三角形全的判定——HL問題如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，為了美觀，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量．你能幫工作人員想個辦法嗎？分析：已知一組相等的直角，還需添加什么條件，才能判定全等呢？（1）如果用直尺和量角器兩種工具，你能解決這個問題嗎？測量任意一組對應角以及未被遮擋的任意一組對應邊長度.ASA、AAS（2）如果只用直尺，你能解決這個問題嗎？測量未被遮擋的直角邊以及斜邊如果兩個直角三角形的一條直角邊和斜邊分別相等，這兩個直角三角形全等嗎？

操作

任意畫一個Rt△ABC，使∠C=90°，再畫一個Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把畫好的Rt△A′B′C′剪下來放到Rt△ABC上，你發現了什么？ABC現象：兩個三角形放在一起能完全重合．說明：這兩個三角形全等．條件：∠C=∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB“HL”判定方法:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫為“斜邊、直角邊”或“HL”）．NMC′ABCA′

B′

用符號語言表達:在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中，∴

Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．AB=A′B′，

BC=B′C′，

∵

NMC′ABCA′

B′

例

如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求證：BC=AD．ABCD證明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD

中，AB=BA，AC=BD，∴

Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.∴

BC=AD（全等三角形對應邊相等）．變式.如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，要證△ABC≌△BAD，需要添加一個什么條件？請說明理由．ABCD（1）AD=BC

理由：HL（2）AC=BD

理由：HL（3）∠DBA

=

∠CAB

理由：AAS（4）∠DAB

=

∠CBA

理由：AAS

例

如圖，C

是路段AB的中點，兩人從C同時出發，

以相同的速度分別沿兩條直線行走，并同時到達D，E兩地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E與路段AB的距離相等嗎？

為什么？ABCDE分析：CA=CBCD=CE∠A=∠B=90°？？解：D,E與線段AB的距離相等.理由：∵C是路段AB的中點，∴AC=BC.∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°.CD=CE，AC=CB，在Rt△ADC

和Rt△BEC

中，∴

Rt△ADC

≌

Rt△BEC

(HL).∴

AD

=BE.∴

D,E與線段AB的距離相等.例

如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F，CE=BF．求證：（1）AE=DF

;

（2）CD//AB.ABCDEF分析：

CE-EF=BF-EF,即CF=BERt△ABE

≌

Rt△DCF（HL）

AE=DF∠B=∠C

CD//AB證明：∵CE=BF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°.AB=DC，CF=BE，在Rt△ABE

和Rt△DCF中，∴

Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．∴

AE=DF，∠B=∠C.∴

CD//AB.∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.例

如圖，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分別是點E、F.求證：∠1=∠2.ABCEF12分析：Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∠EAC=∠BAF∠1=∠2證明：∵

AE⊥EC，AF⊥BF，∴∠E=∠F=90°.在Rt△AEC

和Rt△AFB中，AC=AB，AE=AF，∴

Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）.∴

∠EAC=∠FAB（全等三角形對應角相等）.∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC.∴∠1=∠2.ABCEF12變式.在上題的基礎上，設EC與AB交于點M，BF與AC交于點N，那么EM和FN相等嗎？請說明理由.MN？？解：EM=FN.理由：在Rt△AEM

與Rt△AFN中，∴Rt△AEM≌Rt△AFN（ASA）.∴EM=FN(全等三角形的對應邊相等).∠1

=∠2，AE=AF，∠E=∠F=90o

，

ABCEF12MN課堂小結

課堂小結判定兩個直角三角形全等有哪些方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL由于已有直角條件，我們多使用后4個有角的條件的判定方法.

課堂小結

“HL”判定方法應滿足什么條件？

與之前所學的四種判定方法有什么不同？“HL”判定方法：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．

此判定方法只適用于直角三角形，而之前所學的判定適用于任意三角形.

課堂小結

“HL”判定方法應滿足什么條件？

與之前所學的四種判定方法有什么不同？“HL”判定方法：

斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．

此判定方法在直角三角形的前提下，只需滿足兩條邊（斜邊與一直角邊）相等即可；之前的判定方法都需滿足三個條件.課后作業

1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高.求證：（