第十八章平行四邊形18.2.1矩形（2）

城北中學一、明確目標1、理解并掌握矩形的判定方法.2、能應用矩形定義、判定等知識，解決簡單的證明題和計算題，進一步培養分析能力.1、先截出兩對符合規格的鋁合金窗料如圖，使AB=CD，EF=GH.2、擺成四邊形（如第②個圖），這時窗框的形狀是平行四邊形，依據的數學道理是______________________________是平行四邊形.3、將直角尺緊靠窗框的一個角（如第③個圖），調整窗框的邊框，當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時，說明窗框合格，這時窗框是矩形，依據的數學道理是____________________________是矩形.二、自主預習兩組對邊分別相等的四邊形有一個角是直角的平行四邊形4、想一想：矩形有哪些性質？在這些性質中那些是平行四邊形平行四邊形矩形邊角對角線

所沒有的？列表進行比較.對邊平行，對邊相等對邊平行，對邊相等對角相等對角相等，四個角均為直角對角線互相平分對角線互相平分且相等矩形有而平行四邊形沒有的性質：1.矩形的對角線相等.2.矩形的四個角都是直角.三、合作探究想一想：要判斷一個平行四邊形是矩形可以從哪幾個方面著想？

矩形的對角線相等反之對角線相等的平行四邊形是矩形已知：平行四邊形ABCD中AC=BD，求證：平行四邊形ABCD是矩形.證明：∵平行四邊形ABCD∴OA=OC=ACOB=OD=BD又∵AC=BD∴OA=OC=OB=OD∴∠OBC=∠OCB，∠OCD=∠ODC∵在△BCD中

∠OBC+∠OCB+∠OCD+∠ODC=180°∴∠OCB+∠OCD

=90°即∠BCD=90°

∴平行四邊形ABCD是矩形矩形的判定定理1：思考：工人師傅做門窗時不僅要測兩組對邊的長度是否分別相等，常常還要測量兩組對角線的長度是否相等，以確保是矩形，你知其中的道理嗎？證明：∵∠A+∠B==180°∴

AD∥BC

∵∠B+∠C=180°∴

AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形∵∠C=90°∴平行四邊形ABCD是矩形已知四邊形ABCD，∠A=∠B=∠C=90°求證：四邊形ABCD是矩形.（作圖）矩形的四個角都是直角逆命題四個角都是直角的四邊形是矩形矩形的判定定理2：三個角都是直角的四邊形是矩形C分析：要想求出∠OAB的度數首先判斷△OAB的是什么三角形，如何判斷？運用知識：例1：如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,且OA=OD,∠AOD=130°，求∠OAB的度數.方法一證明：∵平行四邊形ABCD∴OD=OB∵OA=OD∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵∠AOD=130°∴∠AOB=50°∴∠OAB=∠OBA=（180°-50°）÷2=65°方法二：證明：∵OA=OD∠AOD=130°∴∠OAD=∠ODA=（180°-130°）÷2=25°∵平行四邊形ABCD∴AC=2OA=2OCBD=2OB=2OD∵OA=OD∴AC=BD∴平行四邊形ABCD是矩形∴∠DAB=90°∴∠OAB=90°-25°=65°例2：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F為.求證：（1）△ABF≌△DCE；（2）四邊形ABCD是矩形.

BC上的兩點，且BE=CF，AF=DE（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中

∴AB=CD

∵BE=CF

∴BE+EF=CF+EF即BF=CE又∵AF=DE∴△ABF≌△DCE（SSS）

(2)證明:由（1）△ABF≌△DCE∴∠B=∠C

又∵在平行四邊形ABCD中AB∥CD∴∠B+∠C=180°∴∠B=∠C=90°∴平行四邊形ABCD是矩形如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,△OAB是等邊三角形，且AB=4，求平行四邊形ABCD的面積.

四、展示點撥：證明：∵△OAB是等邊三角形∴OA=OB=AB=4∵平行四邊形ABCD∴AC=2OA=2OC=8BD=2OB=2OD∴AC=BD∴平行四邊形ABCD是矩形∴∠ABC=90°

在Rt△ABC中AB=4，AC=8∴BC=

∴S四邊形ABCD=×4=五、拓展提升：ABCDEFMN

如圖，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN//BC,設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA外角平分線于F，連接AE,AF,那么當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的123456當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形O證明：∵MN∥BD

∴

∠5=∠1∠4=∠6

∵MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA外角平分線于F

∴∠2=∠1∠3=∠4∴∠2=∠5∠3=∠6∴OE=OCOF=OC∴OE=OF∵點O運動到AC的中點時OA=OC∴四邊形AECF是平行四邊形

∵

∠1+∠2+∠3+∠4=180°

∴

∠2+∠3=90°即∠ECF=90°∴平行四邊形AECF是矩形六、課后小結：1、在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形，你添加的條件是_______________（寫出一種即可）3、下列說法正確的是（）

A.有一組對角是直角的四邊形一定是矩形B.有一組鄰角是直角的四邊形一定是矩形C.對角線互相平分的四邊形是矩形D.對角互補的平行四邊形是矩形2、下列關于矩形的說法中正確的是（）A.對角線相等的四邊形是矩形B.對角線互相平分的四邊形是矩形C.矩形的對角線互相垂直且平分D.矩形的對角線相等且互相平分∠A=90°

或AC=BDDD4、如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF.