的.33第33頁，課件共45頁，創作于2023年2月和可得可見,隨著計算步數的增加,誤差迅速放大，使結果失真.由對于算法1：例計算積分34第34頁，課件共45頁，創作于2023年2月算法2的計算公式為類似地可得可見，近似誤差

是可控制的，算法是數值穩定的.例計算積分35第35頁，課件共45頁，創作于2023年2月§4數值計算中應注意的問題如果x,y

的近似值分別為x*,y*，則z*=x*－y*

是z

=x－y的近似值.此時，相對誤差滿足估計式

可見，當x*與y*很接近時，z*的相對誤差有可能很大.為了減少舍入誤差的影響，設計算法時應遵循如下的一些原則.1.避免兩個相近的數相減36第36頁，課件共45頁，創作于2023年2月例如在數值計算中，如果遇到兩個相近的數相減，可考慮改變一下算法以避免兩數相減.37第37頁，課件共45頁，創作于2023年2月例求方程x2－64x+1=0的兩個根，使它們至少具有四位有效數字.由求根公式有對兩個相近的數相減，若找不到適當方法代替，只能在計算機上采用雙精度進行計算，以提高精度.解若由僅有兩位有效數字，但若采用則有四位有效數字.38第38頁，課件共45頁，創作于2023年2月2.防止大數“吃掉”小數因為計算機上只能采用有限位數計算,若參加運算的數量級差很大，在它們的加、減運算中，絕對值很小的數往往被絕對值較大的數“吃掉”，造成計算結果失真.39第39頁，課件共45頁，創作于2023年2月例用八位十進制浮點計算A=26358713+0.8+0.2按照加法浮點運算的對階規則，應有A=0.26358713×108+0.000000008×108+0.000000002×108由于采用八位數運算,于是有A=26358713若改變計算順序，計算0.2+0.8+26358713，則有A=0.00000001×108+0.26358713×108=26358714在求和或差的過程中應采用由小到大的運算過程.40第40頁，課件共45頁，創作于2023年2月3.絕對值太小的數不宜作除數由于除數很小,將導致商很大,有可能出現“溢出”現象.另外,設x

,y

的近似值分別為x*

,y*，則z*=x