山東省煙臺市福山第一中學2021年高三數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.復數，，，則在復平面內的對應點位于

A．第一象限

B.第二象限C.第三象限D.第四象限參考答案：B2.已知為上的可導函數，當時，，則關于的函數的零點個數為（

）

A.1

B.2

C.0

D.0或2參考答案：C略3.曲線在處的切線方程為

A.

B.

C.

D.

參考答案：A略4.已知變量x，y滿足不等式組，則的最小值為（

）A.－4 B.－2 C.0 D.4參考答案：B【分析】先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量x，y滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為－2.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃，運用了數形結合的方法，屬于基礎題.5.若，則是的

（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：A6.如圖，某地一天中時至時的溫度變化曲線近似滿足函數（其中，），則估計中午時的溫度近似為（

）A． B． C．

D．參考答案：B7.設非空集合A，B滿足A?B，則（）A．?x0∈A，使得x0?BB．?x∈A，有x∈BC．?x0∈B，使得x0?AD．?x∈B，有x∈A參考答案：B略8.定義在R上的函數既是奇函數，又是周期函數，是它的一個正周期.若將方程在閉區間上的根的個數記為，則可能為（

）A．0B．1C．3D．5參考答案：D9.在梯形中，與相交于點.若則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B10.設等比數列的公比，前n項和為，則（

）A．

B．

C．2

D．4參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為等差數列{}的前n項和，若＝1，＝4，則的值為

__________.參考答案：略12.已知，，則的值為

．參考答案：因為所以。13.現有10個數，它們能構成一個以1為首項，﹣3為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是．參考答案：【考點】8G：等比數列的性質；CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】先由題意寫出成等比數列的10個數為，然后找出小于8的項的個數，代入古典概論的計算公式即可求解【解答】解：由題意成等比數列的10個數為：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的項有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6個數這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是P=故答案為：14.已知函數的定義域為，若其值域也為，則稱區間為的保值區間．若的保值區間是，則的值為

.參考答案：1因為函數的保值區間為，則的值域也是，因為因為函數的定義域為，所以由，得，即函數的遞增區間為，因為的保值區間是，所以函數在上是單調遞增，所以函數的值域也是，所以，即，即。15.設m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則．上面命題中，真命題的序號是

▲

（寫出所有真命題的序號）．參考答案：略16.若定義在上的奇函數對一切均有，則_________.參考答案：017.設全集為，集合，集合，則()=___________參考答案：【知識點】交、并、補集的混合運算．

A1【答案解析】.解析：∵集合B={x|x﹣3≤0}={x|x≤3}，全集為R，∴RB={x|x＞3}，又∵A={x|1＜x＜4}，∴A∩（RB）={x|3＜x＜4}，故答案為：{x|3＜x＜4}【思路點撥】根據已知中，全集為R，集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x﹣3≤0}，進而結合集合交集，并集，補集的定義，代入運算后，可得答案．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某飲料公司招聘了一名員工，現對其進行一項測試，以便確定工資級別.公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料，若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元.令X表示此人選對A飲料的杯數.假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.（1）求X的分布列；（2）求此員工月工資的期望.參考答案：本題考查了隨機事件的概率分布列和數字特征期望值的計算，考查了概率中組合的計算，立足基礎，難度較小。（1）選對A飲料的杯數分別為，，，，，其概率分布分別為：，，，，。

所以選對A的杯數x的分布列為：X01234P

（2）。19.已知數列{an}的前n項和為Sn，且是首項和公差均為的等差數列．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若，求數列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】8E：數列的求和；8H：數列遞推式．【分析】（1）是首項和公差均為的等差數列，可得=，即Sn=．利用遞推關系即可得出an．（2）==+=2+﹣，利用裂項求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵是首項和公差均為的等差數列，∴==，∴Sn=．∴n=1時，a1=S1=1；n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n．n=1時也成立．∴an=n．（2）==+=2+﹣，∴數列{bn}的前n項和Tn=2n+++…+=2n+﹣．20.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，點E在棱PB上，且PE=2EB．（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．【分析】（Ⅰ）根據PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，結合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根據面面垂直的判定定理，可證出平面PAB⊥平面PCB．（Ⅱ）利用線面垂直的性質，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根據題中數據結合平行線分線段成比例，算出DC=2AB，從而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由線面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．（Ⅲ）建立空間直角坐標系，求出平面AEC、平面PBC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC．又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．又BC?平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（Ⅱ）證明：∵PC⊥AD，∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=，∴∠DCA=∠BAC=，又AC⊥AD，故△DAC為等腰直角三角形，∴DC=AC=（AB）=2AB．連接BD，交AC于點M，則==2．連接EM，在△BPD中，==2，∴PD∥EM，又PD?/平面EAC，EM?平面EAC，∴PD∥平面EAC．…（Ⅲ）解：以A為坐標原點，AB，AP所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）設=（x，y，1）為平面AEC的一個法向量，則⊥，⊥，∵=（3，3，0），=（0，2，1），∴解得x=，y=﹣，∴=（，﹣，1）．設=（x′，y′，1）為平面PBC的一個法向量，則⊥，⊥，又=（3，0，0），=（0，﹣3，3），∴，解得x′=0，y′=1，∴=（0，1，1）．（取PB中點為F，連接AF可證為平面PBC的一個法向量．）∵cos＜，＞=|=，∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為..…注：以其他方式建系的參照給分．21.函數y=f（x）對任意實數x、y滿足f（x）+f（y﹣x）=f（y），且當x＞0時，f（x）＜0．（1）求證：y=f（x）是奇函數；（2）判斷y=f（x）的單調性，并證明；（3）對任意t∈[1，2]，f（tx2﹣2x）＜f（t+2）恒成立，求x的范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題；函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷；抽象函數及其應用．【專題】綜合題．【分析】（1）對x，y分別進行賦值，結合f（x）+f（y﹣x）=f（y），利用奇函數的定義可證明；（2）利用單調性的定義，結合當x＞0時，f（x）＜0，取y＞x，則y﹣x＞0，所以f（y﹣x）＜0，利用當x＞0時，f（x）＜0，即可證得；（3）利用（2）的結論，將抽象不等式化為具體不等式，變換主元，構建一次函數，即可解決．（1）證明：令x=y=0，代入f（x）+f（y﹣x）=f（y），那么f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0再令y=0，那么f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以函數y=f（x）是奇函數；（2）解：函數y=f（x）在整個R上是減函數證明：令y＞x，則y﹣x＞0，∵f（x）+f（y﹣x）=f（y），∴f（y）﹣f（x）=f（y﹣x），因為當x＞0，f（x）＜0，而y﹣x＞0，所以f（y﹣x）＜0所以f（y）﹣f（x）＜0，即y＞x，f（y）＜f（x），所以函數y=f（x）在整個R上是減函數；（3）解：對任意t∈[1，2]，f（tx2﹣2x）＜f（t+2）恒成立∴對任意t∈[1，2]，tx2﹣2x＞t+2恒成立∴對任意t∈[1，2]，（x2﹣1）t﹣2x﹣2＞0恒成立，令函數h（t）=（x2﹣1）t﹣2x﹣2分三種情況：i、當x2﹣1=0時，x=1或﹣1，代入發現不符合（x2﹣1）t﹣2x﹣2＞0ii、當x2﹣1＞0，即x＞1或x＜﹣1時，函數h（t）=（x2﹣1）t﹣2x﹣2是增函數，所以最小值為h（1）=x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）＞0，所以x＞3或x＜﹣1所以最后符合的解是：x＞3或x＜﹣1iii、當x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1時