《直角三角形的邊角關系》復習導航一、復習目標.進一步理解銳角三角函數的概念，并能夠通過實例進行說明..能夠進行含有30°、45°、60°角的三角形函數值的計算..能夠借助計算器，由已知銳角求出它的三角函數值，或由已知三角函數值求出相應的銳角..能夠運用直角三角形的邊角關系，解決與直角三角形有關的實際問題，加強學生的數學應用意識，使學生進一步體會到三角函數是解決實際問題的有效工具..體會數形之間的聯系，逐步學習利用數形結合的數形分析問題和解決問題.二、重點、難度重點：銳角三角函數的概念、勾股定理及直角三角形的解法.難點：銳角三角函數之間的關系及直角三角形的邊角關系的實際應用.三、知識要點回顧.在直角三角形中，一個銳角的 與 的比叫做這個銳角的正弦.銳角 A的正弦記作 ..在直角三角形中，一個銳角的 與 的比叫做這個銳角的余弦.銳角 A的余弦記作 ..在直角三角形中，一個銳角的 與 的比叫做這個銳角的正切.銳角 A的正切記作 ..直角三角形中的常用關系式：在RtAABC中，∠C=90°,則有：（1）三邊之間的關系： （勾股定理）；（2）兩銳角之間的關系： ；（3）邊角之間的關系：abbSinA==—,sinB==—, cosA==—,CosB= = ,tanA= =—,tanB= = .b.視線與水平線方向的夾角中,視線在水平線 的角叫做仰角,視線在水平線 的角叫做俯角..如圖1,把 與 的夾角叫做坡角（如圖1中的∠α）.坡面的 與 的比叫做坡度（也叫坡比）,用字母表示為i=..應用直角三角形的邊角關系來解決實際問題時,要注意：（1）在解直角三角形時,是用三角函數知識,通過數值計算,去求出圖形中的某些邊

的長度或角的大小,這是數形結合的一種形式,所以在分析問題時,一般先根據已知條件作

出它的平面或截面示意圖,按照圖中 之間的關系進行計算,這樣可以幫助我們思考,防止出錯.（2）有些圖形雖然不是直角三角形,但可添加適當的輔助線把它們分割成一些 三角形和矩形,從而轉化為 三角形的問題來解決.（3）在優選公式時,盡量利用已知數據,避免“一錯再錯”和“累積誤差”,并要按照題目中已知數據的精確到進行近似計算.四、中考考點歸納以下試題均為中考試題考點1：銳角三角形函數的定義例1（浙江省湖州市）如圖1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=1,AB=2,則下列結論正確的是（ ）A.SinA=2B.tanA=-2C.CosB=史

2D.tanB=R分析：因為BC=1,BC1AB=2,所以由勾股定理可得ACK3.故有SinA=AB=2,BC1v3

tanA==―?=,AC√3 3CosB=BCAB12ACtanB= BC1解：選D.點評：解決這類問題的關鍵是正確理解銳角三角函數的概念，找準對邊、鄰邊和斜邊.考點2：特殊銳角的三角函數值例2（浙江省義烏市）計算（-2）2+tan45。-2cos60。分析：把題目中的三角函數值用實數表示出來，轉化為實數的運算.解：原式=4+1-2×2=4.點評：本題主要考查特殊角的三角函數值.熟練掌握30°、45°、60°三個特色銳角的三角函數值是正確解答這類問題的關鍵.為了保證運算結果的正確，必須熟練記清楚特殊角的三角函數值，避免混淆.最好不要寄希望于用到的時候臨時推導，那樣做會浪費寶貴的時間，也容易出錯.考點3：與銳角三角函數相關的計算例3 （陜西省）如圖2在梯形ABCD中，DC〃AB，DA=CB若AB=10，DC=4,tanA=2,則這個梯形的面積是.EF圖2分析：分別過D、C作梯形的高DE、CF.則易知EF=DC=4.AE=BF=1（AB-EF）=3.則Rt△ADE中

乙tanA=?芻=2，所以DE=6.所以梯形ABCD的面積二^XAE 2，因為（4+10）X6=42.解：填42.點評：本題考查直角三角形的有關知識.解決這類問題的關鍵在于構造直角三角形以便于利用已知的三角函數值求解.考點4：直角三角形邊角關系的實際應用例4（山東省煙臺市）騰飛中學在教學樓前新建了一座“騰飛”雕塑（如圖3①）.為了測量雕塑的高度，小明在二樓找到一點C,利用三角板測得雕塑頂端A點的仰角為30°,底部B點的俯角為45°,小華在五樓找到一點D,利用三角板測得A點的俯角為60°（如圖3②）.若已知CD為10米,請求出雕塑AB的高度.（結果精確到0.1米,參考數據√3=1.73）.分析：要求出雕塑AB的高度，可過點C作CE⊥AB,構造出兩個直角三角形，再根據已知設法求出AE、BE的長即可.解：過點。作CE⊥aB于E./D=90°-60。=30°,/ACD=90°-30°=60°,.?./CAD=90°CD=10,.?.AC=-CD=5.2在Rt△ACE中，*?AE=ACSin/ACE=5sin30=5,2CE=ACcos/ACE=5cos30=5√3,? ? 2在Rt△BCE中，?一 1一5-/BCE=45，.?.BE=CEtan45=—,3 ,2.?.AB=AE+BE=5+5√3=5(√3+1)≈6.8(米).? 22 2所以，雕塑AB的高度約為6.8米.點評：這類問題的解題思路是構筑直角三角形模型,將所求的量的線段分開來求,再將其相加減,或者將兩個直角三角形聯系起來,通過列方程求解.例5(濟寧市)坐落在山東省汶上縣寶相寺內的太子靈蹤塔始建于北宋(公元1112年),為磚徹八角形十三層樓閣式建筑.數學活動小組開展課外實踐活動,在一個陽光明媚的上午,他們去測量太子靈蹤塔的高度,攜帶的測量工具有：測角儀、皮尺、小鏡子.(1)小華利用測角儀和皮尺測量塔高.圖4為小華測量塔高的示意圖.她先在塔前的平地上選擇一點A,用測角儀測出看塔頂(M)的仰角α=35,在A點和塔之間選擇一點OB，測出看塔頂(M)的仰角P=45,然后用皮尺量出A、B兩點的距離為18.6m,自身的高度為1.6m.請你利用上述數據幫助小華計算出塔的高度(tan35≈0.7,結果保留整數).(2)如果你是活動小組的一員，正準備測量塔高，而此時塔影NP的長為am(如圖5),你能否利用這一數據設計一個測量方案？如果能，請回答下列問題：①在你設計的測量方案中，選用的測量工具是:②要計算出塔的高，你還需要測量哪些數據?分析：(1)設CD的延長線交MN于E點，則MN的長轉化為ME+EN,故只要求出ME的長即可.(2)是一道與方案設計有關的開放型問題,答案不唯一.解：(1)設CD的延長線交MN于E點，MN長為xm，則ME=(X-1.6)m.?,?β=45。，??.DE=ME=x-1.6,ΛCE=x-1.6+18.6=X+17.ME x-1.6 =tanα=tan35o,.?. =0.7,解得X=45m.CE x+17???太子靈蹤塔(MN)的高度為45m.(2)①測角儀、皮尺；②站在P點看塔頂的仰角、自身的高度.(注：答案不唯一)點評：在設計方案問題中，要充分考慮各個實際量，盡量測量地面上的量或塔一側的量等容易測量的，這樣更能體現數學的價值.考點5：與三角函數相關的綜合題例6 (浙江省嘉興市)如圖5,已知一次函數y=kx+b的圖象經過A(-2,-1),B(1,3)兩點，并且交X軸于點C,交y軸于點D,(1)求該一次函數的解析式；(2)求tanZOCD的值;(3)求證：ZAOB=135o.分析：設法求出直線AB與X軸、y軸的交點坐標，即可求出tan∠OCD的值.I-1=—2k+b解：⑴由13=k+b,解得k=-3b=53所以y45=x+—3 3<,(2)C(-5,0),D(0,5).43在RtAOCD中，OD=5,OC=-,

34???tan/OCD=OD=4.OC3(3)取點A關于原點的對稱點E(2,1),則問題轉化為求證/BOE=45。.由