2022-2023學年河南省開封市許河第一中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知一個三角形的三邊長分別是5,5,6,一只螞蟻在其內部爬行,若不考慮螞蟻的大小,則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是（☆）A.

B.

C.

D.參考答案：C2.對于指數函數,“”是“在R上單調”的(

)A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略3.圓關于直線對稱的圓的方程是(

)A．

B．C.

D．參考答案：D圓的圓心關于直線對稱的坐標為，從而所求圓的方程為.故選D.

4.已知直線與平行，則的值是A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2參考答案：C若，則兩直線為，，此時兩直線平行，所以滿足條件。當時，要使兩直線平行，則有，即，解得，綜上滿足條件的值為或，選C.5.設集合,，那么“mA”是“mB”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：答案：A

解析：由得,可知“”是“”的充分而不必要條件.【高考考點】本題主要考查分式不等式及四種命題【易錯提醒】很容易混淆充分條件和必要條件的推導方向即那個為條件那個為結論.【備考提示】一定要勞記充分條件或者必要條件是由誰推誰?特別注意“A的充分不必要條件是（）”題型.6.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是

（

）A．

B．

C． D．參考答案：D略7.已知是復數z的共軛復數，且滿足（1﹣z）（1+）=2i，則z=（）A．i B．﹣i C．1+i D．1﹣i參考答案：B【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】直接利用回代驗證法求解即可．【解答】解：如果z=i，則（1﹣i）（1﹣i）=﹣2i，不滿足題意；若z=﹣i，則（1+i）（1+i）=2i，滿足題意．故選：B．8.在可行域內任取一點，其規則如流程圖所示，則能輸出數對（）的概率是（

）A.

B.C.D.參考答案：B略9.已知等比數列{an}的公比為正數，且，則(

)A. B.2 C. D.參考答案：D設公比為，由已知得，即，又因為等比數列的公比為正數，所以，故，故選D.10.已知，函數的定義域為M，，則下列結論正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為

☆

．參考答案：12.已知兩點，.以為圓心，為半徑作圓交軸于點（異于），記作⊙；以為圓心，為半徑作圓交軸于點（異于），記作⊙；……；以為圓心，為半徑作圓交軸于點（異于），記作⊙.當時，過原點作傾斜角為的直線與⊙交于，.考察下列論斷：當時，；當時，；當時，；當時，

.由以上論斷推測一個一般的結論：對于，

.參考答案：，.13.已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，方向向量的直線l過點P（0，4），則圓C上的點到直線l的距離的最大值為

．參考答案：考點：直線與圓的位置關系．專題：計算題；直線與圓．分析：確定直線l的方程，求出圓心C到直線的距離，再加上半徑，即為C上各點到l的距離的最大值．解答： 解：由題意，方向向量的直線l過點P（0，4），方程為x﹣y+4=0圓心C到直線的距離為d==2∵圓C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的半徑為∴C上各點到l的距離的最大值為2+=．故答案為：．點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于基礎題．14.已知甲、乙兩名籃球運動員進行罰球訓練，每人練習10組，每組罰球40個，每組命中個數的莖葉圖如圖所示，則命中率較高的為

.參考答案：甲15.已知正項等比數列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an使得，則的最小值為

.參考答案：16.已知兩條直線和互相平行，則等于

.

參考答案：1或-3略17.如圖所示，在平面直角坐標系中，角的終邊與單位圓交于點在第二象限，，則點的坐標為__________．參考答案：∵，∴，∴．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面積．參考答案：【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（1）由正余弦定理化簡可得角C的大小；（2）由bsin（π﹣A）=acosB，根據正弦定理化簡，求出c，即可求出△ABC的面積．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根據正弦定理，可得，解得c=1，∴．19.如圖，某市準備在一個湖泊的一側修建一條直路，另一側修建一條觀光大道，它的前一段是以為頂點，軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段是函數，時的圖象，圖象的最高點為，，垂足為.(1)求函數的解析式；(2)若在湖泊內修建如圖所示的矩形水上樂園，問：點落在曲線上何處時，水上樂園的面積最大？參考答案：解(1)對于函數，由圖象知

.將代入到中，

得，又，所以.

故

（2）在中，令，得，

所以曲線所在拋物線的方程為設點，則矩形的面積為，．因為，由，得且當時，，則單調遞增，當時，，則單調遞減

所以當時，最大，此時點的坐標為略20.設f（α）=sinnα+cosnα，n∈{n|n=2k，k∈N+}（I）分別求f（α）在n=2，4，6時的值域；（Ⅱ）根據（I）中的結論，對n=2k，k∈N+時f（α）的取值范圍作出一個猜想（只需寫出猜想，不必證明）．參考答案：【考點】三角函數的最值．【專題】綜合題；探究型；對應思想；數學模型法；三角函數的求值．【分析】（Ⅰ）當n=2時，由平方關系求得f（α）=1，得到f（α）的值域為{1}；當n=4時，把f（α）變形可得f（α）=，得f（α）的值域為[，1]；當n=6時，f（α）=，f（α）的值域為[，1]．（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論猜想，當n=2k，k∈N*時，．【解答】解：（Ⅰ）當n=2時，f（α）=sin2α+cos2α=1，∴f（α）的值域為{1}；當n=4時，f（α）=sin4α+cos4α=，此時有f（α）≤1，∴f（α）的值域為[，1]；當n=6時，f（α）=sin6α+cos6α=（sin2α+cos2α）（sin4α+cos4α﹣sin2αcos2α）=，此時有f（α）≤1，∴f（α）的值域為[，1]．（Ⅱ）由以上結論猜想，當n=2k，k∈N*時，．【點評】本題考查三角函數最值的求法，考查三角函數的值域，訓練了同角三角函數基本關系式的應用，是中檔題．21.幾何證明選講）（本小題滿分0分）已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是∠APB的平分線，E是下半圓的中點．求證：直線PC經過點E．參考答案：【考點】圓周角定理．【專題】立體幾何．【分析】連結AE，EB，OE，因為AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是∠APB的平分線，E是下半圓的中點，得到∠AOE=∠BOE=90°，利用圓周角定理得到．

利用，∠APB的平分線有且只有一條，只要證明PC與PE重合．【解答】證明：連結AE，EB，OE，因為AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是∠APB的平分線，E是下半圓的中點則∠AOE=∠BOE=90°．

…因為∠APE是圓周角，∠AOE同弧上的圓心角，所以．

…同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分線．

…又PC也是∠APB的平分線，∠APB的平分線有且只有一條，所以PC與PE重合．所以直線PC經過點E．…【點評】本題考查了圓周角定理的運用；關鍵是熟練圓周角定理的內容，正確運用．22.（12分）設函數f(x)=lnx+,m∈R.(Ⅰ)當m=e(e為自然對數的底數)時,求f(x)的極小值;(Ⅱ)討論函數g(x)=f'(x)-零點的個數;(Ⅲ)若對任意b>a>0,<1恒成立,求m的取值范圍.參考答案：【知識點】利用導數研究函數的極值；函數恒成立問題；函數的零點．B12

【答案解析】（Ⅰ）2（Ⅱ）當m>時,函數g(x)無零點;當m=或m≤0時,函數g(x)有且只有一個零點;當0<m<時,函數g(x)有兩個零點.(Ⅲ)[，+∞）解析：(Ⅰ)由題設,當m=e時,f(x)=lnx+,則f'(x)=,∴當x∈(0,e),f'(x)<0,f(x)在(0,e)上單調遞減,當x∈(e,+∞),f'(x)>0,f(x)在(e,+∞)上單調遞增,∴x=e時,f(x)取得極小值f(e)=lne+=2,∴f(x)的極小值為2.(Ⅱ)由題設g(x)=f'(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).設φ(x)=-x3+x(x≥0),則φ'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),當x∈(0,1)時,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上單調遞增;當x∈(1,+∞)時,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上單調遞減.∴x=1是φ(x)的唯一極值點,且是極大值點,因此x=1也是φ(x)的最大值點,∴φ(x)的最大值為φ(1)=.又φ(0)=0,結合y=φ(x)的圖象(如圖),可知①當m>時,函數g(x)無零點;②當m=時,函數g(x)有且只有一個零點;③當0<m<時,函數g(x)有兩個零點;④當m≤0時,函數g(x)有且只有一個零點.綜上所述,當m>時,函數g(x)無零點;當m=或m≤0時,函數g(x)有且只有一個零點;當0<m<時,函數g(x)有兩個零點.(Ⅲ)對任意b＞a＞0，＜1恒成立，等價于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；設h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；對于m=，h′（x）=0僅在x=時成立；∴m的取值范圍是[，+∞）．【