虛擬解釋變量模型藍色第1頁，課件共103頁，創作于2023年2月第一節引言

在經濟計量分析中，經常會碰到所建模型的被解釋變量不僅受諸如收入、產量、價格、成本、需求、投資等數量變量的影響，而且也受到諸如戰爭、自然災害、國際環境、季節變動以及政府經濟政策變動等質量變量的影響。建立經濟計量模型若不考慮這些質量變量的影響作用，顯然是不適宜的。2第2頁，課件共103頁，創作于2023年2月所以，在建立經濟計量模型時，即要考慮數量變量，也要考慮質量變量。但是，質量變量和數量變量不同，數量變量可以在事前規定好的尺度上，用不同的數值表現出來，質量變量卻只能以屬性、種類的不同具體形式表現出來。3第3頁，課件共103頁，創作于2023年2月例如，性別可表現為男或女；人種可表現為白種人和非白種人；宗教信仰可表現為教徒和非教徒；政府的經濟政策可表現為改革開放前和改革開放后，如此等等。4第4頁，課件共103頁，創作于2023年2月

顯然，這種不同的具體形式是無法直接引入經濟計量模型中去的。但由于這類變量通常表現為品質、屬性、種類的出現或者未出現，所以我們可以根據質量變量的這一特征將其數量化。5第5頁，課件共103頁，創作于2023年2月

虛擬變量：給定某一質量變量某屬性的出現為1，未出現為0，稱這樣的變量為虛擬變量。6第6頁，課件共103頁，創作于2023年2月把哪種情況取0，哪種情況取1要視研究情況而定。0和1只是一個符號而已，不代表他們有高低的意義。7第7頁，課件共103頁，創作于2023年2月虛擬變量主要是用來代表質的因素，但是有些情況下也可以用來代表數量因素。例如建立儲蓄函數時，“收入”顯然是一個重要解釋變量，雖然是“數量”因素，但是為了方便也可以用虛擬變量表示。8第8頁，課件共103頁，創作于2023年2月虛擬解釋變量模型的設定因為質的因素的多少和這些因素特征的多少而引入的虛擬變量也會不同。第二節虛擬解釋變量的設定9第9頁，課件共103頁，創作于2023年2月以一個最簡單的虛擬變量模型為例，如果只包含一個質的因素，而且這個因素僅有兩個特征，則回歸模型中只需引入一個虛擬變量。如果是含有多個質的因素，自然要引入多個虛擬變量。10第10頁，課件共103頁，創作于2023年2月如果只有一個質的因素，且具有m個特征，那么如果是含有截距項的，就要引入m-1個虛擬變量；不含有截距項的，應該引入m個虛擬變量，這就是虛擬變量的設定原則。11第11頁，課件共103頁，創作于2023年2月一、截距變動模型和斜率變動模型（一）包含一個虛擬變量的截距變動模型假設只有一個定性因素影響被解釋變量的變化，而且這個因素僅有兩種特征，這時候只需要引入一個虛擬變量。

12第12頁，課件共103頁，創作于2023年2月

【例8.1】假設有一個包括正常年份和非正常年份（亞洲金融危機或SARS的影響）居民消費的樣本，并打算用這些數據估計消費函數。由于在正常年份和非正常年份居民在消費水平上存在明顯差異，所以一些外界的影響是一個重要的解釋變量。

13第13頁，課件共103頁，創作于2023年2月

用一個虛擬變量來表示這個質的因素，消費函數為

式中，Yi=第個居民的消費水平，Xi=第個居民的收入水平，D為虛擬變量。我們用D=1表示正常年份這一特征，用D=0來表示非正常年份（8.1）14第14頁，課件共103頁，創作于2023年2月假設E（ui）=0，式（8.1）可以寫成（8.3）（8.2）15第15頁，課件共103頁，創作于2023年2月式（8.2）和式（8.3）分別為正常年份和非正常年份的居民消費水平。二者具有相同的斜率，但是截距不同。16第16頁，課件共103頁，創作于2023年2月對β1作t檢驗，若β1顯著地不為0，我們就認為正常年份和非正常年份居民在消費行為上的差異是明顯的。若β1

>0，則正常年份的居民消費水平高于非正常年份的居民消費水平。

利用最小二乘法對式（8.1）進行估計，可得到（8.4）17第17頁，課件共103頁，創作于2023年2月通過例8.1，我們可以找出虛擬變量模型的一些特征。

１．用“1”來代表質的因素的哪個特征是可以任意設定的。我們一般認為，“1”代表具有某些特征，但沒有具體規定。在上例中，也可以指定D=1時為非正常年份，而D=0就必然為正常年份。在這種情況下，正常年份和非正常年份的消費函數分別為18第18頁，課件共103頁，創作于2023年2月如果我們繪制圖形，得到的結果仍然是一樣的。此時，β1＜０，非正常年份的線低于正常年份的線，代表非正常年份的消費水平低于正常年份的消費水平。19第19頁，課件共103頁，創作于2023年2月２．虛擬變量D=0所代表的特性或狀態通常稱為基礎類型。和其它特征或狀態比較的意義上說，基礎類型為對比的基礎。20第20頁，課件共103頁，創作于2023年2月模型中的系數β0為基礎類型的截距項，稱為公共截距項；系數β1稱為差別截距系數，指的是D取1時截距系數和基礎類型的截距系數的差異。21第21頁，課件共103頁，創作于2023年2月

３．如果一個回歸模型有截距項，而且這個質的因素又有兩種特征，也就是將其分兩類，則我們只需要引入一個虛擬變量。如我們的例8.1所示。如果一個回歸方程有截距項，只有一個質的因素影響被解釋變量，它有個m特征，我們就要引入m-1個虛擬變量；

22第22頁，課件共103頁，創作于2023年2月如果回歸方程沒有截距項，那么這個質的因素有多少個特征就要設多少個虛擬變量，這就是虛擬變量的使用原則。23第23頁，課件共103頁，創作于2023年2月虛擬變量陷阱：如果虛擬變量設定不當，會使最小二乘法無解，稱這種情況為虛擬變量陷阱。24第24頁，課件共103頁，創作于2023年2月引入兩個虛擬變量對有截距項和沒有截距項的情況分別討論。

(1)對有截距項的情況，我們如果設兩個虛擬變量，則回歸模型為（8.7）25第25頁，課件共103頁，創作于2023年2月式(8.7)也可表示為其中，，顯然如下等式成立。

（8.8）（8.9）26第26頁，課件共103頁，創作于2023年2月式(8.9)表明模型(8.8)即原模型(8.7)中有完全的多重共線性，將導致最小二乘估計無解。我們稱該情景為掉入虛擬變量陷阱。所以，在有截距項的情況下，如果一個質的因素有多少個特征就引入多少個虛擬變量是行不通的。27第27頁，課件共103頁，創作于2023年2月

(2)對沒有截距的情況，我們如果設兩個虛擬變量，顯然模型(8.10)中，解釋變量D1,D2和X之間無完全的多重共線性?？梢允褂闷胀ㄗ钚《朔ü烙嬍剑?.10）的參數。

（8.10）28第28頁，課件共103頁，創作于2023年2月（二）斜率變動模型在實際問題中，斜率單獨變動出現的情形一般比較少，它指的是改變了變動的速率也就是彈性。例如城鎮居民家庭與農村居民家庭的消費函數，在邊際消費傾向（斜率）上可能會有所不同，假設它們的消費函數在截距項沒有區別。29第29頁，課件共103頁，創作于2023年2月那么回歸模型可記為（8.11）其中，Yi=第個家庭的消費水平，Xi=第個家庭的收入水平，30第30頁，課件共103頁，創作于2023年2月式（8.11）可以表示為（8.12）（8.13）31第31頁，課件共103頁，創作于2023年2月

（三）包含多個虛擬變量的截距變動模型如果一個質的因素僅有兩種特征，只需引入一個虛擬變量。但是，很多質的因素往往不只具有兩個特征，例如全世界的國家可以分為發達國家、發展中國家、不發達國家。32第32頁，課件共103頁，創作于2023年2月我國少數民族在很多問題上有差異，所以當把民族作為虛擬變量時，不能簡單將其分為漢族和非漢族；季節因素是我們最常見的質的因素，它具有四個特征，按照前面的原則，我們要引入三個虛擬變量。33第33頁，課件共103頁，創作于2023年2月例如，我們用季度資料研究各種商品消費額在季節上有沒有什么區別？可以建立模型如下：（8.14）其中，Yt=季度的消費，Xt=季度的收入，對于四個季度，我們引入了三個虛擬變量：34第34頁，課件共103頁，創作于2023年2月這里，第四季度為基礎類型，其截距項為β0。而其它三個季度的截距項分別為β0+β1，β0+β2，β0+β3。β1，β2,β3代表季節變動引起的消費差異。35第35頁，課件共103頁，創作于2023年2月四個季度的回歸模型分別為（8.15）（8.16）（8.17）（8.18）36第36頁，課件共103頁，創作于2023年2月（四）截距和斜率同時變動模型在多數情況下，質的因素不但對回歸模型的截距有影響，而且還會改變模型的斜率。37第37頁，課件共103頁，創作于2023年2月例如城鎮居民和農村居民的消費函數不但在斜率上有差異，在截距上也是有可能不一致的，將兩個問題同時考慮進來，我們可以得到回歸方程38第38頁，課件共103頁，創作于2023年2月（8.19）式中，Yi=第個家庭的消費水平，Xi=第個家庭的收入水平，39第39頁，課件共103頁，創作于2023年2月

β1和β3分別表示城鎮居民家庭和農村居民家庭的消費函數在截距和斜率上的差異。式（8.19）可以表示為（8.20）（8.21）40第40頁，課件共103頁，創作于2023年2月我們一般通過t檢驗來判定它們之間是否有差異。1.若β1≠0，β3≠0，則為截距和斜率同時變動模型；2.若β1≠0,β3=0，則為截距變動模型；3.若β1=0，β3=0,則表示城鎮居民家庭和農村居民家庭有著完全相同的消費模式；4.若β1=0，β3≠0,則為斜率變動模型，這種情況在現實中出現得不是很多。41第41頁，課件共103頁，創作于2023年2月下面，以我國的農村和城市的消費樣本為例，實際體會虛擬變量模型從建模到檢驗再到估計參數最后下結論的全過程。

【例8.2】已有數據資料為我國城鎮居民家庭1955年至1985年人均收入和人均儲蓄。根據經驗，也就是先驗信息，再通過某些檢驗，我們發現儲蓄和收入有很強的相關關系而且收入的變化會引起儲蓄的變化。42第42頁，課件共103頁，創作于2023年2月假定它們之間為線性關系，我們可以建立儲蓄模型如下式中，St=人均儲蓄，Xt=人均收入，t=年份（t=1955，1956，…，1985）。

（8.22）43第43頁，課件共103頁，創作于2023年2月把1955年作為基期并把該期的價格水平定為100，再分別扣除包含在和中的物價上漲因素。用最小二乘法估計式（8.22），得到

R2

=0.833，DW=0.398

（8.22）44第44頁，課件共103頁，創作于2023年2月模型（8.23）包含了這樣一個假定，那就是在1955到1985年期間我國城鎮居民家庭的儲蓄行為大體保持不變。45第45頁，課件共103頁，創作于2023年2月這一假定實際上是行不通的，因為在十一屆三中全會召開之后，居民的收入大大增加，而且與居民儲蓄有關的許多重要因素在1979年以后發生了明顯變化。在改革開放之前，我國居民的收入水平僅僅能夠維持溫飽水平，根本不可能有多少儲蓄。46第46頁，課件共103頁，創作于2023年2月1979年以后，我國居民的收入水平大幅度提高，同時，居民儲蓄也在大幅度增長。從這些可以看出來，1979年前后兩個時期，我國居民的邊際儲蓄傾向有顯著性差異。47第47頁，課件共103頁，創作于2023年2月在改革開放前的大多數年份,我國的消費市場常常是供不應求,許多商品要國家下達計劃指標,居民憑票證購買,經常出現的問題是顧客即使有錢也難買到需要的商品,就不得不把錢存起來。這時候的儲蓄就帶有非自愿的性質。48第48頁，課件共103頁，創作于2023年2月而在1979年以后,物資逐漸豐富,商品的買賣也取消了票證的限制,消費者儲蓄的主要目的之一是購買高檔耐用消費品，儲蓄不再具有“被迫”的性質。49第49頁，課件共103頁，創作于2023年2月為了驗證城鎮居民的儲蓄行為是否有顯著變化,可以建立下面的截距和斜率同時變動模型。（8.24）式中,St和Xt仍代表人均儲蓄和人均收入,D為虛擬變量，50第50頁，課件共103頁，創作于2023年2月用最小二乘法估計式(8.24),可以得到（8.25）51第51頁，課件共103頁，創作于2023年2月其中,參數估計值下面括號中的數字為統計值。顯然,在1979年前后儲蓄模型的截距和斜率有明顯差異。式(8.25)可以寫為兩個方程（8.26）（8.27）52第52頁，課件共103頁，創作于2023年2月由以上模型可知，我國城鎮居民的邊際儲蓄傾向在1979年以前僅為0.004,也就是收入增加1元,儲蓄平均增加4厘;而從1979年到1985年這段時間,城鎮居民的邊際儲蓄傾向增至0.256。53第53頁，課件共103頁，創作于2023年2月然而,在式(8.23)中得到的邊際儲蓄傾向卻是0.17。很明顯,式(8.23)既不代表改革開放之前城鎮居民的消費行為,也不能正確描述1979年以后城鎮居民儲蓄與收入之間的關系。

54第54頁，課件共103頁，創作于2023年2月我們單從模型的擬合也可以看出引進虛擬變量可以改善估計效果。式(8.23)中的隨機誤差項存在正自相關(DW=0.398),擬合優度效果也不太好(R2=0.833)。引入虛擬變量后的模型消除了自相關(DW=1.67),判定系數也上升到0.967。所以,虛擬變量的引入很有必要。55第55頁，課件共103頁，創作于2023年2月

二、多個質的因素的虛擬變量模型我們討論的回歸模型只包括一個質的因素，但是在很多情形下,往往有兩個以上的質的因素影響回歸模型的被解釋變量。例如,在考察居民的食品消費行為時,可以考慮的質的因素有居民的性別、民族、受教育程度、地理區域等等。56第56頁，課件共103頁，創作于2023年2月再如,除收入水平外,冰琪凌消費量還會受到季節和地區等質的因素影響。這些質的因素可能不僅僅改變模型的截距和斜率,質的因素之間也往往有相互影響。例如,高收入水平和低收入水平的居民在家電消費量上的差異會隨著季節不同而改變的。為了方便,我們建立以下簡單的食品消費模型。57第57頁，課件共103頁，創作于2023年2月（8.28）58第58頁，課件共103頁，創作于2023年2月

式(8.28)中,Ct和At分別表示居民的食品消費和居民的收入,D1,D2，D3,D4，D5是虛擬變量，分別表示性別因素、年齡因素和學歷因素。性別因素只有兩個特征男和女，設一個虛擬變量D1。59第59頁，課件共103頁，創作于2023年2月年齡分為三個層次，25歲以下、25到50歲和50歲以上，設二個虛擬變量D2和D3。受教育程度分為三個層次,初中以下、高中和高中以上,設二個虛擬變量D4

和D5。模型中還有虛擬變量之間的乘積，考慮了截距項的各種變化可能。

60第60頁，課件共103頁，創作于2023年2月Di取值不同，截距不同，如：其余的依次類推。β6和β7為性別和年齡層次的相互影響系數。采用通常的統計檢驗方法對各種可能的情況進行檢驗。61第61頁，課件共103頁，創作于2023年2月例如，如果β1在統計上顯著說明性別這個質的因素會明顯影響食品的消費量。同時，β2在統計上顯著，就表明25歲以下居民在食品消費上和別的層次的居民是有顯著差異的，那么年齡也會是個很重要的影響因素。62第62頁，課件共103頁，創作于2023年2月上述假定虛擬變量僅僅影響回歸模型的截距，由此可以推廣到更一般的情形，也就是虛擬變量同時改變回歸模型的截距和斜率，那樣考慮得更周全，但是也會更復雜，在這里我們不作討論。63第63頁，課件共103頁，創作于2023年2月第三節變參數模型和分段回歸一、變參數模型

從上一節的討論可知，由于引入了虛擬變量，回歸模型的截距或斜率不再是固定不變的。但是模型中參數的變化是離散的，而不是連續的。64第64頁，課件共103頁，創作于2023年2月例如，在式（8.24）中，只是假定在1979年以前和1979年以后兩個時期城鎮居民有不同的消費行為，也就是說，回歸模型的截距和斜率并不是每年都發生變化。變參數模型是虛擬變量模型的推廣，它認為回歸模型的截距或斜率會隨著樣本觀察值的改變而系統地改變。65第65頁，課件共103頁，創作于2023年2月（一）截距變動模型系統變參數模型也可以分為截距變動模型和截距、斜率同時變動模型。設線性回歸模型為(8.28)66第66頁，課件共103頁，創作于2023年2月式中，X=解釋變量，Y=被解釋變量。如果的變化為非隨機的，而且這種變化完全由外生變量決定，那么式（8.29）就是一個非隨機變參數模型。67第67頁，課件共103頁，創作于2023年2月我們觀察到截距項和我們前面的虛擬變量模型的截距項有所不同，下面多了一個下標t。這就是說，雖然回歸模型斜率在整個樣本時期保持不變，但是截距項是隨著時間的變化而變化的。68第68頁，課件共103頁，創作于2023年2月β1t定義如下（8.30）式中，α0和α1為我們要求的參數，也可以稱為“超參數”，Zt是用來解釋β1t變動情況的外生變量將式（8.30）代入式（8.29）中，整理得到69第69頁，課件共103頁，創作于2023年2月（8.31）可用最小二乘法對式（8.31）中的超參數和其它參數一并進行估計。如果Zt為虛擬變量，那么式（8.31）就是一個虛擬變量模型，而且是一個截距項變動斜率不變的模型。因此，虛擬變量模型是變參數模型的一種特殊形式。

70第70頁，課件共103頁，創作于2023年2月（二）截距和斜率同時變動模型和虛擬變量模型的思路一樣，再來討論斜率和截距同時存在系統變動的情況。我們只需要在式（8.31）的基礎上進行改進。將換為，且假定有如下關系式：

（8.32）71第71頁，課件共103頁，創作于2023年2月將式（8.32）代入式（8.31），則有（8.33）72第72頁，課件共103頁，創作于2023年2月以上模型只假定β1t和β2t存在系統變化，實際上還有很多參數都可能存在這種變化，甚至可能存在β1t和β2t等系數有可能不是線性變化的，也就是說超參數本身可能不為常數。這種情況只是在理論上提出來，實際操作會因為太復雜而沒有太多的應用。73第73頁，課件共103頁，創作于2023年2月用最小二乘估計得到式（8.33）中的參數估計值后，就可以對參數是否存在系統變化進行統計檢驗。如果α1和b1在統計上不顯著，就可以把β1和β1看作常數；否則，我們認為β1和β2存在系統變化。

74第74頁，課件共103頁，創作于2023年2月顯然，如果錯誤地把β1和β2當作常數，就等同于錯誤地解釋了經濟變量之間的關系。此外，由于相當于省略了重要的解釋變量Zt和Wt，還可能會產生自相關等問題。75第75頁，課件共103頁，創作于2023年2月

（三）應用案例

【例8.3】眾所周知，我國居民的消費行為在經濟體制改革開放前后存在巨大差異。但是，在這期間居民的消費行為是否也在不斷變化？我國的經濟體制改革走的是一條漸進的道路，與居民消費有關的諸多因素必然會隨著改革開放的不斷推進而逐步改變。76第76頁，課件共103頁，創作于2023年2月這些變化對居民消費的影響主要有三個方面：第一、觀念的變化。與改革開放初期相比，我國居民的觀念已經發生了深刻的變化。人們的市場意識、風險意識、對通貨膨脹的心理承受能力等均大大增強；對“鐵”飯碗的依賴思想已明顯減弱。77第77頁，課件共103頁，創作于2023年2月第二，消費者的經濟決策權逐漸擴大，消費品市場供給日益豐富；勞動力市場的建立使人們有越來越多的擇業機會；居民金融資產的迅速積累，使消費者可以在一定時間范圍內提前或延期消費。78第78頁，課件共103頁，創作于2023年2月第三，不確定因素增多。隨著市場因素的增多，經濟生活的不確定因素也在增加。例如，職工的實際收入已不再是完全“剛性”，個人的實際收入可能會因為通貨膨脹、企業經濟效益下降而減少。不確定因素的增加，迫使消費者在安排消費時更多顧及長遠利益，消費行為漸趨向理性。79第79頁，課件共103頁，創作于2023年2月

綜上所述，我們似乎沒有理由認為居民消費行為在1979年以后是固定不變的。但是這種變動是否顯著？變動趨勢是怎么樣的？這一切還需要用系統變參數模型加以驗證。80第80頁，課件共103頁，創作于2023年2月利用1979年至1997年我國城鎮居民家庭收支調查資料，可以建立一個簡單的系統變參數模型：（8.34）式中，Xt和Yt分別代表城鎮居民家庭某年人均實際收入和人均實際支出（以1980年的價格水平為100，從收入和支出中分別扣除價格上漲因素的影響）。t=年份，ut=隨機誤差項。

81第81頁，課件共103頁，創作于2023年2月注意到模型的截距β1t和邊際消費傾向β2t是隨著時間的推移而不斷變化的，也就是說，消費與收入的關系是逐年變化的。引起β1t和β2t變化的因素中有許多是不可觀測或難以度量的，所以無法把這些因素作為解釋變量直接引入模型。82第82頁，課件共103頁，創作于2023年2月因此，我們可以用時間序號T來代表這些因素。假定β1t和β2t的變化可以由下面的關系式來表示：（8.35）（8.36）83第83頁，課件共103頁，創作于2023年2月

將式（8.35）和式（8.36）代入式（8.34），得到（8.37）84第84頁，課件共103頁，創作于2023年2月用最小二乘法估計式（8.37）的參數，得到參數估計值后，可以對a1,a2和b1,b2進行統計檢驗。如果a1,a2和b1,b2部分或全部顯著地不為零，則表明在經濟體制改革期間消費模型參數存在系統的變化；反之，就認為消費模型在改革期間是穩定的。85第85頁，課件共103頁，創作于2023年2月經試算發現a0

,a2和b2在統計上都不顯著，所以把模型確定為（8.38）用最小二乘法估計式（8.38），得到結果如下（8.39）86第86頁，課件共103頁，創作于2023年2月（8.40）式（8.40）中，參數估計值下面括號中的數字是統計值。由R2和DW值可知，模型對消費支出Yt變化的擬合程度很好，而且不存在自相關問題。87第87頁，課件共103頁，創作于2023年2月估計和檢驗結果表明：１.a1,

b1在統計上是高度顯著的，從而證明我國城鎮居民的消費行為在改革期間是不斷變化的。2.由a2=4.5047可知，我國城鎮居民的消費水平呈現逐年上升的趨勢；

88第88頁，課件共103頁，創作于2023年2月

3．由可知，我國城鎮居民的邊際消費傾向呈下降趨勢，這一結果與改革以來居民金融資產迅速增加的事實相吻合。89第89頁，課件共103頁，創作于2023年2月4．邊際消費傾向的變動曲線為

（8.41）即，邊際消費傾向的變化未線性下降趨勢。90第90頁，課件共103頁，創作于2023年2月5．如果忽略居民消費行為的變化，將模型設定為（8.42）則估計結果為（8.43）91第91頁，課件共103頁，創作于2023年2月

顯然，雖然模型的擬合優度很高，但是由于邊際消費傾向是固定不變的，模型（8.43）錯誤的描述了消費和收入的關系。而且，如果將其用于預測，隨著時間的推移誤差會越來越大。92第92頁，課件共103頁，創作于2023年2月在前面的內容，我們都是用虛擬變量代表質的因素。但在有些情況下，虛擬變量也可以代表量的因素，分段線性回歸就屬于這種類型。

二、分段回歸93第93頁，課件共103頁，創作于2023年2月

在經濟關系中常有這樣的情況：當解釋變量X的值達到某水平X*之前，與被解釋變量Y之間存在某種線性關系；當解釋變量X的值達到或超過X*以后，與被解釋變