27.2相似三角形應用舉例

數學家華羅庚曾經說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學。這是對數學與生活的精彩描述。

胡夫金字塔是埃及現存規模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”。塔的４個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約２３０多米。據考證，為建成大金字塔，共動用了１０萬人花了２０年時間.原高１４６．５９米，但由于經過幾千年的風吹雨打,頂端被風化吹蝕.所以高度有所降低。小小旅行家:走近金字塔在古希臘，有一位偉大的科學家叫泰勒斯．一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當時條件下是個大難題，因為是很難爬到塔頂的．你知道泰勒斯是怎樣測量大金字塔的高度的嗎？

他利用相似三角形的原理,在金字塔影子的頂部立一根木桿,借助太陽光線構成兩個相似三角形,來測量金字塔的高度.(如下圖)DEA(F)BO解：太陽光是平行線，因此∠BAO=∠EDF又∠AOB=∠DFE=90°∴△ABO～△DEFBOOA201×2EFFD=OA×EFFDBO==3=134(m)答金字塔的高為134米.2m3m201m?例題1小明從路燈下向前走了5米，發現自己在地面上的影子長DE是2米，如果小明的身高為1.6米，那么路燈離地面的高度是多少？練習ABCDE如圖，小明為測量一鐵塔的高度，他在自己與鐵塔間的地面上平放一面鏡子，并在鏡子上做了一個標記O，然后他看著鏡子來回移動，直至看到鐵塔頂端在鏡子中的像與鏡子上的標記重合，這時，他測得AO=3米，OB=27米，又知他身高CA=1.75米，請你幫他算出鐵塔DB的高度。練習ACBDO如何測量旗桿的高度？測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決：物高：物高=影長：影長測高的方法

為了測量路燈（OS）的高度,把一根長1.5米的竹竿（AB）豎直立在水平地面上,測得竹竿的影子（BC）長為1米,然后拿竹竿向遠離路燈方向走了4米（BB‘）,再把竹竿豎立在地面上,測得竹竿的影長（B‘C‘）為1.8米,求路燈離地面的高度.

如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B，當他走到點P時，發現他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當他向前再步行12m到達點Q時，發現他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部，已知小華的身高是1.60m，兩個路燈的高度都是9.6m，設AP=x(m)。

(1)求兩路燈之間的距離；

(2)當小華走到路燈B時，他在路燈下的影子是多少？例2.為了估算河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標點P,在近岸取點Q和S,使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T,確定PT與過點Q且垂直PS的直線

b的交點R.如果測

得QS=45m,ST=

90m,QR=60m,

求河的寬度PQ.STPQRba

分析：設河寬PQ長為xm，由于此種測量方法構造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即．再解x的方程可求出河寬．STPQRba1.小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落在離網5米的位置上，求球拍擊球的高度h.(設網球是直線運動)ADBCE┏┏0.8m5m10m？2.4m練一練2:如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．

此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．ADCEB解：

因為∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

所以△ABD∽△ECD，

答：兩岸間的大致距離為100米．

(方法二)

我們在河對岸選定一目標點A，在河的一邊選點D和E，使DE⊥AD，然后選點B，作BC∥DE，與視線EA相交于點C。此時，測得DE,BC,BD,就可以求兩岸間的大致距離AB了。ADEBC此時如果測得DE＝120米，BC＝60米，BD＝50米，求兩岸間的大致距離AB．例3：已知左，右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD=5m。一個身高1.6m的人沿著正對著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進，當他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看見右邊較高的樹的頂端點C？KⅡ盲區觀察者看不到的區域。仰角：視線在水平線以上的夾角。水平線視線視點觀察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAⅠKFABCDHGKⅠⅡl(2)分析：假設觀察者從左向右走到點E時，他的眼睛的位置點F與兩顆樹的頂端點A、C恰在一條直線上,如果觀察者繼續前進，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區之內，觀察者看不到它。E由題意可知，AB⊥L，CD⊥L，∴AB∥CD，△AFH∽△CFK∴FHFK=AHCK即FHFH+5=8-1.612-1.6解得FH=8∴當他與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，右邊樹的頂端點C在觀察者的盲區之內，就不能看見右邊較高的樹的頂端點CFABCDHGKⅠⅡl(2)練習.如圖所示，一段街道的兩邊緣所在直線分別為AB，PC,并且AB∥PC．建筑物DE的一端所在MN交AB的直線于點M，交PC于點N．小亮從勝利街的A處，沿AB著方向前進，小明一直站在P點的位置等候小亮．步行街

勝利街光明巷ABMNCEDP建筑物（1）請你在圖中畫出小亮恰好能看見小明時的視線，以及此時小亮所在位置（用點C標出）；（2）已知：，求（1）中的C點到勝利街口的距離CM．1.在實際生活中,我們面對不能直接測量物體的高度和寬度時.可以把它們轉化為數學問題,建立相似三角形模型,再利用對應邊的比相等來達到求解的目的!2.能掌握并應用一些簡單的相似三角形模型.

本節課我們學習了利用相似三角形來測量

高度和寬度的方法.

小結

本節課我們學習了利用相似三角形來測量

高度和寬度的方法.

小結解決過程中要實行數學建模:審題畫示意圖明確數量關系解決問題挑戰自我如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少？NMQPEDCBA解：設正方形PQMN是