2022-2023學年四川省廣安市龍安鎮中學高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.當0＜x≤時，4x＜logax，則a的取值范圍是(

)A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）參考答案：B【考點】對數函數圖象與性質的綜合應用．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由指數函數和對數函數的圖象和性質，將已知不等式轉化為不等式恒成立問題加以解決即可【解答】解：∵0＜x≤時，1＜4x≤2要使4x＜logax，由對數函數的性質可得0＜a＜1，數形結合可知只需2＜logax，∴即對0＜x≤時恒成立∴解得＜a＜1故選B【點評】本題主要考查了指數函數和對數函數的圖象和性質，不等式恒成立問題的一般解法，屬基礎題2.（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B由誘導公式得故選.3.已知函數y=2cosx的定義域為[，]，值域為[a，b]，則b﹣a的值是（）A．2 B．3 C．+2 D．參考答案：B【考點】余弦函數的圖象．【分析】根據函數y=2cosx的定義域為[，]，求得它的值域，可得a、b的值，從而求得b﹣a的值．【解答】解：根據函數y=2cosx的定義域為[，]，故它的值域為[﹣2，1]，再根據它的值域為[a，b]，可得b﹣a=1﹣（﹣2）=3，故選：B．4.函數的圖象不可能是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】函數的圖象．【專題】數形結合．【分析】函數的圖象是一個隨著a值變化的圖，討論a值的不同取值從而得到不同的圖象，從這個方向觀察四個圖象．【解答】解：當a＜0時，如取a=﹣1，則f（x）=，其定義域為：x≠±1，它是奇函數，圖象是A．故A正確；當a＞0時，如取a=1，則f（x）=，其定義域為：R，它是奇函數，圖象是B．故B正確；當a=0時，則f（x）=，其定義域為：x≠0，它是奇函數，圖象是C，C正確；故選D．【點評】由于函數的解析式中只含有一個參數，這個參數影響圖象的形狀，這是本題的關鍵．5.（5分）若函數是R上的單調減函數，則實數a的取值范圍是（） A． （﹣∞，2） B． C． （0，2） D． 參考答案：B考點： 函數單調性的性質；指數函數的單調性與特殊點．專題： 計算題．分析： 由函數是單調減函數，則有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．解答： ∵函數是R上的單調減函數，∴∴故選B點評： 本題主要考查分段函數的單調性問題，要注意不連續的情況．6.已知，，且，則向量與向量的夾角為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】通過向量的垂直轉化為向量的數量積的運算，利用向量夾角的余弦公式求出其余弦值，問題得解．【詳解】，即：又，向量與向量的夾角的余弦為，向量與向量的夾角為：故選：B【點睛】本題考查向量夾角公式及向量運算，還考查了向量垂直的應用，考查計算能力．7.函數的圖像大致是

（

）參考答案：A8.8．函數，滿足，則常數等于（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B9.向量，若∥，則x的值是（

）A.－8 B.－2 C.2 D.8參考答案：C由題意，得，解得；故選C.10.如圖1，在一個邊長為a、b(a>b>0)的矩形內畫一梯形，梯形上、下底分別為a與a，高為b.向該矩形內隨機投一點，則所投的點落在梯形內部的概率為A.

B.C.

D.

圖1參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的單調增區間是__

______．參考答案：略12.已知函數為上的奇函數，當時，，則時，=

▲

．參考答案：13.已知冪函數的圖象過，則___________.參考答案：略14.已知數列{an}中的a1=3，an+1=，則a5=

。參考答案：15.已知角α是第三象限角，且tanα=2，則sinα+cosα于

.參考答案：16.對于函數，設，若存在，使得，則稱互為“零點相鄰函數”.若與互為“零點相鄰函數”，則實數a的取值范圍是_________.參考答案：

17.已知{an}為無窮遞縮等比數列，且a1+a2+a3+…==，a1–a3+a5–a7+…=，則an=

。參考答案：(–1)n三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知曲線y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一個最高點的坐標為（，），由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（π，0），φ∈（﹣，）． （1）求這條曲線的函數解析式； （2）寫出函數的單調區間． 參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數的單調性． 【專題】計算題；轉化思想；綜合法；三角函數的圖像與性質． 【分析】（1）由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，可得函數的解析式． （2）由條件利用正弦函數的單調性，求得函數的單調區間． 【解答】解：（1）由題意可得A=，=﹣，求得ω=． 再根據最高點的坐標為（，），可得sin（×+φ）=，即sin（×+φ）=1①． 再根據由此最高點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點（π，0），可得得sin（×+φ）=0，即sin（+φ）=0②， 由①②求得φ=，故曲線的解析式為y=sin（x+）． （2）對于函數y=sin（x+），令2kπ﹣≤+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+， 可得函數的增區間為[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z． 令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+， 可得函數的減區間為[4kπ+，4kπ+]，k∈Z． 【點評】本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由特殊點求出φ的值，正弦函數的單調性，屬于中檔題． 19.已知.（1）求的最大值及取最大值時的集合；（2）求的增區間.參考答案：.解：由已知，，---------4分（１）當，即時，取最大值，此時的集合為.---------8分

（２）由,，得增區間為略20.已知函數f（x）=logax（a＞0且a≠1）．（1）若f（3a+4）≥f（5a），求實數a的取值范圍；（2）當a=時，設g（x）=f（x）﹣3x+4，判斷g（x）在（1，2）上零點的個數并證明：對任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0在x∈（λμ，+∞）上恒成立．參考答案：【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】（1）根據當0＜a＜1和a＞1兩種情況，利用對數函數的單調性能求出實數a的取值范圍．（2）當a=時，g（x）=f（x）﹣3x+4=，函數g（x）在（1，2）單調遞減，由此能求出結果．【解答】解：（1）∵f（x）=logax（a＞0且a≠1），f（3a+4）≥f（5a），∴當0＜a＜1時，，無解；當a＞1時，，解得1＜a≤2．∴實數a的取值范圍是（1，2]．（2）當a=時，g（x）=f（x）﹣3x+4=，函數g（x）在（1，2）單調遞減，g（1）=，g（2）==﹣6＜0，∴g（x）=f（x）﹣3x+4，在（1，2）上只有1個零點．∵g（x）＜0對（2，+∞）恒成立，∴對任意λ＞0，都存在μ=＞0，使得g（x）＜0在x∈（λμ，+∞）上恒成立．【點評】本題考查實數的取值范圍的求法，考查函數的零點個數的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意對數函數性質的合理運用．21.（13分）已知函數f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0≤?≤π）是R上的偶函數，其圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，求?和ω的值．參考答案：考點：已知三角函數模型的應用問題．專題：計算題；壓軸題；數形結合．分析：由f（x）是偶函數可得?的值，圖象關于點對稱可得函數關系，可得ω的可能取值，結合單調函數可確定ω的值．解答：解：由f（x）是偶函數，得f（﹣x）=f（x），即sin（﹣ωx+?）=sin（ωx+?），所以﹣cos?sinωx=cos?sinωx，對任意x都成立，且w＞0，所以得cos?=0．依題設0＜?＜π，所以解得?=，由f（x）的圖象關于點M對稱，得，取x=0，得f（）=sin（）=cos，∴f（）=sin（）=cos，∴cos=0，又w＞0，得=+kπ，k=1，2，3，∴ω=（2k+1），k=0，1，2，當k=0時，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是減函數，滿足題意；當k=1時，ω=2，f（x）=sin（2x+）在[0，]上是減函數；當k=2時，ω=，f（x）=（x+）在[0，]上不是單調函數；所以，綜合得ω=或2．點評：本題主要考查三角函數的圖象、單調性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力．22.已知函數R，且.（1）當時，若函數存在單調遞減區間，求的取值范圍；（2）當且時，討論函數的零點個數.參考答案：解析：（1）當時，函數，其定義域是，∴.

函數存在單調遞減區間，∴在上有無窮多個解.∴關于的不等式在上有無窮多個解.

①當時，函數的圖象為開口向上的拋物線，

關于的不等式在上總有無窮多個解.

②當時，函數的圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為.要使關于的不等式在上有無窮多個解.必須，解得，此時.

綜上所述，的取值范圍為.

另解：分離系數：不等式在上有無窮多個解，則關于的不等式在上有無窮多個解，∴，即，而.

∴的取值范圍為.

（2）當時，函數，其定義域是，∴.令，得，即，

，