湖北省武漢市漢南區第一中學2021-2022學年高三數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知邊長為的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿對角線BD折成二面角A﹣BD﹣C為120°的四面體ABCD，則四面體的外接球的表面積為（）A．25π B．26π C．27π D．28π參考答案：D【考點】球的體積和表面積；球內接多面體．【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，即可求出四面體的外接球的表面積．【解答】解：如圖所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=，EF=設OO′=x，則∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面體的外接球的表面積為4πR2=28π，故選：D．2.已知a，b∈R，i是虛數單位，若a﹣i與2+bi互為共軛復數，則（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i參考答案：D【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】由條件利用共軛復數的定義求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i與2+bi互為共軛復數，則a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故選：D．3.已知點,,,，則向量在方向上的投影為（

）（A） （B）

（C）

（D）參考答案：A略4.在等比數列中，若，則該數列的前10項和為

A．

B.

C.

D.參考答案：答案：B解析：由，所以5.“a＞b＞0”是“ab＜”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A略6.等差數列{an}中，已知a6+a11=0，且公差d＞0，則其前n項和取最小值時的n的值為(

)A．6

B．7

C.8

D．9參考答案：C7.設全集,集合,,則集合=（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B8.函數的圖象大致是（

）

參考答案：A試題分析：因為當x=2或4時，，所以排除B、C；當x=-2時，，故排除D，所以選A．考點：函數的圖象與圖象變化．9.已知雙曲線的左右焦點為、，拋物線的頂點在原點，準線與雙曲線的左準線重合，若雙曲線與拋物線的交點滿足，則雙曲線的離心率為

（

）A．

B． C．

D．參考答案：答案：B10.已知數列是公比為2的等比數列，且滿足，則的值為A.

B.

C.

D.參考答案：C【考點】等比數列【試題解析】由題知：因為

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知球與棱長均為2的三棱錐各條棱都相切，則該球的表面積為

.參考答案：將該三棱錐放入正方體內，若球與三棱錐各棱均相切等價于球與正方體各面均相切，所以,則球的表面積為.12.函數的最小正周期為__________.A．

B．

C．

D．參考答案：A13.若直線的傾斜角是,則

(結果用反三角函數值表示).參考答案：14.“雙曲線（）的兩個焦點為、，若為其上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正確選項是B。若將其中的條件“”更換為“，且”，試經過合情推理，得出雙曲線離心率的取值范圍是

參考答案：15.設a+b=2,b>0,則的最小值為______參考答案：16.設，實數滿足，若恒成立，則實數的取值范圍是

．參考答案：作出直線所圍成的區域，

如圖所示，，當時，滿足題意.

17.拋物線y=ax2的焦點為F(0，1)，P為該拋物線上的動點，則a=

；線段FP中點M的軌跡方程為

參考答案：；．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2元（不足1小時的部分按1小時計算）．有甲、乙兩人相互獨立來該租車點租車騎游（各租一車一次）．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為，；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為，；兩人租車時間都不會超過四小時．（Ⅰ）求甲乙兩人所付的租車費用相同的概率．（Ⅱ）設甲乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）首先求出兩個人租車時間超過三小時的概率，甲乙兩人所付的租車費用相同即租車時間相同：都不超過兩小時、都在兩小時以上且不超過三小時和都超過三小時三類求解即可．（Ⅱ）隨機變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8，由獨立事件的概率分別求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．【解答】解：（Ⅰ）甲乙兩人租車時間超過三小時的概率分別為：，甲乙兩人所付的租車費用相同的概率p=（Ⅱ）隨機變量ξ的所有取值為0，2，4，6，8P（ξ=0）==P（ξ=2）==P（ξ=4）==P（ξ=6）==P（ξ=8）==數學期望Eξ==19.（本小題滿分12分）設

（I）求在上的最小值；

（II）設曲線在點的切線方程為；求的值。參考答案：解：（I）設；則

……（2分）

①當時，在上是增函數………………（3分）

得：當時，的最小值為………（4分）

②當時，………………（6分）

當且僅當時，的最小值為

………………（7分）（II）………………（8分）

由題意得：………………（12分）20.某市需對某環城快速車道進行限速，為了調研該道路車速情況，于某個時段隨機對100輛車的速度進行取樣，測量的車速制成如下條形圖：經計算：樣本的平均值μ=85，標準差σ=2.2，以頻率值作為概率的估計值．已知車速過慢與過快都被認為是需矯正速度，現規定車速小于μ﹣3σ或車速大于μ+2σ是需矯正速度．（1）從該快速車道上所有車輛中任取1個，求該車輛是需矯正速度的概率；（2）從樣本中任取2個車輛，求這2個車輛均是需矯正速度的概率；（3）從該快速車道上所有車輛中任取2個，記其中是需矯正速度的個數為ε，求ε的分布列和數學期望．參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）記事件A為“從該快速車道上所有車輛中任取1個，該車輛是需矯正速度”，因為μ﹣3σ=78.4，μ+2σ=89.4，由樣本條形圖可得所求的概率．（2）記事件B為“從樣本中任取2個車輛，這2個車輛均是需矯正速度”由題設可知樣本容量為100，又需矯正速度個數為5個，可得所求概率．（3）需矯正速度的個數ε服從二項分布，即?～B，即可得出．【解答】解：（1）記事件A為“從該快速車道上所有車輛中任取1個，該車輛是需矯正速度”，因為μ﹣3σ=78.4，μ+2σ=89.4，由樣本條形圖可知，所求的概率為．（2）記事件B為“從樣本中任取2個車輛，這2個車輛均是需矯正速度”由題設可知樣本容量為100，又需矯正速度個數為5個，故所求概率為．（3）需矯正速度的個數ε服從二項分布，即?～B，∴，，，因此ε的分布列為ε012P由?～B，可知數學期望E（?）=2×=．21.（本小題滿分13分）已知函數，設直線分別是曲線的兩條不同的切線．（Ⅰ）若函數為奇函數，且當時有極小值為，求的值；（Ⅱ）若直線，直線與曲線切于點且交曲線于點，直線和與曲線切于點且交曲線于點，記點的橫坐標分別為，求的值．參考答案：【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數求閉區間上函數的最值.B11【答案解析】(I)(II)解析：解：（Ⅰ）∵，為奇函數，∴，即，∴b=0，∴，則，又當時有極小值為，∴

即∴

即，經檢驗滿足題意；∴；（Ⅱ）令，由及得，∴由得，即；

將與聯立化簡得，∴，∴，同理，∴，，，∴【思路點撥】（1）（i）由函數為奇函數求得b，再由當x=1時f（x）有極小值為﹣4列式求出a，c的值；（ii）設（x0，y0）為曲線y=f（x）上一點，由（i）得，由此得到y=f（x）在點（x0，y0）處的切線方程結合f′（﹣1）=0，f（﹣1）=4，可知y=4是曲線y=f（x）的一條切線，且過（m，4）．再設另兩條切線切點分別為（x1，y1），（x2，y2），求出直線l1和l2的方程，令y=4求得且，可知x1，x2是方程的兩解，然后構造輔助函數，再利用導數求出m的取值范圍；（2）令xB=x1，xC=x2，由直線l1∥l2得到兩點橫坐標的關系，再通過求解方程組求得點D和點A的坐標，得到（xA﹣xB），（xB﹣xC），（xC﹣xD），則答案可求．22.（14分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PA丄底面ABCD，PA=AC．過點A的平面與棱PB，PC，PD分別交于點E，F，G（E，F，G三點均不在棱的端點處）．（I）求證：平面PAB丄平面PBC（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，求的值；（Ⅲ）直線AE是否可能與平面PCD平行？證明你的結論．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）在四棱錐P﹣ABCD中，可得BC⊥面PAB，即平面PAB丄平面PBC．（Ⅱ）若PC丄平面AEFG，則有PC丄AF，又因為PA=AC，即F為PC中點，可得，（Ⅲ）假設AE∥面PCD，又因為AB∥面PCD，且AE∩AB=A，?面PAB∥面PDC，與已知矛盾．【解答】解（Ⅰ）在四棱錐P﹣ABCD中，∵底面ABCD為正方形