一、條件概率二、乘法公式上頁下頁結束返回首頁三、獨立性§1.4條件概率與事件的獨立性§1.4.1條件概率

實際中，有時會遇到在某一事件A已經發生的條件下，求另一事件B發生的概率，稱這種概率為A發生的條件下B發生的條件概率。如：設盒中１０個玻璃球〔６紅，４藍〕，１０個木質球〔７紅，３藍〕，從中任取１球，〔１〕求取出玻璃球的概率．〔２〕取出的紅球，求取出玻璃球的概率．解：設B＝取出１個紅球，A＝取出１個玻璃球．〔１〕P(A)=10/20=1/2；〔２〕P(A|B)=6/13。問題：條件概率P(A|B)與普通概率有何關系？.定義1設A，B為隨機試驗E的兩個事件，且P(B)＞0，那么稱

一、條件概率為在事件B已發生的條件下，事件A發生的條件概率.注：條件概率與普通概率有相類似的性質：如：假設BC＝Φ，P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)，2.條件概率的計算

a)在縮減的樣本空間上直接計算。b)利用公式計算。

例１．設１０件產品中有７件正品，３件次品，從中取兩次，每次１件，取后不放回，求在第一次取得正品的情況下，第二次取得正品的概率．解：設Ａ＝第一次取得正品，Ｂ＝第二次取得正品，那么P(B|A)=6/9

例2

設某種動物由出生而活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，求現齡為20歲的這種動物活到25歲的概率？

解：

設A={活到20歲}，B={活到25歲}，那么P(A)=0.8，P(B)=0.4，于是所求概率為由于，有AB=B，因此P(AB)=P(B)=0.4，

二、乘法公式假設Ｐ(B)>0,那么P(AB)=P(B)·P(A|B)可推廣一般形式：假設P(A1A2…An-1)>0，那么P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An｜A1A2…An-1).解:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.7。例3:P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B|A)=0.8,求:P(A∪B〕.例4.100個零件中有10次品，每次任取一件，取后不放回。

〔1〕連取兩次，求兩次都取得正品的概率；

〔2〕連續取三次，求第三次才取得合格品概率。解

設Ai={第i次取得合格品}，i=1，2，3。〔2〕〔1〕例5.設袋中裝有r個紅球，t只白球.每次自袋中任取一支球，觀察其顏色后放回，并再放入a只與所取出的球的同色球。假設在袋中連續取球四次，試求第一、二次取到紅球且第三、第四次取到白球的概率。設Ai={第i次取到紅球}〔i=1,2,3,4),那么所求的概率為。解一、事件的獨立性1．定義設A、B二事件，如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),那么稱A、B為相互獨立的事件。由定義得：必然事件Ω及不可能事件Φ與任何事件都相互獨立。２．性質１〕假設P(A)>0,P(B)>0,那么Ａ和Ｂ獨立P(B|A)=P(B);P(A|B)=P(A)。所以和Ｂ相互獨立．例6甲、乙兩人各自同時向一目標射擊。甲擊中目標的概率為0.6，乙擊中目標的概率為0.5。求目標被擊中的概率。設A=甲擊中目標，B=乙擊中目標}，C=目標被擊中。由于C=A∪B，且Ａ，Ｂ獨立得

=1-0.4×0.5=0.8。或解P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)

＝P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0.6+0.5-0.6×0.5=0.8。二、多個事件的獨立性１．３個事件的獨立性的定義三個事件A、B、C，如果滿足下面四個等式那么稱三事件A、B、C相互獨立。如果A、B、C僅滿足上式中的前三個等式，那么稱三事件A、B、C兩兩相互獨立事件兩兩獨立，不一定相互獨立。2．n個事件的獨立性的定義定義3n個事件A1，A2，…，An，如果對于任意k〔1＜k≤n〕，任意1≤i1＜i2＜…ik≤n，滿足等式那么稱A1，A2，…An是相互獨立的事件。要說明A1，A2，…，An相互獨立，需驗證以下多個等式成立注：１)假設n個事件A1，A2，…，An獨立，那么其局部事件組也獨立；2)假設n個事件A1，A2，…，An獨立，那么將其中局部事件換為對立事件所得的事件組也獨立．3〕假設A1，A2，…An是相互獨立的，那么P〔A1A2…An〕=P〔A1)P(A2)…P(An〕，例7設有4個相互獨立的元件組成的系統，每個元件的可靠性都為r，〔元件的可靠性是指元件能正常工作的概率〕，今對4個元件按如下兩種方式組成系統，試比較兩個系統可靠性的大小。系統一：先串聯后并聯

系統二：先并聯后串聯解：用Ai，Bi表示如圖中諸元件可靠的事件，i