第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念【素養目標】1．通過實例了解集合的含義，掌握集合元素的三個特性，初步運用集合元素的特性解決簡單問題．(數學抽象)2．體會元素與集合之間的屬于關系，記住并會應用常用數集的表示符號．(邏輯推理)3．掌握集合的兩種表示方法(列舉法和描述法)．(直觀想象)4．能夠運用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合．(直觀想象)【學法解讀】在本節學習中，學生依據老師創設合適的問題情境，以義務教育階段所學過的數學內容為載體，學會用集合語言表達學過的相應內容，理解元素與集合的關系、元素的特征及集合的表示方法．第1課時集合的含義必備知識·探新知關鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養作業·提技能必備知識·探新知基礎知識

集合與元素的含義一般地，我們把研究對象統稱為________(element)，把一些元素組成的________叫做集合(set)(簡稱為集)．通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示________，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的________.對象：可以是數、點、圖形，也可以是人或物等，即對象的形式多樣化．元素知識點1總體集合元素元素：具有共同的特征或共同的屬性的對象．總體：集合是一個整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義．因此，一些對象一旦組成了集合，這個集合就是這些對象的全體，而非個別對象．思考1：集合中的“研究對象”所指的就是數學中的數、點、代數式嗎？提示：集合中的“研究對象”所指的范圍非常廣泛，可以是數學中的數、點、代數式，也可以是現實生活中的各種各樣的事物或人等．

集合中元素的三個特性知識點2特性含義示例確定性作為一個集合的元素，必須是確定的，不能確定的對象就不能構成集合，也就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了集合A＝{1,2,3}，則1∈A,4?A特性含義示例互異性對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者說是互異的)，這就是說，集合中的任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入同一集合時只能算集合的一個元素集合{x，x2－x}中的x應滿足x≠x2－x，即x≠0且x≠2無序性構成集合的元素間無先后順序之分集合{1,0}和{0,1}是同一個集合思考2：集合元素的三個特性主要有哪些應用？提示：(1)確定性的主要作用是判斷一組對象能否構成集合，只有這組對象具有確定性時才能構成集合．界定模糊的元素不能構成集合，如“小河流”“難題”等．(2)無序性的主要作用是方便定義集合相等．當兩個集合相等時，其元素不一定依次對應相等．如{1,2,3}與{3,2,1}表示同一集合．(3)互異性的主要作用是警示我們做題后要檢驗．特別是題中含有參數(即字母)時，一定要檢驗求出的參數是否滿足集合中元素的互異性．

元素與集合的關系∈知識點3關系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合Aa______Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合Aa?Aa__________集合A不屬于思考3：(1)元素與集合之間有第三種關系嗎？(2)符合“∈”“?”的左邊可以是集合嗎？提示：(1)對于一個元素a與一個集合A而言，只有“a∈A”與“a?A”這兩種結果．(2)∈和?具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，所以左邊不可以是集合．

常用數集及其記法知識點4數集意義符號非負整數集(或自然數集)全體非負整數組成的集合N正整數集全體正整數組成的集合N*或N＋整數集全體整數組成的集合Z有理數集全體有理數組成的集合Q實數集全體實數組成的集合R思考4：N，N*，N＋有什么區別？提示：

(1)N為非負整數集(或自然數集)，而N*或N＋表示正整數集，不同之處就是N包括0，而N*(N＋)不包括0.(2)N*和N＋的含義是一樣的，初學者往往會誤記為N*或N＋，為避免出錯，對于N*和N＋，可形象地記為“星星(*)在天上，十字(＋)在地下”．基礎自測1．下列各組對象中不能組成集合的是(

)A．清華大學2019年入校的全體學生B．我國十三屆全國人大二次會議的全體參會成員C．中國著名的數學家D．不等式x－1>0的實數解[解析]

“著名的數學家”無明確的標準，對于某人是否“著名”無法客觀地判斷，因此“中國著名的數學家”不能組成集合，故選C．CA4．方程x2－1＝0與方程x＋1＝0所有解組成的集合中共有_____個元素．[解析]

方程x2－1＝0的解為1，－1，x＋1＝0的解為－1，所以兩個方程所有解組成的集合有2個元素，故填2.①④2關鍵能力·攻重難題型探究

下列各組對象：①某個班級中年齡較小的男同學；②聯合國安理會常任理事國；③2018年在韓國舉行的第23屆冬奧會的所有參賽運動員；④的所有近似值．其中能夠組成集合的是________.[分析]

結合集合中元素的特性分析各組對象是否滿足確定性和互異性，進而判斷能否組成集合．②③題型一集合的基本概念例1[解析]

①中的“年齡較小”、④中的“近似值”，這些標準均不明確，即元素不確定，所以①④不能組成集合．②③中的對象都是確定的、互異的，所以②③可以組成集合．填②③.[歸納提升]

1.判斷一組對象能否構成集合的關鍵在于看是否有明確的判斷標準，使給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的．如果是“確定無疑”的，就可以構成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構成集合．2．判斷集合中的元素個數時，要注意相同的對象歸入同一集合時只能算作一個，即集合中的元素滿足互異性．【對點練習】?下列每組對象能否構成一個集合：(1)我國的小城市；(2)某校2019年在校的所有高個子同學；(3)不超過20的非負數；(4)方程x2－9＝0在實數范圍內的解．[解析]

(1)“我國的小城市”無明確的標準，對于某個城市是否“小”無法客觀地判斷，因此，“我國的小城市”不能構成一個集合．(2)“高個子”無明確的標準，對于某個同學是否是“高個子”無法客觀地判斷，不能構成集合．(3)任給一個實數x，可以明確地判斷是不是“不超過20的非負數”，即“0≤x≤20”與“x＞20或x＜0”兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過20的非負數”能構成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在實數范圍內的解為－3,3，能構成集合．題型二元素與集合的關系例2[歸納提升]

1.(1)判斷一個元素是不是某個集合的元素，關鍵是判斷這個元素是否具有這個集合中元素的共同特征．(2)要熟練掌握R、Q、Z、N、N*表示的數集．2．解決這類比較復雜的集合問題要充分利用集合滿足的性質，運用轉化思想，將問題等價轉化為比較熟悉的問題解決．C2,1,0

已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三個元素構成的集合中的元素，求x的值．[分析]

－3是集合的元素說明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分類討論求解．[解析]

由題意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.當x－2＝－3時，x＝－1，把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三個元素分別為－3，－3,12，不滿足集合中元素的互異性；

例3[歸納提升]

解決此類問題的通法是：根據元素的確定性建立分類討論的標準，求得參數的值，然后將參數值代入檢驗是否滿足集合中元素的互異性．【對點練習】?已知集合A中僅含有兩個元素a－3和2a－1，若－3∈A，則實數a的值為_____