第五章幾何變換7/20/20231信息科學與技術學院康寶生bskang@幾何變換是計算機圖形學中的一個重要內容。通過對簡單圖形進行多種變換和組合，可以形成一個復雜圖形。一般來說，圖形從輸入到輸出貫串著各種變換。被描述的對象所處的環境和顯示屏幕或圖紙的環境是很不相同的，不僅位置不同，大多數情況下尺寸也很不同。這就要協調二著的關系。此外，三維的圖形要在二維的屏幕或圖紙上顯示出來要通過投影變換。為了從不同的方向去觀察對象，要求能對對象作旋轉變換，放大縮小和平移變換更是經常要用的。繪圖過程中還需要用窗口來規定要顯示的內容，用視區來規定在屏幕或圖紙上顯示的位置。利用圖形變換可實現改變或管理顯示，例如,7/20/20232信息科學與技術學院康寶生bskang@通過調整圖形組件的方向和大小可實現設計和設施布局；通過移動“照相機”或場景中的對象產生圖形動畫。而在圖形的方向、尺寸和形狀方面的變化可通過改變對象坐標描述的幾何信息變換來完成。基本幾何變換有平移、旋轉和縮放，常用的其他變換還有反射和錯切。

本章主要介紹二維圖形幾何變換的原理和方法，以及三維圖形的幾何變換。7/20/20233信息科學與技術學院康寶生bskang@5.1幾何變換的基本原理

下面這張示意圖，舉例說明了圖形的幾種常見變換。幾種常見的幾何變換：放大、壓縮、旋轉、錯切7/20/20234信息科學與技術學院康寶生bskang@總結以上這些變化后的圖形結果，可以得到這樣的結論：

（1）圖形變化了，但原圖形的構成規則（拓撲關系）沒有改變；

（2）圖形發生的變化，是因為其頂點位置（幾何關系）的改變決定的。這種通過維持圖形的拓撲關系不變，而僅改變圖形的幾何關系來實現改變圖形的方法，我們稱之為圖形的幾何變換。

既然圖形的幾何變換僅和點的位置變化有關，所以我們首先要討論一個點在空間的位置及其變化。7/20/20235信息科學與技術學院康寶生bskang@由于點可以用一個列向量來表示，那么要改變一個點的位置，就意味著要改變這個向量（大小及方向）。對向量的運算通常用矩陣運算來實現。假如原頂點坐標為：經變換后的坐標為：那么用矩陣表示的變換過程為：7/20/20236信息科學與技術學院康寶生bskang@這是一個線性變換，其中的T

為線性變換矩陣，它是一二階方陣。一個二維線性變換的一般形式也可以寫成如下的代數式：x*=a1·x+b1·y+c1y*=a2·x+b2·y+c2轉換為矩陣形式，就是：7/20/20237信息科學與技術學院康寶生bskang@上面所說一個線性變換的矩陣形式和代數形式的統一，必須對點向量的表示法稍作修改，即：

變換的矩陣形式和代數形式是完全可以統一的，只是原來用二維向量表示的點變成了用三維向量來表示。但其第三維是常數1。其幾何意義為：：z=0

平面上的點；：z=1

平面上的點；7/20/20238信息科學與技術學院康寶生bskang@兩種表示方法，僅從圖形上來看是沒有實質性差別的。我們可以看下面的圖例：在不同高度水平面上繪的圖7/20/20239信息科學與技術學院康寶生bskang@這種用三維的形式來表示一個二維向量，進一步推廣來說,用一個n+1維的形式來表示n

維向量的方法，叫做齊次坐標表示法。這一小小的改變，給圖形變換的矩陣實現創造了條件。采用了齊次坐標表示法以后，我們可以把二維的線性變換表示成如下規格化的形式：三階方陣

T稱為二維線性變換矩陣。于是，對于任何二維圖形的頂點進行幾何變換，均可以寫成如下形式：7/20/202310信息科學與技術學院康寶生bskang@P*=T

·

P其中：P*為變換后的新頂點表；P

為變換前的頂點表。

矩陣T

中元素的取值不同，可以形成對頂點的不同變換。連接新的頂點，從而構成新的圖形（幾何變換過程）。7/20/202311信息科學與技術學院康寶生bskang@5.2二維圖形變換5.2.1二維基本變換

二維圖形變換的一般形式是：

對于二維變換矩陣中各元素的不同取值，可以獲得對二維圖形的不同變換效果，這些變換稱為二維圖形的基本變換。這些基本變換有以下五種：7/20/202312信息科學與技術學院康寶生bskang@1.比例變換比例變換的變換矩陣為:變換結果為：即：7/20/202313信息科學與技術學院康寶生bskang@x*=r11·x，

y*=r22·y可以看到，r11為x

方向上的縮放因子，r22為y方向上的縮放因子，它們分別影響兩個方向上的縮放效果。這些效果包括：

r11=r22>1：圖形沿x、y

兩個方向等比例放大；

0r11=r221：圖形沿兩個方向等比例縮?。?/p>

r11r22：由于圖形在兩個方向上的縮放系數不相等，所以經過變換后的圖形將產生畸變。也能對圖形產生拉伸和壓縮的效果。（縮放中心為坐標系原點）7/20/202314信息科學與技術學院康寶生bskang@2.鏡像（對稱）變換對稱變換的結果取決于對稱軸的設置。（1）關于x

軸的對稱變換對于x

軸的對稱變換矩陣為：變換結果為：7/20/202315信息科學與技術學院康寶生bskang@（2）關于y

軸的對稱變換對于y

軸的對稱變換矩陣為：變換結果為：7/20/202316信息科學與技術學院康寶生bskang@（3）關于450

線的對稱變換變換矩陣為：變換結果為：7/20/202317信息科學與技術學院康寶生bskang@（4）關于-450

線的對稱變換變換矩陣為：變換結果為：7/20/202318信息科學與技術學院康寶生bskang@以上四種變換的效果如下圖所示。關于兩坐標軸的對稱變換關于

-450

線的對稱變換7/20/202319信息科學與技術學院康寶生bskang@（5）關于坐標系原點的對稱變換變換矩陣為：變換結果為：7/20/202320信息科學與技術學院康寶生bskang@3.錯切變換（1）沿x

軸方向的錯切變換沿

x

軸方向的錯切變換矩陣為：其變換結果為：7/20/202321信息科學與技術學院康寶生bskang@即：x*=x+r12·y；y*=y。

從以上結果可以看到：新圖形各頂點的y

坐標沒有變，而x

坐標是在原有的值上加一個有關y

正比例函數值的增量。所以使得整個圖形在等高的前提下發生了傾斜。并且，當：r120時，圖形沿

x

正向錯切。r120時，圖形沿x

負向錯切。r12<0r12>07/20/202322信息科學與技術學院康寶生bskang@（2）沿y

軸方向的錯切變換

沿y

軸方向的錯切變換矩陣為：其變換結果為：即：x*=x；y*=y+r21x。7/20/202323信息科學與技術學院康寶生bskang@4.旋轉變換在二維平面內，如不加說明，則所說旋轉變換是指圖形繞坐標系原點旋轉。且逆時針旋轉，角度取正值；順時針旋轉，角度

取負值。旋轉變換矩陣為：其變換結果為：7/20/202324信息科學與技術學院康寶生bskang@如圖所示，由于：由此得到旋轉變換矩陣。x*xyy*A(x*,y*)A(x,y)7/20/202325信息科學與技術學院康寶生bskang@5.平移變換平移變換矩陣為：其變換結果為：7/20/202326信息科學與技術學院康寶生bskang@5.2.2二維組合變換

在前面介紹的五種變換都屬于基本變換。但實際應用中，大部分圖形的變換是不能僅靠單獨的基本變換來實現的，而是需要經多次變換才能實現。這種由多個基本變換組合（級聯）而成的復雜變換過程稱為組合變換。

1.對任意直線的對稱變換

前面介紹過五種對稱變換，但對稱軸都是特殊位置直線。對于對稱軸是任意位置直線的對稱變換，以上的對稱變換矩陣都不能直接應用。7/20/202327信息科學與技術學院康寶生bskang@

例如，設任意直線的方程為：Ax+By+C=0該直線在x、y

兩軸上的截距分別為-

C/A

和

-

C/B；直線的斜率為tg=-

A/B。那么，如何實現關于該直線的對稱變換呢？7/20/202328信息科學與技術學院康寶生bskang@為了使這個變換能夠實現，首先想到的是：最好能把任意位置直線變成能應用基本變換的特殊位置直線。所以整個變換的實現過程為：先把任意位置直線變（應用基本變換）為特殊位置直線；應用基本的對稱變換矩陣進行變換；最后恢復原狀。（1）讓直線沿x

軸方向平移C/A，使其通過坐標系原點。變換矩陣為：7/20/202329信息科學與技術學院康寶生bskang@（2）讓直線繞坐標系原點旋轉-角，使與

x軸重合。變換矩陣為：平移旋轉7/20/202330信息科學與技術學院康寶生bskang@（3）

由于原直線已與x

軸重合，于是對于直線的對稱變換即為對于x

軸的對稱變換。變換矩陣為：（4）繞原點旋轉

角，使直線恢復到原傾斜位置。變換矩陣為：7/20/202331信息科學與技術學院康寶生bskang@（5）讓直線沿x軸方向平移-

C/A，使其回到原來位置。變換矩陣為：關于

x軸的對稱變換旋轉7/20/202332信息科學與技術學院康寶生bskang@綜合以上的五步，對任意直線的對稱變換過程為：其組合變換矩陣：7/20/202333信息科學與技術學院康寶生bskang@2.繞任意點的旋轉變換繞坐標原點以外的任意點P(x,y)

的旋轉如圖所示。前面介紹的旋轉是以坐標系原點為旋轉中心的，現在的旋轉中心P

不在原點，所以不能簡單地套用上面的旋轉變換矩陣，我們可以通過以下幾個基本變換來完成。7/20/202334信息科學與技術學院康寶生bskang@（1）將指定的任意旋轉中心點P

平移到坐標系原點，以使原來的繞任意點旋轉轉化為繞坐標系原點的旋轉。其變換矩陣為：（2）使圖形繞坐標系原點旋轉

角，其變換矩陣為：7/20/202335信息科學與技術學院康寶生bskang@（3）復原。使旋轉中心從坐標系原點平移到原來的位置(x,y)，變換矩陣為：所以，繞任意點P(x,y)的旋轉過程為：即組合變換矩陣為：7/20/202336信息科學與技術學院康寶生bskang@從上述兩個例子的解題過程可以看到，對于一般條件下的圖形變換，解決問題的思路可以分為三步：Step1.

分析變換的性質；Step2.

分解改變成可用基本變換實現；Step3.

恢復原狀態。7/20/202337信息科學與技術學院康寶生bskang@3.級聯順序對組合變換的影響由于矩陣的乘法運算不適用交換律，即兩個矩陣的左乘和右乘，其結果是不相等的。所以在矩陣的乘法中，由于先后次序不同，得到的結果是不同的。這就是說，用基本變換的級聯來實現圖形的組合變換時，矩陣級聯的順序不同，則所得到的最終結果圖形也不同。下面我們舉例說明矩陣級聯的順序對變換結果圖形的影響。7/20/202338信息科學與技術學院康寶生bskang@給定以平移變換和一旋轉變換：先進行平移變換，然后再進行旋轉變換，則最后的結果為：反過來，若先進行旋轉變換，然后再進行平移變換，則最后的結果為：7/20/202339信息科學與技術學院康寶生bskang@從以上兩個過程可以看出，兩個結果矩陣是明顯不同的。因此，在進行組合變換時，要特別注意基本變換的次序不能搞錯。這其實引出了圖形學中圖形變換的變換模式問題。事實上，圖形學中的圖形變換分為空間模式和圖形模式兩種變換模式。7/20/202340信息科學與技術學院康寶生bskang@5.2.3窗口到視區的變換

設在世界坐標系中給定一稱為窗口得矩形區域，其左下角(xmin

,ymin)和右上角

(xmax

,ymax)確定，另外，在屏幕坐標系中指定一矩形區域，稱為視區，它的左下角和右上角坐標分別為(umin

,vmin)和(umax

,vmax)。所謂窗口到視區的變換就是將給定窗口中的圖形顯示在屏幕上的視區中。因此，我們需要進行坐標變換。這一變換可通過三步來完成：（1）做平移變換，使窗口左下角位于坐標原點。相應的坐標變換矩陣是：7/20/202341信息科學與技術學院康寶生bskang@y*x*

（2）做縮放變換，使窗口的尺寸與視區一致。相應的變換如下：(xmin,ymin)(xmax,ymax)xy7/20/202342信息科學與技術學院康寶生bskang@（3）

平移變換設置視區的位置，對應的變換矩陣為：y*x*vu視區7/20/202343信息科學與技術學院康寶生bskang@vu視區uv視區經過上述三步，可得到窗口到視區的變換矩陣：7/20/202344信息科學與技術學院康寶生bskang@5.2.4組合變換的效率

由上面的討論可以看出，二維圖形的幾何變換都是由平移、旋轉、錯切、縮放、鏡像等基本變換組合而成，其組合變換矩陣形式如下：顯然，用3×3矩陣乘以向量來計算T·P

需要九次乘法和六次加法，然而，矩陣最后一行的固定結構將實際運算簡化為：7/20/202345信息科學與技術學院康寶生bskang@將這一過程簡化為四次乘法和四次加法。這是意義重大的加速，特別是當這個運算被應用到每張圖形上數以千計甚至數以萬計的點上時。所以，盡管3×3矩陣對組合二維變換很方便也很有用，但是通過利用最終矩陣的特殊結構我們能夠在程序中最有效地利用它。一些硬件矩陣乘法器具有并行的加法器和乘法器，從而減少或消除了這個問題。7/20/202346信息科學與技術學院康寶生bskang@5.3三維圖形變換

三維圖形變換是在二維變換的基礎上增加了對z坐標的考慮而得到的。我們可以通過指定一個表示物體在三個坐標方向移動距離的三維向量來對物體進行平移，也可以用三個坐標軸上的縮放因子來縮放物體。然而，三維旋轉變換的擴展則不那么簡單，當我們討論xy

平面上的二維旋轉時，只需考慮沿著垂直xy

平面的坐標軸進行旋轉，而在三維空間，我們可能選擇空間的任意方向作為旋轉軸方向。在二維圖形變換中，由于采用了齊次坐標表示方法，二維7/20/202347信息科學與技術學院康寶生bskang@變換矩陣是一個3×3的方陣。故我們可以聯想到，在三維變換中，其變換矩陣是一個4×4的方陣。

三維變換矩陣的一般形式為：我們可以把該三維變換矩陣中的各元素按功能分為四部分,該四部分的功能分別為：7/20/202348信息科學與技術學院康寶生bskang@（1）實現比例、對稱、錯切和旋轉等基本變換。

（2）[tx,ty,tz]T：實現三個坐標軸向的平移變換；

（3）[p,q,r]：可以實現透視變換；

（4）[s]：可以實現全比例變換。7/20/202349信息科學與技術學院康寶生bskang@5.3.1三維圖形的基本變換

1.比例變換

三維比例變換的變換矩陣為:（1）當

s=1時，a11、a22、a33三個元素的值分別表示圖形沿x，y，z

三個坐標軸方向上的比例因子。其中：若a11=a22=a33，三個方向上的縮放比例因子相等，圖7/20/202350信息科學與技術學院康寶生bskang@

形產生等比例的縮放。若a11

≠

a22≠

a33，三個方向上的縮放比例因子不等，結果圖形產生畸變，三維圖形產生拉伸和壓縮的效果。（2）當s

≠1

時，設變換矩陣為：則三維變換結果為：7/20/202351信息科學與技術學院康寶生bskang@根據齊次化，使向量中的第四項元素變為常量

1。則上式變為：若s>1，則三維圖形沿三個方向等比例縮??；若s<1，則產生等比例放大的變換。因此，s也稱為全比例變換系數。

7/20/202352信息科學與技術學院康寶生bskang@2.鏡像（對稱）變換三維圖形的對稱變換主要是以三個坐標面作為對稱平面的對稱變換。(1)關于xoy

坐標平面的對稱變換變換矩陣為：變換結果為：7/20/202353信息科學與技術學院康寶生bskang@(2)關于xoz

坐標平面的對稱變換變換矩陣為：變換結果為：7/20/202354信息科學與技術學院康寶生bskang@(3)關于yoz

坐標平面的對稱變換變換矩陣為：變換結果為：7/20/202355信息科學與技術學院康寶生bskang@3.平移變換變換矩陣為：變換結果為：7/20/202356信息科學與技術學院康寶生bskang@4.錯切變換三維圖形的錯切變換，是沿空間三個坐標軸方向發生錯切形成的，按錯切方向不同，共分為六種基本情況。(1)沿x

軸方向含y

的錯切所謂沿x

軸方向含y

的錯切，是指錯切平面沿x

軸方向錯移并且離開y

軸。變換矩陣為：變換結果為：7/20/202357信息科學與技術學院康寶生bskang@(2)沿x

軸方向含

z

的錯切錯切平面沿

x

軸方向錯移并且離開z

軸。變換矩陣為：變換結果為：7/20/202358信息科學與技術學院康寶生bskang@沿

x

軸含

y

的錯切沿

x

軸含

z

的錯切7/20/202359信息科學與技術學院康寶生bskang@(3)沿y

軸方向含x

的錯切錯切平面沿y

軸方向錯移并且離開x

軸。變換矩陣為：變換結果為：7/20/202360信息科學與技術學院康寶生bskang@(4)沿y

軸方向含

z

的錯切指錯切平面沿y

軸方向錯移并且離開z

軸。變換矩陣為：變換結果為：7/20/202361信息科學與技術學院康寶生bskang@(5)沿z

軸方向含x

的錯切錯切平面沿z

軸方向錯移并且離開x軸。變換矩陣為：變換結果為：7/20/202362信息科學與技術學院康寶生bskang@(6)沿z

軸方向含y

的錯切錯切平面沿z

軸方向錯移并且離開y

軸。變換矩陣為：變換結果為：7/20/202363信息科學與技術學院康寶生bskang@5.旋轉變換三維圖形的旋轉變換，是指繞三個坐標軸旋轉，轉角

的正負按右手法則，如圖所示。

(1)繞

x

軸旋轉繞x

軸旋轉

角的變換矩陣為：7/20/202364信息科學與技術學院康寶生bskang@(2)繞

z

軸旋轉繞z

軸旋轉

角的變換矩陣為：(3)繞

y

軸旋轉繞y軸旋轉

角的變換矩陣為：7/20/202365信息科學與技術學院康寶生bskang@5.3.2三維組合變換

對于較為復雜的三維變換，同二維一樣，必須通過若干次三維基本變換的級聯才能實現。下面我們以繞通過坐標系原點的任意空間直線的旋轉變換為例，來說明復雜變換的確定。

1.任意軸的方向余弦與旋轉變換的關系如圖所示，設有空間任意軸

ON，其方向余弦分別為：

n1=cosa

,n2=cosb

,n3=cosg為實現空間點繞任意軸ON的旋轉變換，7/20/202366信息科學與技術學院康寶生bskang@首先要把ON

軸繞z