高等數學第十三講1標題添加點擊此處輸入相關文本內容點擊此處輸入相關文本內容前言點擊此處輸入相關文本內容標題添加點擊此處輸入相關文本內容第八章習題課一、基本概念

二、多元函數微分法三、多元函數微分法的應用多元函數微分法3一、基本概念1.多元函數的定義、極限、連續

定義域及對應規律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數的連續性及其性質2.幾個基本概念的關系連續性偏導數存在方向導數存在可微性4平面點集和區域多元函數的極限多元函數連續的概念極限運算多元連續函數的性質多元函數概念一、主要內容5全微分的應用高階偏導數隱函數求導法則復合函數求導法則全微分形式的不變性微分法在幾何上的應用方向導數多元函數的極值全微分概念偏導數概念62、多元函數概念定義類似地可定義三元及三元以上函數．73、多元函數的極限8說明：（1）定義中（2）二元函數的極限也叫二重極限（3）二元函數的極限運算法則與一元函數類似．4、極限的運算的方式是任意的；95、多元函數的連續性10在有界閉區域D上的多元連續函數，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區域D上的多元連續函數，如果在D上取得兩個不同的函數值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理6、多元連續函數的性質117、偏導數概念121314８、高階偏導數純偏導混合偏導定義二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數.15９、全微分概念16多元函數連續、可導、可微的關系函數可微函數連續偏導數連續函數可導1711、復合函數求導法則以上公式中的導數稱為全導數.181912、全微分形式不變性無論是自變量的函數或中間變量的函數，它的全微分形式是一樣的.20多元函數微分法顯示結構隱式結構1.分析復合結構(畫變量關系圖)自變量個數=變量總個數–方程總個數自變量與因變量由所求對象判定2.正確使用求導法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”注意正確使用求導符號3.利用全微分形式不變性21隱函數的求導公式13、隱函數的求導法則222314、微分法在幾何上的應用切線方程為法平面方程為(1)空間曲線的切線與法平面24(２)曲面的切平面與法線切平面方程為法線方程為2515、方向導數記為26三元函數方向導數的定義27梯度的概念28梯度與方向導數的關系2916、多元函數的極值定義30多元函數取得極值的條件

定義一階偏導數同時為零的點，均稱為多元函數的駐點.極值點注意駐點313233體會二元函數的一些基本概念之間的關系1、函數可微，偏導數不一定連續；2、當和不存在時，也不能斷定和不存在。這只能說明偏導數在點（0，0）處不連續。在點處四個基本概念之間的關系連續性偏導數方向導數可微性可微性條件增強由它可以推出其它三個概念，反之不一定存在。34例1.

已知求出的表達式.即解

且35例236解例337例4討論二重極限解取38例539例6

討論函數在解因為沿時,隨k變化而變化，即不存在，所以在處的不連續。處的連續性。40例7設求解方程兩邊同時微分41例8.

(11考研)設函數其中f具有二階連續偏導數，函數可導，且在處取到極值，求解由題意得，因為所以42解例943例10.且求解：求導方程組對44P131題12設求提示:①②利用行列式解出du,dv：45代入①即得代入②即得①②46提示:利用故f在(0,0)連續;得在點(0,0)處連續且偏導數存在,但不可微.例11證明:47而所以f

在點(0,0)不可微!48提示:利用故f在(0,0)連續;知在點(0,0)處連續且偏導數存在,但不可微.例11證明:49而所以f

在點(0,0)不可微!偏導數存在,但不可微.例11證明:50例12、研究函數(1)在點(0,0)處是否連續;(2)在點(0,0)處偏導數是否存在和連續;(3)在點(0,0)處沿任意方向的方向導數是否存在;(4)在點(0,0)處是否可微;提示:對于分段函數在分界點處的討論,通常情況下,用定義討論51為()(P490例4(1))2)

由平面曲線繞y軸旋轉一周所成曲面在點處指向外側的單位法向量提示:旋轉曲面方程為在M點的外側法向量為設52由夾逼準則可知故連續2、偏導數極限不存在故不連續1、連續性53故在點(0,0)處沿任意方向的方向導數都存在。3、方向導數54而故可微4、可微55例13求下列函數的偏導數證明設證明：因此同理56練習題1.設函數f二階連續可微,求下列函數的二階偏導數2.同濟(下)P131題1257解答提示:第1題求58三、多元函數微分法的應用1.在幾何中的應用求曲線的切線及法平面(關鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(隱式方程,顯式方程)2.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(消元法,拉格朗日乘數法)

求解最值問題(參數方程，一般方程)(關鍵:抓住法向量)59例1.在球面上找一點，使函數沿到的方向導數具有最大值點。提示：由于問題轉化為求：在條件下的極值，利用拉格朗日判別法.60經常不斷地學習,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMor