數列極限存在的條件第1頁，課件共29頁，創作于2023年2月一單調有界原理定義稱為單調上升的，若稱為單調下降的，若

單調增加和單調減少數列統稱為單調數列

提問:

收斂的數列是否一定有界？

有界的數列是否一定收斂？第2頁，課件共29頁，創作于2023年2月M定理1(單調有界定理)

單調有界數列必有極限

定理1的幾何解釋x1

x5

x4

x3

x2

xn

A

以單調增加數列為例

數列的點只可能向右一個方向移動

或者無限向右移動

或者無限趨近于某一定點A

而對有界數列只可能后者情況發生

數列極限存在的條件第3頁，課件共29頁，創作于2023年2月數列極限存在的條件定理1(單調有界定理)

單調有界數列必有極限

證明

第4頁，課件共29頁，創作于2023年2月例1設證明數列{}收斂.例2

例3

(n重根號),···證明數列單調有界,并求極限.求(計算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;第5頁，課件共29頁，創作于2023年2月注意到對有有↘···,例41）證明序列的極限存在；2）求極限第6頁，課件共29頁，創作于2023年2月解1）因時有所以即有這表明序列有下界。又故序列下降。因此序列極限存在，記極限值為c。于是或第7頁，課件共29頁，創作于2023年2月2）因所以又即得第8頁，課件共29頁，創作于2023年2月例2證(舍去)第9頁，課件共29頁，創作于2023年2月二數列收斂的充要條件——Cauchy收斂準則1Cauchy列：

如果數列具有以下特性：則稱數列是一個基本數列.（Cauchy列）2Cauchy收斂準則：定理數列

收斂的充要條件是：是一個基本數列.數列收斂或第10頁，課件共29頁，創作于2023年2月第11頁，課件共29頁，創作于2023年2月第12頁，課件共29頁，創作于2023年2月數列極限存在的條件定理的幾何解釋

柯西準則說明收斂數列各項的值越到后邊,彼此越是接近,以至充分后面的任何兩項之差的絕對值可小于預先給定的任意小正數.或形象地說,收斂數列的各項越到后面越是擠在一起.x1

x2

x3

x4

x5

第13頁，課件共29頁，創作于2023年2月

例5證明:任一無限十進小數

的不足近似值所組成的數列收斂.其中

是中的數.

證令有第14頁，課件共29頁，創作于2023年2月

……

第15頁，課件共29頁，創作于2023年2月第16頁，課件共29頁，創作于2023年2月第17頁，課件共29頁，創作于2023年2月第18頁，課件共29頁，創作于2023年2月三.關于極限

（證明留在下段進行.）例8

例9

例10第19頁，課件共29頁，創作于2023年2月四數列

證法一單調有界證法欣賞:

Cauchy(1789—1857)最先給出這一極限，Riemann（1826—1866）最先給出以下證法一.設用二項式展開，得第20頁，課件共29頁，創作于2023年2月注意到

且比多一項

即↗.第21頁，課件共29頁，創作于2023年2月有界.綜上,數列{}單調有界.評註:該證法樸素而穩健,不失大師風度.證法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式為正整數),有第22頁，課件共29頁，創作于2023年2月第23頁，課件共29頁，創作于2023年2月第24頁，課件共29頁，創作于2023年2月第25頁，課件共29頁，創作于2023