數學建模課程建設與競賽輔導(天津)-楊啟帆1、不要輕言放棄，否則對不起自己。2、要冒一次險!整個生命就是一場冒險。走得最遠的人，常是愿意去做，并愿意去冒險的人。“穩妥”之船，從未能從岸邊走遠。--戴爾．卡耐基。3、人生就像一杯沒有加糖的咖啡，喝起來是苦澀的，回味起來卻有久久不會退去的余香。4、守業的最好辦法就是不斷的發展。5、當愛不能完美，我寧愿選擇無悔，不管來生多么美麗，我不愿失去今生對你的記憶，我不求天長地久的美景，我只要生生世世的輪回里有你。數學建模課程建設與競賽輔導(天津)-楊啟帆數學建模課程建設與競賽輔導(天津)-楊啟帆1、不要輕言放棄，否則對不起自己。2、要冒一次險!整個生命就是一場冒險。走得最遠的人，常是愿意去做，并愿意去冒險的人。“穩妥”之船，從未能從岸邊走遠。--戴爾．卡耐基。3、人生就像一杯沒有加糖的咖啡，喝起來是苦澀的，回味起來卻有久久不會退去的余香。4、守業的最好辦法就是不斷的發展。5、當愛不能完美，我寧愿選擇無悔，不管來生多么美麗，我不愿失去今生對你的記憶，我不求天長地久的美景，我只要生生世世的輪回里有你。數學建模課程建設

與競賽輔導

浙江大學數學系楊啟帆

2011.7.2

（一）浙江大學開展數學建模教學和組織參加各種競賽的情況簡介1982-1995課程開設，數學系限定性選修課，教材建設，1990年出版“數學模型”1995-1999擴大受教育面，開設各種必修課、選修課：（1）竺可楨學院混合班必修課（今年起改為榮譽課程）（2）竺可楨學院工程高級班（3）理科基地班必修課修課（4）全校性選修課（5）數學系必修課（6）研究生學位課

教學效果與教改收獲學生綜合素質與科研能力得到了有效提高（每年有上千名學生聽課、提交科研論文或研究報告數十篇，300多個隊參加學校數學建模競賽，大約25-30個隊參加全國競賽、10個隊參加美國競賽，學生參與的積極性十分高漲，這些學生的素質與能力在科研實踐中迅速提高）增強了學生學習數學知識和專業知識的興趣（培養興趣、提高能力、增長知識是大學教育的主要任務）為更高層次的人才培養輸送了大批尖子學生（為國內外著名高校和科研機構提供了優秀生源，其中不少原先只是中等生）培養了學生合作研究的習慣學生參賽獲獎（1999年以來）

美國競賽：特等獎4項（99、03、10、11）其中INFORMS（美國運籌與管理學會）3項，國際一等獎52項（2000、2001全部一等獎），二等獎30項全國競賽：一等獎34項（含高教社杯），二等獎46項出版教材：

除較早期和邊馥萍老師合作編寫的“數學模型”外還有：

（1）數學建模，1999（省重點建設教材），國家十五規劃教材，2006年6月出版，浙江大學出版社（2）數學建模競賽-浙江大學學生獲獎論文點評，2005年7月出版，浙江大學出版社（3）數學建模，教育科學十五規劃研究成果，2005年5月出版，高等教育出版社（4）數學建模案例集，2006年7月出版，高等教育出版社另有幾本正在編寫中（二）教學中注意對學生能力的培養在介紹經典模型的同時，講解基本技巧：經驗方法、量綱分析、比例關系的利用、參數選取、房室系統、集中參數法與分布參數法、工程師原則、統計籌算率等等基本技巧的靈活應用與經典模型的推廣：從人口模型到多種群生態系統模型從P-P模型到大魚吃小魚、小魚吃蝦米將課堂教學、課外實踐、SRTP（畢業設計）等項目指導、研討班、競賽培訓及組織競賽有機結合起來，形成系列化教學體系。（春節后開課、5月初校競賽、暑假后舉辦1次研討班、暑假自行準備競賽、美賽前舉辦1次研討）

加強學生實踐環節的指導（鼓勵學生研究自己感興趣的問題，如：蟬的共鳴、紫金港校區路燈優化設計、杭州黃金周旅游接待等）注意對學生綜合素質的培養（冰凍三尺，非一日之寒，功夫在平時）

（觀察與發現能力），如：（例）數字的黑洞現象任取一個能被3整除的數，如213按如下運算：

猜測自然也有可能猜錯，例如歐拉方，費馬數（3，5，17，257,65537）等被猜錯-猜測須證明（例1）

某人平時下班總是按預定時間到達某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？發散性思維能力的培養

似乎條件不夠哦。。

換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地點，那么這一天他就不會提前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？

顯然是由于節省了從相遇點到會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。

請思考一下，本題解答中隱含了哪些假設？例2

交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態——亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。設想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說，在離街口距離為L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖1-4。對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們仍能穿過馬路。

馬路的寬度D是容易測得的，問題的關鍵在于L的確定。為確定L，還應當將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機在發現黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間內駛過的路程，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間t1早有測算，反應時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來（留作習題）。黃燈究竟應當亮多久現在已經變得清楚多了。第一步，先計算出L應多大才能使看見黃燈的司機停得住車。第二步，黃燈亮的時間應當讓已過線的車順利穿過馬路，即T至少應當達到（L+D）/v。

DL例3將形狀質量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠方，問最遠可以延伸多大距離。設磚塊是均質的，長度與重量均為1，其重心在中點1/2磚長處，現用歸納法推導。

Zn(n－1)n(n＋1)由第n塊磚受到的兩個力的力矩相等，有：

1/2-Zn=(n－1)Zn故Zn=1/(2n)，從而上面n塊磚向右推出的總距離為，故磚塊向右可疊至任意遠

，這一結果多少有點出人意料。

發散性思維要有意義，科研要有目的，要盡量應用已有的學科知識，但學科知識的應用有時是意想不到的。（例）循環圖的連通性與gcd(a,n)=1之間的關系）。舉例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2———希爾密碼設計古典密碼不能改變字母出現的頻率利用矩陣與向量相乘運算困難：逆矩陣不能用于解密想辦法克服困難。

（實例）取A=則(具體求法見后),用A加密THANKYOU,再用對密文解密

用矩陣A左乘各向量加密（關于26取余）得

得到密文JXCPIWEK解:(希爾密碼加密)用相應數字代替字符，劃分為兩個元素一組并表示為向量：（希爾密碼解密）用A-1左乘求得的向量，即可還原為原來的向量。(自行驗證)希爾密碼是以矩陣法為基礎的，明文與密文的對應由n階矩陣A確定。矩陣A的階數是事先約定的，與明文分組時每組字母的字母數量相同，如果明文所含字數與n不匹配，則最后幾個分量可任意補足。

A-1的求法方法1

利用公式，例如，若取，則,,(mod26)，即方法2

利用高斯消去法。將矩陣(A,E)中的矩陣A消為E，則原先的E即被消成了A-1，觀察——猜測——證明，科學研究的重要途徑之一（例1）設有一個半徑為r的圓形湖，圓心為O。A、B

位于湖的兩側，AB連線過O，見圖。現擬從A點步行到B點，在不得進入湖中的限制下，問怎樣的路徑最近。

ABOrEFE′F′邏輯推理與證明能力猜測證明如下：（方法一）顯然，由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F′B圍成的區域R是一凸集。利用分離定理易證最短徑不可能經過R外的點，若不然，設Γ為最短路徑，Γ過R外的一點M，則必存在直線l分離M與R，由于路徑Γ是連續曲線，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。這樣，直線段M1M2的長度必小于路徑M1MM2的長度，與Γ是A到B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集R內。不妨設路徑經湖的上方到達B點，則弧EF必在路徑F上，又直線段AE是由A至E的最短路徑，直線FB是由F到B的最短路徑，猜測得證。ABOrEFE′F′M1M2MΓl（例2）（交換座位——奇偶數校驗）

（問題的提出）一位老師正在上英語課，教室里共有九排座位，每排有7把椅子，座位上坐滿了學生。為了增加口語練習機會，老師要求學生變換一下座位，但該老師要求每位同學在交換以后必須坐在原先座位的前后左右4個座位之一上，問學生應當怎樣交換座位？（解答）這一問題是無解的，教室里共有63個座位，如果你給座位編一下號（要連續編號），你會發現原先坐在奇數號上的學生交換以后必定坐在偶數位上，反之，原先坐在偶數位的同學交換后必定坐在奇數位上，，但奇數位椅子和偶數位椅子數量不一樣，所以無法交換。

（例3）

擬將一批尺寸為1×2×4的的商品裝入尺寸為6×6×6的正方體包裝箱中，問是否存在一種裝法，使裝入的該商品正好充滿包裝箱。解

將正方體剖分成27個2×2×2的小正方體，并按下圖所示黑白相間地染色。再將每一2×2×2的小正方體剖分成1×1×1的小正方體。易見，27個2×2×2的正方體中，有14個是黑的，13個是白的（或13黑14白），故經兩次剖分，共計有112個1×1×1的黑色小正方體和104個1×1×1的白色小正方體。雖然包裝箱的體積恰好是商品體積的27倍，但容易看到，不論將商品放置在何處，它都將占據4個黑色和4個白色的1×1×1小正方體的位置，故商品不可能充滿包裝箱。例如圓周率的計算（可以有多種方法：古典方法、分析方法、其他方法—算法設計、計算速度，有效數字的概念等等，具體從略）（計算能力）要求學生會建模必須讓他們掌握建模基本技巧在介紹經典模型的同時，講解基本技巧：經驗方法（數據處理）、量綱分析、比例關系的利用、參數選取、房室系統、集中參數法與分布參數法、工程師原則、統計籌算率等基本技巧的靈活應用與經典模型的推廣：從人口模型到多種群生態系統模型

建模基本技巧的掌握（三種基本的雙種群模型說明）從P-P模型到大魚吃小魚、小魚吃蝦米（三）競賽準備及注意事項（供參考）組隊應體現取長補短，準備應有分工

（數學、算法、編程、軟件使用等）。

做題不在多而在精（我校一般要求每類至少各做2題）。不同基礎的學生應當用不同方法培訓

在做題過程中培養快速掌握未學過的知識的能力（MCM99C)分析對比獲獎論文的各種做法：

（1）找出每一篇的閃光點

（2）學習論文寫作方法（各隊可養成自己的寫作習慣）善于隨時總結，找出出本隊弱點，及時彌補盲點。（四）指導競賽的幾點經驗教訓1.

認真選題

（例1）CMCM97(零件參數設計與截斷切割）（例2）MCM2004（quickpass與校園網)

（例3）MCM2010（A棒球桿、B系列犯罪預測、C太平洋污染）*有時題目本身有一定的局限性：登機問題，SARS的預防等，基礎較好的隊應盡量避免做這種題目。2.充分查閱資料（例1）MCM2000A題（自行車競賽資料、自行車資料及賽場資料等）（例2）MCM2004A題（指紋鑒定與DNA鑒定)指紋鑒定的原理、指紋的收集等（例3）小行星撞擊地球隕石坑形狀、南極的地貌與環境、地震與海嘯、南極附近海域的生態狀況等，在此基礎上找出解決問題的主攻方向3.解答要符合題意，要有清晰的思路，要有總體安排

（例1）MCM2004B(quickpass)（例2）上海世博會的影響力（1.如何采集數據，2.如何通過對比加強說服力）

4.要找準突破口，使研究步步深入

例1：MCM99C題（污染物傳播方式——地下水水平面方程——數值解，關于打井方法的建議）例2：小行星撞擊地球：隕石坑形狀、南極的地貌與環境、地震與海嘯、南極附近海域的生態狀況等，在此基礎上找出解決問題的主攻方向例3：蟬的共鳴

怎樣步步深入

（一個簡單實例）崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計算器，你也許會出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計山崖的高度，假定你能準確地測定時間，你又怎樣來推算山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。我有一只具有跑表功能的計算器。方法一假定空氣阻力不計，可以直接利用自由落體運動的公式來計算。例如，設t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。

我學過微積分，我可以做得更好，呵呵。

除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當屬空氣阻力。根據流體力學知識，此時可設空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數K為常數，因而，由牛頓第二定律可得：

令k=K/m，解得

代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有

再積分一次，得：

若設k=0.05并仍設t=4秒，則可求得h≈73.6米。

聽到回聲再按跑表，計算得到的時間中包含了反應時間

進一步深入考慮不妨設平均反應時間為0.1秒，假如仍設t=4秒，扣除反應時間后應為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。

①多測幾次，取平均值再一步深入考慮代入初始條件h(0)=0，得到計算山崖高度的公式：

將e-kt用泰勒公式展開并令k→0+

，即可得出前面不考慮空氣阻力時的結果。還應考慮回聲傳回來所需要的時間。為此，令石塊下落的真正時間為t1，聲音傳回來的時間記為t2，還得解一個方程組：這一方程組是非線性的，求解不太容易，為了估算崖高竟要去解一個非線性主程組似乎不合情理

相對于石塊速度，聲音速度要快得多，我們可用方法二先求一次

h，令t2=h/340，校正t，求石塊下落時間t1≈t-t2將t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如，若h=69.9米，則t2≈0.21秒，故t1≈3.69秒，求得h≈62.3米。所謂的魔方是指由1~n2這n2個正整數按一定規則排列成的一個n行n列的正方形。n稱為此魔方的階。Dürer魔方：4階，每一行之和為34，每一列之和為34，對角線（或反對角線）之和是34，每個小方塊中的數字之和是34，四個角上的數字加起來也是34一個數學游戲的研究

（一）Dürer魔方多么奇妙的魔方！銅幣鑄造時間：1514年

構造魔方是一個古老的數學游戲，起初它還和神靈聯系在一起，帶有深厚的迷信色彩。傳說四千二百多年前（公元前2200年），因治水出名皇帝大禹就構造了三階魔方（被人們稱“洛書”），至今還有人把它當作符咒用于某些迷信活動，大約在十五世紀時，魔方傳到了西方，著名的科尼利厄斯·阿格里帕（1486-1535）先后構造出了3~9階的魔方。如何構造魔方奇數（不妨n=5）階的情況Step1:在第一行中間寫1Step2:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一個數，向上移出界時填下一列最后一行的小方格；向右移出界時填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填過數或已達到魔方的右上角時，改填剛才填的格子正下方的小方格，繼續Step2直到填完12345678910111213141516171819202122232425偶數階的情況

偶數階的魔方可以利用奇數階魔方拼接而成，拉爾夫·斯特雷奇給出了一種拼接的方法，這里不作詳細介紹五階沒人知道有多少個！！！三階1個反射和中心旋轉生成8個四階880個反射和中心旋轉生成7040個魔方數量隨階數n增長的速度實在是太驚人了！同階魔方的個數允許構成魔方的數取任意實數允許取實數

n階魔方A、B，任意實數α、βαA+βB是n階魔方具有指定性質的魔方全體構成一個線性空間問題已發生了實質性變化注：刻畫一個線性空間只需指出它的維數并求出此線性空間的一組基底松馳問題的討論

顯然，Dürer空間（簡稱D空間）中任何一個元素都可以用Q1，Q2，…，Q8來線性表示，但它們能否構成D空間的一組基呢？容易看出：Q1，…，Q8這8個基本方是線性相關的，即至少存在一個Qj，可以通過其它7個基本方的線性組合得到。這8個基本方的地位是等同的，故可不妨設j=8。下面驗證Q1，Q2，…，Q7是否線性相關。

令：，即=5.要區分問題與實例（例）災情巡視（Multi-TSP——近似算法？）6.算法要好例（整理問題）給定n個實數a1,a2,…,an，要求將它整理成由小到大排列（或由大到小排列）的順序：b1,b2，…，bn，b1≤b2≤…≤bn。（算法比較）多項式算法與指數算法，P問題與NP難題，（計算量的估計）。7.算法思想的敘述應注意簡單清晰（例）CMCM99A（自動化機床管理）

8.論文是研究成果，要反復修改寫論文要早開始論文要寫得像論文論文的各部分都要注意到9.賽后要反思，認真總結本隊參賽的經驗教訓。

（閱卷中常見的一些問題）

（1）假設提得不好（CMCM96B洗衣機節水的閱卷，餐館洗碗）