廣西壯族自治區柳州市三江縣丹洲中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.己知，則=（）A． B． C．﹣3 D．3參考答案：B【考點】對數的運算性質．【分析】根據指數冪和對數的運算性質計算即可．【解答】解：由，∴a=（）=（）3，∴==﹣，故選：B【點評】本題考查了指數冪和對數的運算性質，屬于基礎題．2.已知函數f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的奇函數，若對于任意的實數x≥0，都有f（x+2）=f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），則f（﹣2011）+fA．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1參考答案：A【考點】函數奇偶性的性質；函數的值．【分析】由題設知函數在[0，+∞）內一個周期T=2，函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（﹣2011）+f+f+f（0），再由當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），能求出f（﹣2011）+f=f（x），∴函數在[0，+∞）內的一個周期T=2，∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（﹣2011）+f+f+f+f（0）又當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1f（0）log2（0+1）=0因此f（﹣2011）+f+f（0）=﹣1+0=﹣1．故選A．3.設函數，若角的終邊經過，則的值為（

）A. B.1 C.2 D.4參考答案：C【分析】由題意得，代入分段函數，即可求解。【詳解】因為角的終邊經過，所以，所以，則，故選C【點睛】本題考查三角函數的概念，分段函數求值，考查計算化簡的能力，屬基礎題。4.設，若（為虛數單位）為負實數，則（

）A．2 B．1 C．0 D．參考答案：D5.已知數列{an}為正項的遞增等比數列，,，記數列的前n項和為Tn，則使不等式成立的最大正整數n的值為（

）A.5

B.6

C.7

D.8

參考答案：B6.周期為4的奇函數f（x）在[0，2]上的解析式為f（x）=，則f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B考點：函數的值．專題：函數的性質及應用．分析：利用函數的周期性，以及函數的奇偶性，直接求解即可．解答：解：函數是周期為4的奇函數，f（x）在[0，2]上的解析式為f（x）=，所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1．故選：B．點評：本題考查函數的奇偶性以及函數的周期性，函數值的求法，考查計算能力．7.《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則最下面那節的容積為A.升

B.升

C.升

D.升參考答案：C8.函數的單調遞增區間是A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.（5分）某林場計劃第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%，則第四年造林（）A．14400畝B．172800畝C．17280畝D．20736畝參考答案：C【考點】：數列的應用．【專題】：綜合題．【分析】：由題設知該林場第二年造林：10000×（1+20%）=12000畝，該林場第二年造林：12000×（1+20%）=14400畝，該林場第二年造林：14400×（1+20%）=17280畝．解：由題設知該林場第二年造林：10000×（1+20%）=12000畝，該林場第三年造林：12000×（1+20%）=14400畝，該林場第四年造林：14400×（1+20%）=17280．故選C．【點評】：本題考查數列在實際生活中的應用，解題時要認真審題，注意等比數列通項公式的靈活運用．10.設集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，則A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}參考答案：C【考點】1E：交集及其運算．【分析】求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由B中不等式變形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故選：C．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為正實數，直線與曲線相切，則的取值范圍為．參考答案：12.等差數列的前項和為，且,，等比數列中，，，則

．參考答案：在等差數列中，由,得，，即，解得。所以，，所以，在等比數列中，所以。13.有如下程序框圖（如右圖所示），則該程序框圖表示的算法的功能是

。參考答案：計算并輸出使1×3×5×7…×

>10000成立的最小整數；14.已知直線：（為給定的正常數，為參數，）構成的集合為S,給出下列命題：

①中的所有直線可覆蓋整個平面；②中所有直線均經過一個定點；③當時，存在某個定點，該定點到中的所有直線的距離均相等；④當＞時，中的兩條平行直線間的距離的最小值為；其中正確的是

（寫出所有正確命題的編號）．

參考答案：略15.已知正方體A1B1C1D1-—ABCD的內切球的體積為，則這個正方體的邊長為

，這個正方體的外接球的表面積為

。參考答案：16.住在狗熊嶺的7只動物，它們分別是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，蘿卜頭，圖圖.為了更好的保護森林，它們要選出2只動物作為組長，則熊大，熊二至少一只被選為組長的概率為______.參考答案：【分析】先求出任選2只動物的方法數，然后再求出熊大，熊二至少一只被選出的方法數，最后由古典概型概率公式計算概率．【詳解】從7只動物中任選2人的方法數為，熊大，熊二至少一只被選中的方法數為，∴所求概率為．故答案為．【點睛】本題考查古典概型概率公式，解題關鍵是確定基本事件的個數．17.已知函數，，若函數恰有4個零點，則實數a的取值范圍是______.參考答案：【分析】畫出函數的圖像，討論圖象與其相交的臨界位置求解即可【詳解】由，則函數簡圖如圖所示：若函數恰有4個零點，則函數圖象所在的臨界位置恰好在虛線所在的函數①②的位置.（1）當函數處于①的位置時，點在函數的圖象上，有，得；（2）當函數處于②的位置時，此時函數與直線相切，設切點的坐標為，有，解得：，由（1）（2）知實數的取值范圍是.故答案為【點睛】本題主要考查函數與方程的應用，考查導數的應用，考查數形結合以及一元二次函數，對數函數的性質進行求解，注意臨界位置的考查．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.為了檢驗學習情況，某培訓機構于近期舉辦一場競賽活動，分別從甲、乙兩班各抽取10名學員的成績進行統計分析，其成績的莖葉圖如圖所示（單位：分），假設成績不低于90分者命名為“優秀學員”．（1）分別求甲、乙兩班學員成績的平均分（結果保留一位小數）；（2）從甲班4名優秀學員中抽取兩人，從乙班2名80分以下的學員中抽取一人，求三人平均分不低于90分的概率．參考答案：【考點】CC：列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；BA：莖葉圖．【分析】（1）由莖葉圖能求出甲、乙兩班學員成績的平均分．（2）列舉法確定基本事件，即可求三人平均分不低于90分的概率．【解答】解：（1）甲組的平均分為88.1；乙組的平均分為89.0（2）抽取情況為：92，94，78；

92，94，79；

92，106，78；

92，106，79；92，108，78；92，108，79；

94，106，78；

94，106，79；

94，108，78；94，108，79；

106，108，78；

106，108，79．總共有12種．這12種平均分不低于90分的情況有10種．所以三人平均分不低于90分的概率為．19.已知函數f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函數f（x）單調遞增區間；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然對數的底數），求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；絕對值不等式的解法．【分析】（1）求導數，利用導數的正負，可求函數f（x）單調區間；（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．【解答】解：（1）函數f（x）的定義域為R，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a，當a＞0，a≠1時，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函數，…（2分）又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集為（0，+∞），f'（x）＜0的解集為（﹣∞，0），故函數f（x）的單調增區間為（0，+∞），單調減區間為（﹣∞，0）…（4分）（2）因為存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而當x∈[﹣1，1]時|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…（6分）又因為x，f'（x），f（x）的變化情況如下表所示：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）減函數極小值增函數所以f（x）在[﹣1，0]上是減函數，在[0，1]上是增函數，所以當x∈[﹣1，1]時，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，f（x）的最大值f（x）max為f（﹣1）和f（1）中的最大值．…（8分）因為f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，令g（a）=a﹣﹣2lna（a＞0），因為g′（a）=＞0，所以g（a）=a﹣﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函數．而g（1）=0，故當a＞1時，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；當0＜a＜1時，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…（10分）所以，當a＞1時，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函數y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函數，解得a≥e；當0＜a＜1時，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函數y=+lna在a∈（0，1）上是減函數，解得0＜a≤．綜上可知，所求a的取值范圍為（0，]∪[e，+∞）．…（12分）【點評】本題考查了基本函數導數公式，利用導數研究函數的單調性及利用導數求閉區間上函數的最值．屬于難題．20.已知函數f(x)=－，g(x)=．（1）若，函數的圖像與函數的圖像相切，求的值；（2）若，，函數滿足對任意（x1x2），都有恒成立，求的取值范圍；（3）若，函數=f(x)+g(x),且G()有兩個極值點x1,x2,其中x1，求的最小值．參考答案：(1)若b=0，函數f(x)=x的圖像與g(x)=2alnx的圖像相切，設切點為(x0,2alnx0),則切線方程為y=，所以得.所以a=.……3分(2)當a>0,b=-1時，F(x)=x2+1+2alnx，F＇(x)=2x+>0,所以F(x)在(0,1]遞增.不妨設0<x1<x2≤1，原不等式F(x2)-F(x1)<3()，即F(x2)+<

F(x1)+.設h(x)=F(x)+=x2+1+2alnx+，則原不等式h(x)在(0,1]上遞減……7分即h＇(x)=2x+-在(0,1]上恒成立.所以2a-2x2在(0,1]上恒成立.設y=-2x2,在(0,1]上遞減，所以ymin=3-2=1，所以2a≤1，又a>0，所以0<a.……10分(3)若b=1,函數G(x)=f(x)+g(x)=x+2alnxG/(x)=,(x>0),由題意知x1,x2是x2+2ax+1=0的兩根，∴x1x2=1,x1+x2=－2a,x2=,2a=,G(x1)-G(x2)=G(x1)-G()=2[]令H(x)=2[],H＇(x)=2()lnx=當時，H/(x)<0,H(x)在上單調遞減，H(x)的最小值為即G(x1)-G(x2)的最小值為…………16分21.（本題15分）已知數列{}的前n項和為，．（Ⅰ）求證：數列{}是等比數列；（Ⅱ）設數列{}的前n項和為，=.試比較與的大小.參考答案：（1）由a1=S1=2-3a1得a1=，

由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1，于是an=Sn-Sn-1=(+1)an-1-(+1)an，整理得=×（n≥2）,

所以數列{}是首項及公比均為的等比數列.