邏輯代數(shù)基礎(chǔ)第1頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月用于描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，又稱布爾代數(shù)(BooleAlgebra)或開關(guān)代數(shù)。邏輯代數(shù)可以幫助從實現(xiàn)同一邏輯功能的眾多方案中選擇出最佳方案，該方案既能達到要求的邏輯功能，使用的元器件和連線又很少。邏輯指事物因果關(guān)系的規(guī)律。

邏輯代數(shù)描述客觀事物間的邏輯關(guān)系，相應(yīng)的函數(shù)稱邏輯函數(shù)，變量稱邏輯變量。邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值都只有兩個，通常用1和0表示。與普通代數(shù)比較用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間的關(guān)系。

相似處相異處運算規(guī)律有很多不同。引言第2頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯代數(shù)中的1和0不表示數(shù)量大小，

僅表示兩種相反的狀態(tài)。

注意例如：開關(guān)閉合為1晶體管導(dǎo)通為1電位高為1

斷開為0截止為0低為0正邏輯體制負邏輯體制規(guī)定高電平為邏輯1、低電平為邏輯0規(guī)定低電平為邏輯1、高電平為邏輯0通常未加說明，則為正邏輯體制第3頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月主要要求：

掌握邏輯代數(shù)的常用運算。理解并初步掌握邏輯函數(shù)的建立和表示的方法。

3.1

邏輯代數(shù)的基本運算掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點及其相互轉(zhuǎn)換的方法。

第4頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月一、三種基本邏輯運算

基本邏輯函數(shù)

與邏輯或邏輯非邏輯與運算(邏輯乘)串聯(lián)開關(guān)模型

或運算(邏輯加)并聯(lián)開關(guān)模型

非運算(邏輯非)

短路開關(guān)模型1.與邏輯決定某一事件的所有條件都具備時，該事件才發(fā)生滅斷斷亮合合滅斷合滅合斷燈

Y開關(guān)

B開關(guān)

A開關(guān)

A、B都閉合時，燈

Y才亮。

規(guī)定:開關(guān)閉合為邏輯1斷開為邏輯0燈亮為邏輯1燈滅為邏輯0

真值表111YAB000001010邏輯表達式Y(jié)=A·B

或Y=AB

與門

(ANDgate)有0出0；全1出1

第5頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月開關(guān)A或B閉合或兩者都閉合時，燈Y才亮。2.

或邏輯

決定某一事件的諸條件中，只要有一個或一個以上具備時，該事件就發(fā)生。滅斷斷亮合合亮斷合亮合斷燈

Y開關(guān)

B開關(guān)

A有1出1全0出0

000111YA

B101110邏輯表達式Y(jié)=A+B

或門

(ORgate)≥1

3.非邏輯決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。開關(guān)閉合時燈滅，開關(guān)斷開時燈亮。

AY0110Y=A

1

非門(NOTgate)

又稱“反相器”

第6頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月二、復(fù)合邏輯由基本邏輯運算組合而成

與非邏輯(NAND)先與后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B101110011或非邏輯(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1100YA

B001010與或非邏輯(AND–OR–INVERT)先與后或再非第7頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月異或邏輯(Exclusive–OR)若相異出1若相同出0同或邏輯(Exclusive-NOR，即異或非)若相同出1若相異出0000011YAB101110100111YAB001010注意：異或和同或互為反函數(shù)，即第8頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]試對應(yīng)輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。解：Y1有0出0全1出1

01100110

00110011Y2Y3相同出

0相異出

1第9頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月三、邏輯符號對照

國家標準曾用標準美國標準第10頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2邏輯代數(shù)的基本定律和公式

主要要求：

掌握邏輯代數(shù)的基本公式和基本定律。第11頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月一、邏輯代數(shù)的基本定律

邏輯常量運算公式邏輯變量與常量的運算公式0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

10–1律重迭律互補律還原律0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

第12頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月交換律、結(jié)合律與普通代數(shù)相似交換律A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)普通代數(shù)沒有！利用真值表邏輯等式的證明方法

利用基本公式和基本定律第13頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月111111111100

[例]

證明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)用分配律展開=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111第14頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

二、邏輯代數(shù)的常用公式第15頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B吸收律A+AB=A

推廣公式：思考：(1)若已知

A+B=A+C，則

B=C嗎？

(2)若已知

AB=AC，則B=C嗎？

推廣公式：摩根定律(又稱反演律)第16頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月主要要求：

了解邏輯函數(shù)式的定義

實際邏輯問題，其邏輯關(guān)系遠比基本邏輯復(fù)雜。對各種復(fù)雜的邏輯關(guān)系，常用邏輯函數(shù)來描述。3.3邏輯函數(shù)了解邏輯函數(shù)的約束條件第17頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月將邏輯變量作為輸入，將邏輯運算的結(jié)果作為輸出，當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的值便被唯一的確定下來。反映這種輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系的函數(shù)便稱為邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)記為：Y=F（A，B，C……）其中：A、B、C……為邏輯變量，Y為邏輯函數(shù)，F(xiàn)為某種對應(yīng)的邏輯關(guān)系。邏輯函數(shù)具有與普通代數(shù)不同的特點：（1）邏輯函數(shù)A、B、C……的取值僅為0和1兩種；（2）函數(shù)和變量之間的關(guān)系由與、或、非三種基本運算決定。一、邏輯函數(shù)的定義第18頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯變量的取值沒有限制的邏輯函數(shù)稱為完全描述的邏輯函數(shù)；若邏輯變量的某些取值組合不可能出現(xiàn)、或是邏輯函數(shù)值不唯一，該邏輯函數(shù)稱為非完全描述的邏輯函數(shù)（或稱帶約束條件的邏輯函數(shù)）。與此相對應(yīng)的取值組合則稱為其約束條件。如：8421BCD碼中，1010~1111這六種組合是不允許出現(xiàn)的，就稱為約束條件。又如：交通燈控制系統(tǒng)中，黃燈亮?xí)r，若車已越過停車線，邏輯值為1，未越過停車線，邏輯值為0。其邏輯函數(shù)取值是不唯一的。二、邏輯函數(shù)的約束條件第19頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月主要要求：

了解邏輯函數(shù)的表示方法

邏輯函數(shù)可通過真值表、邏輯代數(shù)式、邏輯圖和卡諾圖四種方式來表達。3.4邏輯函數(shù)的表示了解邏輯函數(shù)各種表示方式的特點和相互轉(zhuǎn)換的方法第20頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月一、真值表

真值表以表格的形式描述所有變量的取值組合與對應(yīng)的邏輯函數(shù)值。列真值表方法(1)按

n位二進制數(shù)遞增的方式列出輸入變量的各種取值組合。(2)

分別求出各種組合對應(yīng)的輸出邏輯值填入表格。真值表可看作由左右兩欄組成，左欄列出所有變量的取值組合，右欄列出變量取值組合對應(yīng)的邏輯函數(shù)值。第21頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月【例】舉重比賽中有三個裁判員，規(guī)定只要有兩個或兩個以上的裁判員認可，則試舉成功，否則試舉失敗。試給出該“舉重判決”問題的真值表。解：三個裁判員作為三個輸入變量，分別用A、B、C表示，裁判認可用1表示，否決用0表示。用Y表示輸出邏輯函數(shù)，試舉成功用1表示，試舉失敗用0表示。由此可列出Y與A、B、C的邏輯關(guān)系。ABCY00000010010001111000101111011111第22頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA輸出變量輸入變量4個輸入變量有

24

=16種取值組合。第23頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月二、邏輯代數(shù)式用與、或、非等基本邏輯運算表示輸入與輸出之間關(guān)系的表達式稱為邏輯代數(shù)式，簡稱邏輯式。邏輯函數(shù)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。

(1)找出函數(shù)值為

1的項。(2)將這些項中輸入變量取值為

1的用原變量代替，取值為

0的用反變量代替，則得到一系列與項。(3)將這些與項相加即得邏輯式。真值表邏輯式例如

ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111

邏輯式為第24頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

n個變量有2n種組合，可對應(yīng)寫出2n個乘積項，這些乘積項均具有下列特點：包含全部變量，且每個變量在該乘積項中(以原變量或反變量)只出現(xiàn)一次。這樣的乘積項稱為這n個變量的最小項，也稱為n變量邏輯函數(shù)的最小項。1.

最小項的定義和編號

(一)最小項表達式邏輯函數(shù)的標準形式有最小項表達式和最大項表達式兩種第25頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月如何編號？如何根據(jù)輸入變量組合寫出相應(yīng)最小項？例如

3變量邏輯函數(shù)的最小項有

23=8個將輸入變量取值為1的代以原變量，取值為0的代以反變量，則得相應(yīng)最小項。

簡記符號例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小項ABCm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應(yīng)的十進制數(shù)76543210第26頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

最小項的基本性質(zhì)

(1)

對任意一最小項，只有一組變量取值使它的值為

1，

而其余各種變量取值均使其值為

0。三變量最小項表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC(2)

不同的最小項，使其值為

1的那組變量取值也不同。(3)

對于變量的任一組取值，任意兩個最小項的乘積為

0。(4)

對于變量的任一組取值，全體最小項的和為

1。第27頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月3.

最小項編號

最小項用m表示，通常用十進制數(shù)作最小項的下標編號。把最小項中的原變量當(dāng)作1，反變量當(dāng)作0，所得的二進制數(shù)所對應(yīng)的十進制數(shù)即為最小項的編號。4.

最小項表達式若干最小項之和構(gòu)成最小項表達式（也叫標準與-或）

一般形式

簡寫形式

第28頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

標準與或式中輸入變量的排列順序非常重要，排列順序一旦確定，就不能任意改變，否則會造成表達式錯誤。排列順序一般采用英文字母的自然排列順序，不能省略。在與或邏輯函數(shù)表達式中，若與項不是最小項，可利用A+/A=1形式補充缺少的變量，將邏輯函數(shù)變換成最小項之和的最小項表達式。例1：將Y=AB+AC+BC變換為最小項表達式例2：將變換為標準與-或式第29頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）邏輯函數(shù)的標準或與式——最大項表示式

n個變量有2n種組合，可對應(yīng)寫出2n個相加項，這些相加項均具有下列特點：包含全部變量，且每個變量在該相加項中(以原變量或反變量)只出現(xiàn)一次。這樣的相加項稱為這n個變量的最大項，也稱為n變量邏輯函數(shù)的最大項。1.

最大項的定義和編號

第30頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月如何編號？如何根據(jù)輸入變量組合寫出相應(yīng)最小項？例如

3變量邏輯函數(shù)的最大項有

23=8個將輸入變量取值為0的代以原變量，取值為1的代以反變量，則得相應(yīng)最大項。

簡記符號例如

M7M6M5M4M3M2M1M0輸入組合對應(yīng)的十進制數(shù)76543210111110101100011010001000最大項ABC0113M31004M4第31頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

最大項的基本性質(zhì)

②

不同的最大項，使其值為

0的那組變量取值也不同。③

對于變量的任一組取值，任意兩個最大項的相加為

1。④

對于變量的任一組取值，全體最大項的積為

0。①

對任意一最大項，只有一組變量取值使它的值為

0，

而其余各種變量取值均使其值為

1。3.最小項與最大項的關(guān)系

變量數(shù)相同時，下標號相同的最大項和最小項互補，即例如

第32頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月4.邏輯函數(shù)的標準或與式

每一個或項都是最大項的或與邏輯式稱為標準或與式，又稱最大項表達式。

標準或與式中輸入變量的排列順序非常重要，排列順序一旦確定，就不能任意改變，否則會造成表達式錯誤。排列順序一般采用英文字母的自然排列順序，不能省略。簡寫形式

一般形式

第33頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月真值表標準或與式例如

ABC0000011110111101100110101100YCBA1110000111

反函數(shù)邏輯式為(1)找出函數(shù)值為

0的項。(2)將這些項中輸入變量取值為

1的用反變量代替，取值為

0的用反變量代替，則得到一系列或項。(3)將這些或項相乘即得邏輯式Y(jié)。*(4)也可反演規(guī)則得出邏輯式Y(jié)則邏輯式第34頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]

已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下，試給出標準與-或式和標準或-與式。ABCY00010010010101101001101011011110m0m2m4m6（1）找出真值表中Y=1對應(yīng)的最小項，M1M3M5M7解：（2）找出真值表中Y=0對的最大項，則標準或-與式為則標準與-或式為同一邏輯函數(shù)，在標準與-或式中已有的最小項編號，則在標準或-與式中的最大項序號恰好是沒有的最小項編號。第35頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：將邏輯函數(shù)Y=(A+C)(/A+B)變換為最大項表達式當(dāng)求出最小項表達式時，同一邏輯函數(shù)的最大項表達式可根據(jù)最小項表達式中缺少的編號直接寫出。例2：將邏輯函數(shù)變換為最小項表達式和最大項表達式···？第36頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

同一個邏輯函數(shù)除了用標準與或式和標準或與式描述外，還可以用其它類型的邏輯式描述(統(tǒng)稱非標準式)。（三）邏輯函數(shù)的非標準式

常見的非標準式有與或式、或與式、與非與非式、或非或非式、與或非式。下面是表示示例和各表達式之間的轉(zhuǎn)換：第37頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種形式間可以相互變換。例如與或表達式

或與表達式與非-

與非表達式或非-

或非表達式與或非表達式轉(zhuǎn)換方法舉例

與或式與非式

用還原律

用摩根定律

或與式或非式與或非式

用還原律

用摩根定律

用摩根定律

第38頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

在無約束條件的邏輯函數(shù)的表示式基礎(chǔ)上，增加約束條件邏輯表示式，就是帶約束條件的邏輯函數(shù)的表示式。帶約束條件的邏輯函數(shù)表示式也分標準式和非標準式兩大類。（四）具有約束條件的邏輯函數(shù)表示式（1）標準式

約束條件就是某些變量取值組合不可能出現(xiàn)，或者某些變量取值組合對應(yīng)的函數(shù)值不唯一，這些取值組合對應(yīng)的最小項稱為約束項，亦稱無關(guān)項。為了使用方便，需要將約束項進行編號，常用di表示。約束項下標i的編號規(guī)則類似最小項下標i的編號規(guī)則。第39頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

【例3-2】某四變量邏輯函數(shù)，其中變量A、B、C、D為表示1位十進制數(shù)X的8421BCD碼，當(dāng)4≤X≤8時，邏輯函數(shù)Y為1；否則Y為0。試列出該邏輯函數(shù)的真值表，并給出具有無關(guān)項邏輯函數(shù)的標準與或式。

解：由于變量A、B、C、D取值為8421BCD碼，1010~1111取值組合不可能出現(xiàn)，由已知條件4≤X≤8時，邏輯函數(shù)Y為1列出該邏輯函數(shù)的真值表，

ABCDY00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000111110××××××第40頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月由真值表寫出對應(yīng)的具有無關(guān)項邏輯函數(shù)的標準與或式（簡寫形式）：標準或與式（簡寫形式）：表示變量（A,B,C,D）取值組合不可能出現(xiàn)的1010~1111六個編號最小項。表示變量（A,B,C,D）取值組合不可能出現(xiàn)的1010~1111六個編號最大項。第41頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

類似普通代數(shù)中函數(shù)的約束條件表示方法，邏輯代數(shù)中的約束條件也可以采用與邏輯函數(shù)分開，單獨用與項（也可以或項）表示，稱約束條件的非標準表示式。（2）非標準式

也可單獨用或項表示為：約束條件可單獨用與項表示為：第42頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月重要規(guī)則

(一)

代入規(guī)則A

A

A

A均用代替A均用代替B均用C代替利用代入規(guī)則能擴展基本定律的應(yīng)用。

將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。第43頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月變換時注意：(1)

不能改變原來的運算順序。(2)

反變量換成原變量只對單個變量有效，而長非

號保持不變。可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有三種方法：利用反演規(guī)則、摩根定律或真值表。原運算次序為

(二)

反演規(guī)則對任一個邏輯函數(shù)式

Y，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)。第44頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月如果邏輯函數(shù)為編號表示的標準最小項或最大項表達式，一般不采用反演規(guī)則求反函數(shù)。可根據(jù)最小項與最大項的互補關(guān)系，若原函數(shù)為標準的最小項表達式，對應(yīng)反函數(shù)采用標準的最大項表達式，則反函數(shù)中的最大項編號就是原函數(shù)中的最小項編號；例反函數(shù)第45頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月

(三)

對偶規(guī)則對任一個邏輯函數(shù)式

Y，將“·”換成“+”，“+”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，則得到原邏輯函數(shù)式的對偶式

Y。

對偶規(guī)則：兩個函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。

應(yīng)用對偶規(guī)則可將基本公式和定律擴展。變換時注意：(1)

變量不改變

(2)

不能改變原來的運算順序A+AB=AA·(A+B)=A

第46頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月如果邏輯函數(shù)為編號表示的標準最小項或最大項表達式，一般不采用對偶規(guī)則求對偶函數(shù)。可根據(jù)最小項與最大項的對偶關(guān)系:若n變量的最小項編號mi，對應(yīng)對偶式的最大項編號Mj

，則

j=2n–1-i例根據(jù)上述關(guān)系，若n變量原函數(shù)為標準的最小項表達式，對應(yīng)的對偶函數(shù)采用標準的最大項表達式，則對偶函數(shù)的最大項編號由上式確定；對應(yīng)的對偶函數(shù)仍采用標準的最小項表達式，則對偶函數(shù)的最小項編號就是對偶函數(shù)的標準最大項表達式中的沒有的編號。對偶函數(shù)第47頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月運算次序為先非后與再或，因此用三級電路實現(xiàn)之。由基本邏輯門和復(fù)合邏輯門符號組成的能完成某一邏輯功能的電路圖。

根據(jù)邏輯式畫邏輯圖的方法:將各級邏輯運算用相應(yīng)邏輯門去實現(xiàn)。例：畫的邏輯圖反變量用非門實現(xiàn)與項用與門實現(xiàn)相加項用或門實現(xiàn)三、邏輯圖第48頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)

畫邏輯圖

與或表達式(可用2個非門、

2個與門和1個或門實現(xiàn))異或非表達式(可用1個異或門和1個非門實現(xiàn))=Ａ⊙B設(shè)計邏輯電路的基本原則是使電路最簡。第49頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月例如ABC+ABC=AB（1）相鄰最小項

兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。例如

三變量最小項

ABC

和

ABC

相鄰最小項重要特點：兩個相鄰最小項相加可合并為一項，

消去互反變量，化簡為相同變量相與。將n變量的2n個最小項用2n個小方格表示，并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為n變量最小項卡諾圖，

簡稱為變量卡諾圖。（2）變量卡諾圖3.4.4卡諾圖表示

1卡諾圖的標準形式第50頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月變量取0的代以反變量取1的代以原變量AB二變量卡諾圖0101000110110001AB0101m0m1m2m3

0

1

2

3ABAAB

BABABABAB四變量卡諾圖

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10三變量卡諾圖ABC01000111

10

m6

m7

m4

m2

m3000

m0

m5001

m1

6

7

5

4

2

3

1

0ABCD00011110000111

10以循環(huán)碼排列以保證相鄰性第51頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月變量取0的代以反變量取1的代以原變量ABCD00011110000111

10

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10ABCD相鄰項在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰五變量及以上卡諾圖，由于小方格太多，反而顯得復(fù)雜。第52頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例

已知標準與-或式畫函數(shù)卡諾圖

[例]

試畫出函數(shù)Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡諾圖解：(1)

畫出四變量卡諾圖(2)

填圖邏輯式中的最小項m0、m1、m12、m13、m15

對應(yīng)的方格填1，其余不填或填0。ABCD0001111000011110

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

1

1

1

1

1

2卡諾圖表示邏輯函數(shù)第53頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月已知標準與-或式畫函數(shù)卡諾圖

[例]

試畫出函數(shù)Y=∑m(0,1,12,13,15)+∑d(2,3,14)的卡諾圖解：(1)

畫出四變量卡諾圖(2)

填圖邏輯式中m0、m1、m12、m13、m15

對應(yīng)的方格填1;m2、m3、m14對應(yīng)的方格填×;其余不填或填0。ABCD0001111000011110

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

1

1×

×

1

1

1×

第54頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月已知一般表達式畫函數(shù)卡諾圖解：(1)

將邏輯式轉(zhuǎn)化為與-或式(2)

作四變量卡諾圖找出各與項所對應(yīng)的最小項方格填1，其余不填。

[例]已知，試畫出Y的卡諾圖。AB+ABCD0001111000011110(3)

根據(jù)與-或式填圖

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

AB對應(yīng)最小項為同時滿足A=1，

B=1的方格。BCD對應(yīng)最小項為同時滿足B=1，C=0，D=1的方格AD對應(yīng)最小項為同時滿足A=0，D=1的方格。第55頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月已知真值表畫函數(shù)卡諾圖[例]

已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下，試畫出Y的卡諾圖。解：(1)

畫3變量卡諾圖。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

3

1

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1

對應(yīng)的最小項，在卡諾圖相應(yīng)方格中填1，其余不填。第56頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月將輸入變量可能的取值組合和對應(yīng)的輸出值按時間順序畫出的波形圖例：已知輸入變量A、B、C和輸出Y的邏輯函數(shù)真值表如下表所示，用波形圖表示該邏輯函數(shù)。輸入輸出ABCY00000011010001111001101011001111四、波形圖第57頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月主要要求：

理解最簡與-或式和最簡與非式的標準。

掌握邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法。3.6邏輯函數(shù)的化簡方法

掌握邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法。第58頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6.1邏輯函數(shù)式化簡的意義與標準

化簡意義使邏輯式最簡，以便設(shè)計出最簡的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡與-

或式，然后通過變換得到所需最簡式。第59頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月1最簡與-

或式標準

(1)乘積項(即與項)的個數(shù)最少(2)每個乘積項中的變量數(shù)最少用與門個數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少

2最簡與非式標準(1)非號個數(shù)最少(2)每個非號中的變量數(shù)最少用與非門個數(shù)最少與非門的輸入端數(shù)最少

3最簡或-與式標準

(1)相加項(即或項)的個數(shù)最少(2)每個相加項中的變量數(shù)最少用或門個數(shù)最少或門的輸入端數(shù)最少

第60頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6.2公式化簡法

運用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。并項法

運用，將兩項合并為一項，并消去一個變量。第61頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月吸收法

運用A+AB

=A和，消去多余的與項。第62頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月消去法

運用吸收律

，消去多余因子。第63頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月配項法通過乘或加入零項進行配項，然后再化簡。第64頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月綜合靈活運用上述方法

[例]化簡邏輯式解：

應(yīng)用[例]化簡邏輯式解：

應(yīng)用應(yīng)用AB第65頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]化簡邏輯式解：

應(yīng)用用摩根定律第66頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]化簡邏輯式解：

最簡結(jié)果不是唯一第67頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]化簡邏輯式解：先將或—

與式變換成與—或式（用對偶規(guī)則）再取對偶還原公式法化簡對邏輯函數(shù)變量的的個數(shù)沒限制。化簡需要一定技巧、有時結(jié)果較難判定是否為最簡，且最簡結(jié)果也不一定是唯一的。或—

與式化簡第68頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)化簡法

優(yōu)點：對變量個數(shù)沒有限制。缺點：需技巧，不易判斷是否最簡式。

卡諾圖化簡法優(yōu)點：簡單、直觀，有一定的步驟和方法易判斷結(jié)果是否最簡。

缺點：適合變量個數(shù)較少的情況。一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點3.6.3卡諾圖化簡法

第69頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月化簡規(guī)律

2

個相鄰最小項有

1個變量相異，相加可以消去這

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；

4個相鄰最小項有2個變量相異，相加可以消去這2個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；

8個相鄰最小項有3個變量相異，相加可以消去這3個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；……

2n個相鄰最小項有

n個變量相異，相加可以消去這

n個變量，化簡結(jié)果為相同變量的與。消異存同

第70頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月ABCD0001111000011110

1

1例如

2個相鄰項合并消去

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110

1

1例如

2個相鄰項合并消去

1個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110例如

1

1

1

1

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD

4個相鄰項合并消去2個變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。8個相鄰項合并消去3個變量A

1

1

1

1

1

1

1

1第71頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月畫包圍圈規(guī)則包圍圈必須包含2n個相鄰1方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重復(fù)圈，但須每圈有新1；每個“1”格須圈到，孤立項也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個角上的1方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。注意

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD卡諾

圖化

簡法

步驟畫函數(shù)卡諾圖

將各圈分別化簡對填1的相鄰最小項方格畫包圍圈將各圈化簡結(jié)果邏輯加

第72頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月卡諾圖中含無關(guān)項方格的處理原則：無關(guān)項的取值對邏輯函數(shù)值沒有影響。為了使卡諾圖中相鄰1方格畫包圍圈個數(shù)最少而且包圍圈中相鄰1方格的個數(shù)最多，卡諾圖中的無關(guān)項方格應(yīng)視需要可將無關(guān)項方格看作1方格或0方格。包圍圈符合要求這個包圍圈不符合要求第74頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖

1

1

1

1

1

1

1

1(3)畫包圍圈abcd(4)將各圖分別化簡圈2個可消去

1個變量，化簡為3個相同變量相與。Yb=BCD圈4個可消去

2個變量，化簡為2個相同變量相與。孤立項Ya=ABCDYc=

AB循環(huán)相鄰

Yd=

AD(5)將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最簡與-或式第75頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖

1

1

1

1

1

1

1

1(4)求最簡與-或式

Y=

1消1個剩3個(3)畫圈消2個剩2個

4個角上的最小項循環(huán)相鄰最簡結(jié)果未必唯一。第76頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月找

AB

=11,C

=

1

的公共區(qū)域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共區(qū)域找

B

=

1,

D

=

1

的公共區(qū)域解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖

1

1(4)化簡(3)畫圈[例]用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)0011m30100m4

1

1

1

1

1

1

1

1要畫嗎？Y=第77頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]已知某邏輯函數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫出其最簡與-或式。ABCD0001111000011110

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1解：

0方格很少且為相鄰項，故用圈0法先求Y的最簡與或式。1111111111邏輯函數(shù)Y的最簡與-或式取反（或取對偶）就是對應(yīng)邏輯函數(shù)Y（或Y）的最簡或-與式，反之亦然。第78頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。ABCY00010011010001111001101011011111注意：該卡諾圖還有其他畫圈法可見，最簡結(jié)果未必唯一。解：(1)畫函數(shù)卡諾圖ABC01000111

10

1

1

1

1

1

1(3)化簡(2)畫圈Y=

1

1

1

1

1

1ABC0100011110第79頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月將d10看成0,其余×看成1

將×看成0

ABCD00011110000111

10

1

1

1

1

1

1

×

×

×

×

×

×

×顯然左圖化簡結(jié)果最簡

解：(1)畫變量卡諾圖[例]用卡諾圖化簡函數(shù)

Y=∑m(0,1,4,6,9,13)+∑d(2,3,5,7,10,11,15)ABCD00011110000111

10(2)填圖

1

1

1

1

1(4)寫出最簡與

-

或式最小項(3)畫包圍圈無關(guān)項

1

×

×

×

×

×

×

×

0

×(5)本題邏輯函數(shù)的最大項表達式第80頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月[例]已知函數(shù)

Y的真值

表如下，求其最簡

與

-

或式。ABCY000100110100011×1000101111001110解：(1)畫變量卡諾圖ABC0100011110

×

1

1

1(4)寫出最簡與

-

或式(2)填圖(3)畫包圍圈

×要畫圈嗎？第81頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖(4)求最簡與-

或式(3)畫包圍圈

1

1

1

1求最簡與非式基本方法是：先求最簡與或式，再利用還原律和摩根定律變換為最簡與非式。[例]求函數(shù)的最簡與非式

1

1

×

×

×

×

×

×

×

×(5)求最簡與非式分析題意稱約束條件，