山西省晉中市壽陽中學2021-2022學年高二數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果直線：與直線：垂直，那么的值為A．

B．

C．

D．參考答案：A2.現有男生3人，女生5人，從男生中選2人，女生中選1人參加數學、物理、化學三科競賽，要求每科均有1人參加，每名學生只參加一科競賽，則不同的參賽方法共有（）種． A．15 B． 30 C． 90 D． 180參考答案：C3.若點M到定點、的距離之和為2，則點M的軌跡為A.橢圓

B.直線

C.線段

D.直線的垂直平分線參考答案：C略4.已知函數，則下列判斷錯誤的是（

）A.f(x)周期為π B.f(x)的圖象關于點對稱C.f(x)的值域為[－1,3] D.f(x)的圖象關于直線對稱參考答案：B【分析】先將函數化為，再由三角函數的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】因為，所以其最小正周期為，A正確；又，所以，C正確；由得，即函數的對稱軸為，D正確；由得，即函數對稱中心為，所以B錯誤；故選B5.若直線平面，則條件甲：直線是條件乙：的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：D略6.如果命題“”為假命題，則 （

）

A．p,q均為假命題

B．p,q均為真命題

C．p,q中至少有一個為真命題

D．p,q中至多有一個為真命題參考答案：C7.已知空間中的直線m、n和平面α，且m⊥α．則“m⊥n”是“n?α”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】m⊥α，n?α?m⊥n，反之不成立，可能n∥α．即可判斷出結論．【解答】解：∵m⊥α，n?α?m⊥n，反之不成立，可能n∥α．∴“m⊥n”是“n?α”成立的必要不充分條件．故選：B．8.直線在軸上的截距是,而且它的傾斜角是直線的傾斜角的二倍,則(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：B略9.在空間直角坐標系中,點P(3,4,5)關于yOz平面對稱的點的坐標為（

）

A．(-3,4,5)

B．(-3,-4,5)

C．(3,-4,-5)

D．(-3,4,-5)參考答案：A10.化簡（）A、

B、

C、

D、參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復數z=（其中i為虛數單位），若z為純虛數，則實數a=．參考答案：利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為0且虛部不為0列式求解．解：z===，∵z為純虛數，∴2a﹣1=0，解得a=，故答案為：12.雙曲線M的焦點是F1，F2，若雙曲線M上存在點P，使是有一個內角為的等腰三角形，則M的離心率是______；參考答案：【分析】根據雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應該為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據等腰三角形的內角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【詳解】解：根據雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，且點在第一象限，故，等腰有一內角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線的定義可得，，即，解得：.【點睛】本題考查了雙曲線的定義、性質等知識，解題的關鍵是要能準確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.13.拋物線上的點到直線的距離的最小值是

__________

；參考答案：14.設=.利用課本中推導等差數列前n項和的公式的方法，可求得的值為

．參考答案：略15.將4034與10085的最大公約數化成五進制數，結果為．參考答案：31032（5）【考點】進位制．【分析】先求出4034與10085的最大公約數．再用這個數值除以5，得到商和余數．再用商除以5，得到余數和商，再用商除以5，得到商是0，這樣把余數倒序寫起來就得到所求的結果．【解答】解：10085=4034×2+2017，4034=2017×2∴4034與10085的最大公約數就是2017．又∵2017÷5=403…2403÷5=80…3，80÷5=16…0，16÷5=3…1，3÷5=0…3，∴將十進制數2017化為五進制數是31032（5），故答案為：31032（5）16.在中，若，且，則的面積為__________.參考答案：17.直線m，n是兩異面直線，是兩平面，，甲：m∥，n∥，乙：∥，則甲是乙的

條件。參考答案：充要三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱柱中，側棱底面，，，，．（1）證明：平面；（2）若是棱的中點，在棱上是否存在一點，使平面？證明你的結論．參考答案：（1）試題解析：（1）∵，∴．∵側棱底面，∴．∵，∴平面．∵平面，∴，∵，則．

在中，，，∴．∵，∴四邊形為正方形．∴．

∵，∴平面．

（2）當點為棱的中點時，平面．

證明如下：如圖，取的中點，連、、，∵、、分別為、、的中點，∴．∵平面，平面，∴平面．

同理可證平面．

∵，∴平面平面．

∵平面，∴平面．

略19.已知(1)討論函數的單調性;(2)證明:當，且時，恒成立.參考答案：（1），當時，的增區間，無減區間當時，增區間，減區間（2）當由（1）可知當時，在上單調減，再令在上，，遞增，所以所以恒成立，當時取等號所以原不等式恒成立20.某校在一次期末數學統測中，為統計學生的考試情況，從學校的2000名學生中隨機抽取50名學生的考試成績，被測學生成績全部介于60分到140分之間（滿分150分），將統計結果按如下方式分成八組：第一組[60，70），第二組[70，80），…，第八組[130，140]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．（Ⅰ）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）估計該校的2000名學生這次考試成績的平均分（可用中值代替各組數據平均值）；（Ⅲ）若從樣本成績屬于第六組和第八組的所有學生中隨機抽取兩名，求他們的分差不小于10分的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；頻率分布直方圖；眾數、中位數、平均數．【專題】概率與統計．【分析】（Ⅰ）根據所有頻率之和等于1求出第七組的頻率，然后繪圖即可；（Ⅱ）利用平均數計算公式計算即可；（Ⅲ）一一列舉所有滿足從中任取2人的所有基本事件，找到分差在以上的基本事件，利用概率公式計算即可．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖知第七組頻率為：f7=1﹣（0.004+0.012+0.016+0.03+0.02+0.006+0.004）×10=0.08；直方圖如圖所示．

（Ⅱ）該校這次考試的平均成績為：65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97，（Ⅲ）第六組有學生3人，分別記作A1，A2，A3，第八組有學生2人，分別記作B1，B2；則從中任取2人的所有基本事件為（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，A2），（A1，A3），A2，A3），（B1，B2）共10個．分差在以上，表示所選2人來自不同組，其基本事件有6個：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），所以從中任意抽取2人，分差在以上的概率P=．【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖、平均數、古典概型的概率問題，屬于基礎題．21.（本小題滿分13分）已知橢圓經過點，且離心率為.(1)

求橢圓的標準方程；(2)

若是橢圓內一點，橢圓的內接梯形的對角線與交于點，設直線在軸上的截距為，記，求的表達式.參考答案：（1）橢圓的標準方程為，……………..4分（2）由已知得不垂直于軸（否則由對稱性，點在軸上）設直線的方程為