3.2.2

奇偶性課標闡釋思維脈絡1.結合具體函數理解奇函數、偶函數的定義.(數學抽象)2.了解奇函數、偶函數圖象的特征.(直觀想象)3.會判斷(或證明)函數的奇偶性.(邏輯推理)激趣誘思知識點撥在我們的日常生活中,可以觀察到許多對稱現象,如圖,六角形的雪花晶體、建筑物和它在水中的倒影……上述材料中哪個圖形是軸對稱圖形?哪個圖形是中心對稱圖形?激趣誘思知識點撥知識點一、奇、偶函數的定義一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果?x∈I,都有-x∈I,激趣誘思知識點撥名師點析

對函數奇偶性定義的理解:(1)函數的奇偶性是相對于定義域I內的任意一個x而言的,而函數的單調性是相對于定義域內的某個子集而言的,從這個意義上講,函數的單調性屬于“局部性質”,而函數的奇偶性則屬于“整體性質”.(2)奇函數和偶函數的定義域在數軸上關于原點對稱.激趣誘思知識點撥微練習(1)下列函數是偶函數的為(

)A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]答案:D(2)下列函數中,既是奇函數又是減函數的為(

)A.y=x-1

B.y=3x2C.y=

D.y=-x|x|答案:D激趣誘思知識點撥知識點二、奇、偶函數的圖象特征(1)偶函數的圖象關于y軸對稱;反之,結論也成立,即圖象關于y軸對稱的函數一定是偶函數.(2)奇函數的圖象關于原點對稱;反之,結論也成立,即圖象關于原點對稱的函數一定是奇函數.名師點析

奇函數在其對稱區間上的單調性相同,偶函數在其對稱區間上的單調性相反;若奇函數f(x)在區間[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區間[-b,-a]上的最大值為-m,最小值為-M;偶函數f(x)在區間[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.激趣誘思知識點撥微思考(1)如果f(x)的圖象關于原點對稱,且函數在x=0處有定義,那么f(0)為何值?提示:f(x)的圖象關于原點對稱,即f(x)為奇函數,故滿足f(-x)=-f(x).因為f(x)在x=0處有定義,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)為奇函數,且點(x,f(x))在其圖象上,則還有哪一個點一定在其圖象上?若f(x)為偶函數呢?提示:若f(x)為奇函數,則點(-x,-f(x))一定在其圖象上;若f(x)為偶函數,則點(-x,f(x))一定在其圖象上.探究一探究二素養形成當堂檢測判斷函數的奇偶性例1判斷下列函數的奇偶性:探究一探究二素養形成當堂檢測分析利用奇函數、偶函數的定義判斷函數的奇偶性時,先求出函數的定義域,看其是否關于原點對稱,如果定義域關于原點對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關系.為了判斷f(-x)與f(x)的關系,既可以從f(-x)開始化簡整理,也可以考慮f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.當f(x)不等于0時也可考慮

與1或-1的關系,還可以考慮使用圖象法.探究一探究二素養形成當堂檢測解:(1)函數的定義域為{x|x≠-1},不關于原點對稱,故f(x)既不是奇函數又不是偶函數.(2)函數的定義域為R,關于原點對稱,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函數.函數的定義域為{-1,1},關于原點對稱.又f(1)=f(-1)=0,故f(x)既是奇函數又是偶函數.探究一探究二素養形成當堂檢測(4)函數的定義域關于原點對稱.(方法一)當x>0時,-x<0,f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x).當x<0時,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數.圖象關于原點對稱,∴f(x)是奇函數.探究一探究二素養形成當堂檢測反思感悟

判斷函數奇偶性的兩種方法(1)定義法:(2)圖象法:探究一探究二素養形成當堂檢測變式訓練判斷下列函數的奇偶性:(2)f(x)=|x+2|+|x-2|;(3)f(x)=0.(2)f(x)的定義域是R,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),所以f(x)是偶函數.(3)因為f(x)的定義域為R,又f(-x)=0=f(x),且f(-x)=0=-f(x),所以f(x)既是奇函數又是偶函數.探究一探究二素養形成當堂檢測利用函數的奇偶性求解析式例2已知f(x)為R上的奇函數,當x>0時,f(x)=-2x2+3x+1.(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.分析(1)根據奇函數的性質,將f(-1)轉化為f(1)求解;(2)先設出所求區間上的自變量,利用奇函數、偶函數的定義域關于原點對稱的特點,把它轉化到已知解析式的區間上,代入已知的解析式,再次利用函數的奇偶性求解即可.注意不要忽略x=0時f(x)的解析式.探究一探究二素養形成當堂檢測解:(1)因為函數f(x)為奇函數,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.(2)當x<0時,-x>0,則f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是奇函數,則f(x)=-f(-x),所以f(x)=2x2+3x-1.當x=0時,f(-0)=-f(0),則f(0)=-f(0),即f(0)=0.探究一探究二素養形成當堂檢測反思感悟

1.利用函數的奇偶性求解析式的常見類型已知當x∈(a,b)時,f(x)=φ(x),求當x∈(-b,-a)時f(x)的解析式.若f(x)為奇函數,則當x∈(-b,-a)時,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);若f(x)為偶函數,則當x∈(-b,-a)時,f(x)=f(-x)=φ(-x).2.若函數f(x)的定義域內含0且為奇函數,則必有f(0)=0,不能漏掉.探究一探究二素養形成當堂檢測延伸探究

若將本例中的“奇”改為“偶”,“x>0”改為“x≥0”,其他條件不變,求f(x)的解析式.解:當x<0時,-x>0,此時f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.由于f(x)是偶函數,則f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,所以f(x)的解析式為探究一探究二素養形成當堂檢測利用定義法、賦值法解決抽象函數奇偶性問題典例

若定義在R上的函數f(x)滿足:對任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且當x>0時,f(x)<0,則(

)A.f(x)是奇函數,且在R上是增函數B.f(x)是奇函數,且在R上是減函數C.f(x)是奇函數,且在R上不是單調函數D.無法確定f(x)的單調性和奇偶性探究一探究二素養形成當堂檢測解析:令x1=x2=0,則f(0)=2f(0),所以f(0)=0.令x1=x,x2=-x,則f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,所以f(-x)=-f(x),故函數y=f(x)是奇函數.設x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),由于x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,故f(x2)<f(x1),所以函數y=f(x)在R上是減函數.故選B.答案:B探究一探究二素養形成當堂檢測方法點睛

1.判斷抽象函數的奇偶性,應利用函數奇偶性的定義,找準方向,巧妙賦值,合理、靈活變形,找出f(-x)與f(x)的關系,從而判斷或證明抽象函數的奇偶性.2.有時需要整體上研究f(-x)+f(x)的和的情況.比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函數.探究一探究二素養形成當堂檢測變式訓練定義在R上的函數y=f(x)滿足:對任意α,β∈R,總有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2019,則下列說法正確的是(

)A.f(x)-1是奇函數B.f(x)+1是奇函數C.f(x)-2019是奇函數D.f(x)+2019是奇函數解析:令α=β=0,則f(0)-[f(0)+f(0)]=2

019,即f(0)=-2

019.令β=-α,則f(0)-[f(α)+f(-α)]=2

019,即f(α)+f(-α)=-4

038,則f(-α)+2

019=-2

019-f(α)=-[2

019+f(α)],即f(x)+2

019是奇函數,故選D.答案:D探究一探究二素養形成當堂檢測1.已知一個奇函數的定義域為{-1,2,a,b},則a+b等于(

)解析:因為一個奇函數的定義域為{-1,2,a,b},根據奇函數的定義域關于原點對稱,所以a與b有一個等于1,一個等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1.答案:A探究一探究二素養形成當堂檢測A.是奇函數B.是偶函數C.既是奇