廣東省汕頭市谷饒中學2022年高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知復數為純虛數，則為

（

）

A．0

B．

C．

D．參考答案：C略2.設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件參考答案：A3.橢圓＋＝1的左、右焦點是F1、F2，P是橢圓上一點，若|PF1|＝3|PF2|，則P點到左準線的距離是（

）A．8

B．6

C．4

D．2參考答案：B4.設是虛數單位，若，則的值是A、-1

B、1

C、

D、參考答案：D5.已知實數x，y滿足的最大值為7，則a的值為

（

）

A．1 B．－1

C．

D．－參考答案：答案：A6.已知數列{an}滿足：an=，且Sn=，則n的值為（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：C【考點】數列的求和．【專題】等差數列與等比數列．【分析】對通項拆項，利用并項法相加即可．【解答】解：∵an==﹣，∴Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，又∵Sn=，∴1﹣=，解得n=9，故選：C．【點評】本題考查數列的前n項和，利用裂項相消法是解決本題的關鍵，屬于中檔題．7.△ABC中，若，，則=(

)A． B． C． D．參考答案：B略8.已知過點（﹣2，0）的直線與圓O：x2+y2﹣4x=0相切與點P（P在第一象限內），則過點P且與直線x﹣y=0垂直的直線l的方程為（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0參考答案：B【考點】圓的切線方程．【分析】求出P的坐標，設直線l的方程為x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直線l的方程．【解答】解：由題意，切線的傾斜角為30°，∴P（1，）．設直線l的方程為x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直線l的方程為x+y﹣4=0，故選B．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查直線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．9.已知函數的圖像是下列四個圖像之一，且其導函數的圖像如右圖所示，則該函數的圖像是(

)參考答案：B略10.某鋼鐵企業生產甲乙兩種毛坯，已知生產每噸甲毛坯要用A原料3噸，B原料2噸;生產每噸乙毛坯要用A原料1噸，B原料3噸。每噸甲毛坯的利潤是5萬元，每噸乙毛坯的利潤是3萬元，現A原料13噸，B原料18噸，則該企業可獲得的最大利潤是A27萬元

B.29萬元

C.20萬元

D.12萬元參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下圖為國家統計局發布的2015年以來我國季度工業產能利用率的折線圖.說明：在統計學中，同比是指本期統計數據與上一年同期統計數據相比較，例如2016年第二季度與2015年第二季度相比較；環比是指本期統計數據與上期統計數據相比較，例如2015年第二季度與2015年第一季度相比較.根據上述信息，有以下結論：①2016年第三季度和第四季度環比都有提高；

②2017年第一季度和第二季度環比都有提高

③2016年第三季度和第四季度同比都有提高

④2017年第一季度和第二季度同比都有提高請把正確結論的序號填寫在____________________上.參考答案：①②④12.已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是

．參考答案：[1,+∞)函數由，復合而成，由于是單調遞增函數，因此是增函數，，由于恒成立，當時，有最小值，，故答案為

13.下列說法： ①“”的否定是“”； ②若正數滿足，則的最小值為； ③命題“函數處有極值，則”的否命題是真命題； ④上的奇函數，時的解析式是，則時的解析式為 其中正確的說法是

______________參考答案：④略14.

函數的部分圖象如左下圖所示，則的值分別為

▲

.參考答案：2，

15.設數列的前項和為，且，則___________參考答案：16.數列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數列{an}的前n項和，則S21＝________．參考答案：略17.已知雙曲線上一點，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A、B兩點，記直線AC、BC的斜率分別為，當最小時，雙曲線離心率為

參考答案：

【知識點】雙曲線的簡單性質．H6解析：設A（x1，y1），C（x2，y2），由題意知點A，B為過原點的直線與雙曲線的交點，∴由雙曲線的對稱性得A，B關于原點對稱，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=?=，∵點A，C都在雙曲線上，∴﹣=1，﹣=1，兩式相減，可得：k1k2=＞0，對于=+ln|k1k2|，函數y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2時，y′＞0，0＜x＜2時，y′＜0，∴當x=2時，函數y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴當+ln（k1k2）最小時，k1k2==2，∴e==．故答案為：．【思路點撥】設A（x1，y1），C（x2，y2），由雙曲線的對稱性得B（﹣x1，﹣y1），從而得到k1k2=?=，再由構造法利用導數性質能求出雙曲線的離心率．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，過拋物線的焦點F的直線交拋物線C于不同兩點AB，P為拋物線上任意一點（與A、B不重合），直線PA、PB分別交拋物線的準線l于點M、N.（Ⅰ）寫出焦點F的坐標和準線l的方程；（Ⅱ）求證：.參考答案：（I），；（II）證明見解析.【分析】（I）根據拋物線方程即可直接得到焦點坐標和準線方程；（II）設方程為，與拋物線方程聯立可得；利用直線兩點式方程得到直線方程，整理可得，代入即可求得點坐標，同理可得點坐標；根據向量數量積運算，可整理得到，由此得到垂直關系.【詳解】（I）由拋物線方程知：焦點，準線為：（II）設直線的方程為：令，，由消去得：，則.直線方程為：即當時，

同理得：，

【點睛】本題考查直線與拋物線的綜合應用問題，重點考查了垂直關系的證明問題；證明垂直關系的關鍵是能夠將問題轉化為平面向量數量積等于零或兩直線斜率乘積為；解決此類問題的常用方法是直線與拋物線方程聯立，通過韋達定理的結論代入所證式子中進行整理得到結果.19.樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環.據此，某網站推出了關于生態文明建設進展情況的調查，大量的統計數據表明，參與調查者中關注此問題的約占80%.現從參與調查的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15,25)，第2組[25,35)，第3組[35,45)，第4組[45,55)，第5組[55,65]，得到的頻率分布直方圖如圖所示(1)求a的值(2)現在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取12人，再從這12人中隨機抽取3人進行問卷調查，求在第1組已被抽到1人的前提下，第3組被抽到2人的概率；（3）若從所有參與調查的人中任意選出3人，記關注“生態文明”的人數為X，求X的分布列與期望.參考答案：解：（1）由，得，（2）第1，2，3組的人數分別為20人，30人，70人，從第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取12人，則第1，2，3組抽取的人數分別為2人，3人，7人. 設從12人中隨機抽取3人，第1組已被抽到1人為事件，第3組抽到2人為事件， 則 （3）從所有參與調查的人中任意選出1人，關注“生態文明”的概率為的可能取值為0，1，2，3. ，，所以的分布列為，20.（本小題滿分13分）已知動圓C過定點(1,0),且與直線x=－1相切.（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡方程;（Ⅱ）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點,直線OA和OB的傾斜角分別為和,①當=時,求證直線AB恒過一定點M;②若為定值,直線AB是否仍恒過一定點,若存在,試求出定點的坐標;若不存在,請說明理由.參考答案：(Ⅰ)設動圓圓心M(x,y),依題意點M的軌跡是以(1,0)為焦點,直線x=－1為準線的拋物線………2分其方程為y2=4x.-…………3分(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2).由題意得x1≠x2(否則)且x1x2≠0,則所以直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y=kx+b,則將y=kx+b與y2=4x聯立消去x,得ky2－4y+4b=0由韋達定理得-------※…………6分①當=時,所以,…………7分所以y1y2=16,又由※知:y1y2=所以b=4k;因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k,所以直線AB恒過定點(－4,0).…………8分②當為定值時.若=,由①知,直線AB恒過定點M(－4,0)…………9分當時,由,得==將※式代入上式整理化簡可得:,所以,…………11分此時,直線AB的方程可表示為y=kx+,所以直線AB恒過定點…………12分所以當時,直線AB恒過定點(－4,0).,當時直線AB恒過定點.…………13分21.已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1=a（a≠3），，設，n∈N*．（1）求證：數列{bn}是等比數列；（2）若an+1≥an，n∈N*，求實數a的最小值；（3）當a=4時，給出一個新數列{en}，其中，設這個新數列的前n項和為Cn，若Cn可以寫成tp（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，則稱Cn為“指數型和”．問{Cn}中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．參考答案：考點：等差數列與等比數列的綜合；數列的求和．專題：綜合題；新定義．分析：（1）依題意，可求得Sn+1=2Sn+3n，當a≠3時，=2，利用等比數列的定義即可證得數列{bn}是等比數列；（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，從而可求得an=，由an+1≥an，可求得a≥﹣9，從而可求得實數a的最小值；（3）由（1）當a=4時，bn=2n﹣1，當n≥2時，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可證得對正整數n都有Cn=2n+1，依題意由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數．分①當p為偶數時與②當p為奇數討論即可得到答案．解答：解：（1）an+1=Sn+3n?Sn+1=2Sn+3n，bn=Sn﹣3n，n∈N*，當a≠3時，===2，所以{bn}為等比數列．b1=S1﹣3=a﹣3，bn=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得Sn﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，an=Sn﹣Sn﹣1，n≥2，n∈N*，∴an=，∵an+1≥an，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值為﹣9；（3）由（1）當a=4時，bn=2n﹣1，當n≥2時，Cn=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以對正整數n都有Cn=2n+1．由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇數．①當p為偶數時，tp﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因為tp+1和tp﹣1都是大于1的正整數，所以存在正整數g，h，使得tp+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1?h=1，g=2，相應的n=3，即有C3=32，C3為“指數型和”；②當p為奇數時，tp﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1），由于1+t+t2+…+tp﹣1是p個奇數之和，仍為奇數，又t﹣1為正偶數，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1）=2n不成立，此時