數學物理方程的導出第1頁，課件共50頁，創作于2023年2月本篇主要內容：二階線性偏微分方程的建立和求解重點：數學物理方程求解方法中的分離變量法。特點：加強物理模型和數學物理思想的介紹，以便充分了解模型的物理意義，有利于根據數學物理模型建立數學物理方程。

第2頁，課件共50頁，創作于2023年2月第二篇緒論數學物理思想數學物理方程（簡稱數理方程）是指從物理學及其它各門自然科學、技術科學中所導出的函數方程，主要指偏微分方程和積分方程。數學物理方程所研究的內容和所涉及的領域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現象和普遍規律。第3頁，課件共50頁，創作于2023年2月在科學技術和生產實際中，經常要研究空間連續分布的各種物理場的狀態和物理過程，例如電磁波在空間和時間中的變化，半導體擴散工藝中雜質濃度在硅片中的分布和隨時間變化關系等等?？傊茄芯磕硞€物理量在空間某個區域的分布以及它怎樣隨時間變化。其中的自變數不僅僅是時間，而且還必須包括空間坐標。解決這些問題，首先必須掌握所研究的物理量在空間中的分布規律和時間中的變化規律，這就是物理課題中所研究并加以討論的物理規律。物理規律反映同一物理現象的共同規律，即普遍性，亦即共性。第4頁，課件共50頁，創作于2023年2月個性：同一類物理現象中，各個具體問題又各有其特殊性，即個性。物理規律不反映這種個性。

例如，半導體擴散工藝中，有“恒定表面濃度擴散”和“限定源擴散”。前者是表面雜質濃度一定，后者是雜質總量一定，雖擴散規律一樣，但其結果顯然不同。又如電磁波在空間的傳播。因此，為解決具體問題，必須考慮“環境”的影響，即邊界所處的物理狀況——邊界條件。第5頁，課件共50頁，創作于2023年2月同時，研究問題還不能割斷歷史。

例如同一根琴弦，用不同的東西去敲，發出的聲音是不一樣的。雖然其振動是按照同一規律進行，但是由于所謂“初始”時刻的振動是不一樣的，故后來振動也不一樣。又如，不同初始濃度的硅片雜質擴散，在相同的工藝條件下，其擴散結果也是不一樣的。故還必須考慮研究對象特定“歷史”，即初始時刻的狀態——初始條件。第6頁，課件共50頁，創作于2023年2月邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環境和歷史，即問題的特殊性。在數學上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。物理規律用數學的語言“翻譯”出來，往往是偏微分方程——數學物理方程。數學物理方程，作為同一類物理現象的共性，跟具體條件無關。在數學上，數學物理方程本身（不連帶定解條件）叫作泛定方程。第7頁，課件共50頁，創作于2023年2月聲振動是研究聲源與聲波場之間的關系熱傳導是研究熱源與溫度場之間的關系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法國數學家）方程表示的是電勢（或電場）和電荷分布之間的關系定解問題從物理規律角度來分析，數學物理定解問題表征的是場和產生這種場的源之間的關系．第8頁，課件共50頁，創作于2023年2月根據分析問題的不同出發點，把數學物理問題分為正向問題和逆向問題.不同出發點

正向問題，即為已知源求場

逆向問題，即為已知場求源.

前者是經典數學物理所討論的主要內容。后者是高等數學物理（或稱為現代數學物理）所討論的主要內容。第9頁，課件共50頁，創作于2023年2月多數為二階線性偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導方程靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程數學物理方程的類型和所描述的物理規律第10頁，課件共50頁，創作于2023年2月三類典型的數學物理方程三類典型的數學物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第11頁，課件共50頁，創作于2023年2月第七章數學物理定解問題1、數學物理方程的導出2、定解條件3、數學物理方程的分類4、達朗貝爾公式第12頁，課件共50頁，創作于2023年2月7.1.1波動方程的建立1、弦的微小橫振動考察一根長為且兩端固定、水平拉緊的弦．討論如何將這一物理問題轉化為數學上的定解問題．要確定弦的運動方程，需要明確：確定弦的運動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律

（3）按物理定理寫出數學物理方程（即建立泛定方程）

要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

7.1數學物理方程的導出第13頁，課件共50頁，創作于2023年2月注意：物理問題涉及的因素較多，往往還需要引入適當假設才能使方程簡化。數學物理方程必須反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍規律，所以考察點不能取在端點上，但可以取除端點之外的任何位置作為考察點。圖7.1第14頁，課件共50頁，創作于2023年2月

根據牛頓第二定律方向運動的方程可以描述為

作用于小段的縱向合力應該為零：

(7.1.2)僅考慮微小的橫振動，

夾角為很小的量，忽略及其以上的高階小量，則根據級數展開式有（7.1.1）

第15頁，課件共50頁，創作于2023年2月注意到:故由圖7.1得這樣，(7.1.1)和(7.1.2)簡化為(7.1.3)(7.1.4)第16頁，課件共50頁，創作于2023年2月因此在微小橫振動條件下，可得出

，弦中張力不隨而變，

可記為

故有

(7.1.5)變化量可以取得很小，根據微分知識有下式成立

這樣，段的運動方程(7.1.5)就成為

(7.1.6)第17頁，課件共50頁，創作于2023年2月即為討論：（1）設弦的重量不能忽略不計，則弦振動方程為怎樣形式？

（7.1.7）上式即為弦作微小橫振動的運動方程，簡稱為弦振動方程．

其中（7.1.8）

第18頁，課件共50頁，創作于2023年2月(2)如果在弦的單位長度上還有橫向外力作用，則式(7.1.7)應該改寫為

(7.1.9)式中稱為力密度

，為時刻作用于處單位質量上的橫向外力式（7.1.9）稱為弦的受迫振動方程。第19頁，課件共50頁，創作于2023年2月2、均勻桿的縱振動（7.1.10）可得

（7.1.11）

這就是桿的縱振動方程。圖7.2從圖容易得到B段的伸長為而相對伸長則為確切的說，相對伸長隨地點而異，B的兩端相對伸長不一樣。根據胡克定理，B段的運動方程為：第20頁，課件共50頁，創作于2023年2月討論(1)對于均勻桿，和是常數，(7.１.11）可以改寫成（7.１.12）

其中這與弦振動方程（7.１.8）具有完全相同的形式．（2）桿的受迫振動方程跟弦的受迫振動方程（7.１.9）完全一樣，只是其中應是桿的單位長度上單位橫截面積所受縱向外力第21頁，課件共50頁，創作于2023年2月第22頁，課件共50頁，創作于2023年2月3*、傳輸線方程（電報方程）

（7.1.13）

同理可得：

(7.1.14)

式（7.1.13）及（7.1.14）即為一般的傳輸線方程。圖7.3第23頁，課件共50頁，創作于2023年2月(1)無失真線

(7.1.15)

其中(2)無損耗線（7.1.16）

(7.1.17)

具有與振動方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同第24頁，課件共50頁，創作于2023年2月(3)無漏導，無電感線（7.1.18）

(7.1.19)它們具有與下節將討論的一維熱傳導方程類似的數學形式，盡管它們的物理本質根本不同．第25頁，課件共50頁，創作于2023年2月7.1.2

熱傳導類型方程的建立

1、熱傳導方程

第26頁，課件共50頁，創作于2023年2月圖7.3第27頁，課件共50頁，創作于2023年2月或寫成

(7.1.21)第28頁，課件共50頁，創作于2023年2月第29頁，課件共50頁，創作于2023年2月

2、擴散方程

(7.1.24)

其中將一維推廣到三維，即得到

(7.1.25)上述方程與熱傳導方程具有完全類似的形式

第30頁，課件共50頁，創作于2023年2月若外界有擴散源，且擴散源的強度為這時，擴散方程應為（7.1.26）

從上面的推導可知，熱傳導和擴散這兩種不同的物理現象，但可以用同一類方程來描述。第31頁，課件共50頁，創作于2023年2月7.1.3靜電場的電勢方程上兩方程分別稱為泊松方程和拉普拉斯方程。第32頁，課件共50頁，創作于2023年2月2、穩定溫度分布導熱物體內的熱源分布和邊界條件不隨時間變化故熱傳導方程中對時間的偏微分項為零，從而熱傳導方程（7.1.22)，(7.1.23)即為下列拉普拉斯方程和泊松方程.

(7.1.29)

(7.1.30)第33頁，課件共50頁，創作于2023年2月總結三類典型的數學物理方程雙曲型方程波動方程為代表拋物型方程熱傳導方程為代表橢圓型方程泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程第34頁，課件共50頁，創作于2023年2月作業P1521,4（7.1.8）

推導不忽略重力時的弦振動方程第35頁，課件共50頁，創作于2023年2月7.2定解條件7.2.1初始條件對于隨著時間發展變化的問題，必須考慮到研究對象的特定“歷史”，也就是某個所謂“初始”時刻的狀態，即初始條件。1、波動方程的初始條件

第36頁，課件共50頁，創作于2023年2月例7.2.1

一根長為的弦，兩端固定于和,在距離坐標原點為的位置將弦沿著橫向拉開距離

，如圖7.4所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。

b

xuolh圖7.4

解:初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始位移如圖所示

第37頁，課件共50頁，創作于2023年2月2、熱傳導方程的初始條件對于輸運過程（擴散，熱傳導），初始狀態指的是研究的物理量的初始分布（初始濃度分布、初始溫度分布）。因此，初始條件為（7.2.2）

其中是已知函數。3、沒有初始條件的問題在周期性外源引起的輸運問題或周期性外力作用下的振動問題中，經過很多周期后，初始條件引起的自由運輸或自由振動可以認為消失，這樣就完全可以忽略初始條件的影響，這類問題稱為沒有初始條件的問題。穩定場問題（靜電場、穩定濃度分布，穩定溫度分布等）根本就不存在初始條件問題，無需多說。第38頁，課件共50頁，創作于2023年2月7.2.2邊界條件研究具體的物理系統，還必須考慮研究對象所處的特定“環境”，二周圍環境的影響通常體現為邊界上的物理情況，即邊界條件。常見的線性邊界條件分為三類：第一類邊界條件

直接規定了所研究的物理量在邊界上的數值（7.2.3）

第39頁，課件共50頁，創作于2023年2月第二類邊界條件

規定了所研究的物理量在邊界外法線方向上方向導數的數值（7.2.4）

第40頁，課件共50頁，創作于2023年2月第三類邊界條件

規定了所研究的物理量及其外法向導數的線性組合在邊界上的數值（7.2.5）

其中是時間的已知函數，為常系數．

第41頁，課件共50頁，創作于2023年2月第42頁，課件共50頁，創作于2023年2月第43頁，課件共50頁，創作于2023年2月7.2.3銜接條件由于某些原因，研究的區域里出現躍變點，泛定方程在躍變點失去意義，把躍變點兩邊連接起來需要滿足的條件稱為銜接條件。第44頁，課件共50頁，創作于2023年2月例7.2.2

長為的弦在端固定，另一端自由，且在初始時刻時處于水平狀態，初始速度為，且已知弦作微小橫振動，試寫出此定解問題.

【解】（1）確定泛定方程：取弦的水平位置為軸，為原點，弦作自