五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題02函數的基本概念與基本初等函數I考點一函數的值域1．（2019?上海）下列函數中，值域為，的是A． B． C． D．2．（2023?上海）已知函數，則函數的值域為．3．（2022?上海）設函數滿足對任意，都成立，其值域是，已知對任何滿足上述條件的都有，，則的取值范圍為．考點二函數的圖象與圖象的變換4．（2021?浙江）已知函數，，則圖象為如圖的函數可能是A． B． C． D．5．（2020?浙江）函數在區間，上的圖象可能是A． B． C． D．6．（2019?浙江）在同一直角坐標系中，函數，且的圖象可能是A． B． C． D．考點三．復合函數的單調性7．（2023?新高考Ⅰ）設函數在區間單調遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，8．（2020?海南）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是A． B．， C． D．，考點四函數的最值及其幾何意義9．（2021?新高考Ⅰ）函數的最小值為．10．（2019?浙江）已知，函數．若存在，使得，則實數的最大值是．考點五函數奇偶性的性質與判斷11．（2023?新高考Ⅱ）若為偶函數，則A． B．0 C． D．112．（2021?上海）以下哪個函數既是奇函數，又是減函數A． B． C． D．13．（2019?上海）已知，函數，存在常數，使為偶函數，則的值可能為A． B． C． D．14．（2021?新高考Ⅱ）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數．①；②當時，；③是奇函數．15．（2021?新高考Ⅰ）已知函數是偶函數，則．16．（2023?上海）已知，，函數．（1）若，求函數的定義域，并判斷是否存在使得是奇函數，說明理由；（2）若函數過點，且函數與軸負半軸有兩個不同交點，求此時的值和的取值范圍．考點六奇偶性與單調性的綜合17．（2021?新高考Ⅱ）已知函數的定義域為不恒為，為偶函數，為奇函數，則A． B． C．（2） D．（4）18．（2020?海南）若定義在的奇函數在單調遞減，且（2），則滿足的的取值范圍是A．，，B．，，C．，， D．，，考點七分段函數的應用19．（2022?上海）若函數，為奇函數，求參數的值為．20．（2022?浙江）已知函數則；若當，時，，則的最大值是．考點八抽象函數及其應用21．（2022?新高考Ⅱ）已知函數的定義域為，且，（1），則A． B． C．0 D．122．【多選】（2023?新高考Ⅰ）已知函數的定義域為，，則A． B．（1） C．是偶函數 D．為的極小值點23．（2020?上海）已知非空集合，函數的定義域為，若對任意且，不等式恒成立，則稱函數具有性質．（1）當，判斷、是否具有性質；（2）當，，，，若具有性質，求的取值范圍；（3）當，，，若為整數集且具有性質的函數均為常值函數，求所有符合條件的的值．考點九函數的周期性24．（2019?上海）已知函數周期為1，且當時，，則．考點十函數恒成立問題25．（2021?上海）已知，，若對任意的，，則有定義：是在關聯的．（1）判斷和證明是否在，關聯？是否有，關聯？（2）若是在關聯的，在，時，，求解不等式：．（3）證明：是關聯的，且是在，關聯的，當且僅當“在，是關聯的”．考點十一對數的運算性質26．（2022?浙江）已知，，則A．25 B．5 C． D．考點十二對數值大小的比較27．（2022?新高考Ⅰ）設，，，則A． B． C． D．28．（2021?新高考Ⅱ）已知，，，則下列判斷正確的是A． B． C． D．考點十三反函數29．（2021?上海）已知，則（1）．30．（2020?上海）已知函數，是的反函數，則．考點十四函數與方程的綜合運用31．（2019?浙江）設，，函數若函數恰有3個零點，則A．， B．， C．， D．，32．（2019?上海）已知，與軸交點為，若對于圖象上任意一點，在其圖象上總存在另一點、異于，滿足，且，則．33．（2019?上海）已知，．（1）當時，求不等式的解集；（2）若在，時有零點，求的取值范圍．考點十五根據實際問題選擇函數類型34．（2020?山東）基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數隨時間（單位：天）的變化規律，指數增長率與，近似滿足．有學者基于已有數據估計出，．據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天35．【多選】（2023?新高考Ⅰ）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，，，則A． B． C． D．36．（2023?上海）為了節能環保、節約材料，定義建筑物的“體形系數”，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側面，試求該建筑體的“體形系數”；（結果用含、的代數式表示）（2）定義建筑物的“形狀因子”為，其中為建筑物底面面積，為建筑物底面周長，又定義為總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）．設為某宿舍樓的層數，層高為3米，則可以推導出該宿舍樓的“體形系數”為．當，時，試求當該宿舍樓的層數為多少時，“體形系數”最小．37．（2021?上海）已知一企業今年第一季度的營業額為1.1億元，往后每個季度增加0.05億元，第一季度的利潤為0.16億元，往后每一季度比前一季度增長．（1）求今年起的前20個季度的總營業額；（2）請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業額的？38．（2020?上海）在研究某市交通情況時，道路密度是指該路段上一定時間內通過的車輛數除以時間，車輛密度是該路段一定時間內通過的車輛數除以該路段的長度，現定義交通流量為，為道路密度，為車輛密度，交通流量．（1）若交通流量，求道路密度的取值范圍；（2）已知道路密度時，測得交通流量，求車輛密度的最大值．五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題02函數的基本概念與基本初等函數I考點一函數的值域1．（2019?上海）下列函數中，值域為，的是A． B． C． D．【解析】，的值域為，故錯，的定義域為，，值域也是，，故正確．，的值域為，故錯，的值域為，，故錯．故選：．2．（2023?上海）已知函數，則函數的值域為．【解析】當時，，當時，，所以函數的值域為，．故答案為：，．3．（2022?上海）設函數滿足對任意，都成立，其值域是，已知對任何滿足上述條件的都有，，則的取值范圍為．【解析】法一：令，解得（負值舍去），當時，，當時，，且當時，總存在，使得，故，若，易得，所以，即實數的取值范圍為；法二：原命題等價于任意，所以恒成立，即恒成立，又，所以，即實數的取值范圍為．故答案為：．考點二函數的圖象與圖象的變換4．（2021?浙江）已知函數，，則圖象為如圖的函數可能是A． B． C． D．【解析】由圖可知，圖象關于原點對稱，則所求函數為奇函數，因為為偶函數，為奇函數，函數為非奇非偶函數，故選項錯誤；函數為非奇非偶函數，故選項錯誤；函數，則對恒成立，則函數在上單調遞增，故選項錯誤．故選：．5．（2020?浙江）函數在區間，上的圖象可能是A． B． C． D．【解析】，則，為奇函數，函數圖象關于原點對稱，故排除，，當時，，故排除，故選：．6．（2019?浙江）在同一直角坐標系中，函數，且的圖象可能是A． B． C． D．【解析】由函數，，當時，可得是遞減函數，圖象恒過點，函數，是遞增函數，圖象恒過，；當時，可得是遞增函數，圖象恒過點，函數，是遞減函數，圖象恒過，；滿足要求的圖象為：故選：．考點三．復合函數的單調性7．（2023?新高考Ⅰ）設函數在區間單調遞減，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】設，對稱軸為，拋物線開口向上，是的增函數，要使在區間單調遞減，則在區間單調遞減，即，即，故實數的取值范圍是，．故選：．8．（2020?海南）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是A． B．， C． D．，【解析】由，得或．令，外層函數是其定義域內的增函數，要使函數在上單調遞增，則需內層函數在上單調遞增且恒大于0，則，，，即．的取值范圍是，．故選：．考點四函數的最值及其幾何意義9．（2021?新高考Ⅰ）函數的最小值為．【解析】法一、函數的定義域為．當時，，此時函數在，上為減函數，當時，，則，當，時，，單調遞減，當時，，單調遞增，在上是連續函數，當時，單調遞減，當時，單調遞增．當時取得最小值為（1）．故答案為：1．法二、令，，分別作出兩函數的圖象如圖：由圖可知，（1），則數的最小值為1．故答案為：1．10．（2019?浙江）已知，函數．若存在，使得，則實數的最大值是．【解析】存在，使得，即有，化為，可得，即，由，可得，可得的最大值為．故答案為：．考點五函數奇偶性的性質與判斷11．（2023?新高考Ⅱ）若為偶函數，則A． B．0 C． D．1【解析】由，得或，由是偶函數，，得，即，，得，得．故選：．12．（2021?上海）以下哪個函數既是奇函數，又是減函數A． B． C． D．【解析】在上單調遞減且為奇函數，符合題意；因為在上是增函數，不符合題意；，為非奇非偶函數，不符合題意；故選：．13．（2019?上海）已知，函數，存在常數，使為偶函數，則的值可能為A． B． C． D．【解析】由于函數，存在常數，為偶函數，則：，由于函數為偶函數，故：，所以：，當時．故選：．14．（2021?新高考Ⅱ）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數．①；②當時，；③是奇函數．【解析】時，；當時，；是奇函數．故答案為：．另解：冪函數即可滿足條件①和②；偶函數即可滿足條件③，綜上所述，取即可．15．（2021?新高考Ⅰ）已知函數是偶函數，則．【解析】函數是偶函數，為上的奇函數，故也為上的奇函數，所以，所以．法二：因為函數是偶函數，所以，即，即，即，所以．故答案為：1．16．（2023?上海）已知，，函數．（1）若，求函數的定義域，并判斷是否存在使得是奇函數，說明理由；（2）若函數過點，且函數與軸負半軸有兩個不同交點，求此時的值和的取值范圍．【解析】（1）若，則，要使函數有意義，則，即的定義域為，是奇函數，是偶函數，函數為非奇非偶函數，不可能是奇函數，故不存在實數，使得是奇函數．（2）若函數過點，則（1），得，得，此時，若數與軸負半軸有兩個不同交點，即，得，當時，有兩個不同的交點，設，則，得，得，即，若即是方程的根，則，即，得或，則實數的取值范圍是且且，即，，．考點六奇偶性與單調性的綜合17．（2021?新高考Ⅱ）已知函數的定義域為不恒為，為偶函數，為奇函數，則A． B． C．（2） D．（4）【解析】函數為偶函數，，為奇函數，，用替換上式中，得，，，即，故函數是以4為周期的周期函數，為奇函數，，即，用替換上式中，可得，，關于對稱，又（1），（1）．故選：．18．（2020?海南）若定義在的奇函數在單調遞減，且（2），則滿足的的取值范圍是A．，，B．，，C．，， D．，，【解析】定義在的奇函數在單調遞減，且（2），的大致圖象如圖：在上單調遞減，且；故；當時，不等式成立，當時，不等式成立，當或時，即或時，不等式成立，當時，不等式等價為，此時，此時，當時，不等式等價為，即，得，綜上或，即實數的取值范圍是，，，故選：．考點七分段函數的應用19．（2022?上海）若函數，為奇函數，求參數的值為．【解析】函數，為奇函數，，（1），，即，求得或．當時，，不是奇函數，故；當時，，是奇函數，故滿足條件，綜上，，故答案為：1．20．（2022?浙江）已知函數則；若當，時，，則的最大值是．【解析】函數，，；作出函數的圖象如圖：由圖可知，若當，時，，則的最大值是．故答案為：；．考點八抽象函數及其應用21．（2022?新高考Ⅱ）已知函數的定義域為，且，（1），則A． B． C．0 D．1【解析】令，則，即，，，，則，的周期為6，令，得（1）（1）（1），解得，又，（2）（1），（3）（2）（1），（4）（3）（2），（5）（4）（3），（6）（5）（4），，（1）（2）（3）（4）．故選：．22．【多選】（2023?新高考Ⅰ）已知函數的定義域為，，則A． B．（1） C．是偶函數 D．為的極小值點【解析】由，取，可得，故正確；取，可得（1）（1），即（1），故正確；取，得（1），即（1），取，得，可得是偶函數，故正確；由上可知，（1），而函數解析式不確定，不妨取，滿足，常數函數無極值，故錯誤．故選：．23．（2020?上海）已知非空集合，函數的定義域為，若對任意且，不等式恒成立，則稱函數具有性質．（1）當，判斷、是否具有性質；（2）當，，，，若具有性質，求的取值范圍；（3）當，，，若為整數集且具有性質的函數均為常值函數，求所有符合條件的的值．【解析】（1）為減函數，，具有性質；為增函數，，不具有性質；（2）依題意，對任意，恒成立，為增函數（不可能為常值函數），由雙勾函數的圖象及性質可得，當時，函數單調遞增，滿足對任意，恒成立，綜上，實數的取值范圍為，．（3）為整數集，具有性質的函數均為常值函數，當時，取單調遞減函數，兩個不等式恒成立，但不為常值函數；當為正偶數時，取，兩個不等式恒成立，但不為常值函數；當為正奇數時，根據對任意且，不等式恒成立，可得，則，所以為常值函數，綜上，為正奇數．考點九函數的周期性24．（2019?上海）已知函數周期為1，且當時，，則．【解析】因為函數周期為1，所以，因為當時，，所以，故答案為：．考點十函數恒成立問題25．（2021?上海）已知，，若對任意的，，則有定義：是在關聯的．（1）判斷和證明是否在，關聯？是否有，關聯？（2）若是在關聯的，在，時，，求解不等式：．（3）證明：是關聯的，且是在，關聯的，當且僅當“在，是關聯的”．【解析】（1）在，關聯，在，不關聯，任取，，則，，在，關聯；取，，則，，，，在，不關聯；（2）在關聯，對于任意，都有，對任意，都有，由，時，，得在，的值域為，，在，的值域為，，僅在，或，上有解，，時，，令，解得，，時，，令，解得，不等式的解為，，（3）證明：①先證明：是在關聯的，且是在，關聯的在，是關聯的，由已知條件可得，，，，又是在，關聯的，任意，成立，若，，，即，，是，關聯，②再證明：在，是關聯的是在關聯的，且是在，關聯的，在，是關聯的，任取，，都有，成立，即滿足，都有，下面用反證法證明，若，則，與在，是關聯的矛盾，若，而在，是關聯的，則，矛盾，成立，即是在關聯的，再證明是在，關聯的，任取，，則存在，使得任取，，，，，，，，是在，關聯的；綜上所述，是關聯的，且是在，關聯的，當且僅當“在，是關聯的”，故得證．考點十一對數的運算性質26．（2022?浙江）已知，，則A．25 B．5 C． D．【解析】由，，可得，則，故選：．考點十二對數值大小的比較27．（2022?新高考Ⅰ）設，，，則A． B． C． D．【解析】構造函數，，則，，當時，，時，，單調遞減；時，，單調遞增，在處取最小值（1），，且，，，；，，，；設，則，令，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，，當時，，當時，，單調遞增，，，，．故選：．28．（2021?新高考Ⅱ）已知，，，則下列判斷正確的是A． B． C． D．【解析】，，．故選：．考點十三反函數29．（2021?上海）已知，則（1）．【解析】因為，令，即，解得，故（1）．故答案為：．30．（2020?上海）已知函數，是的反函數，則．【解析】由，得，把與互換，可得的反函數為．故答案為：．考點十四函數與方程的綜合運用31．（2019?浙江）設，，函數若函數恰有3個零點，則A．， B．， C．， D．，【解析】當時，，得；最多一個零點；當時，，，當，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當，即時，令得，函數遞增，令得，，函數遞減；函數最多有2個零點；根據題意函數恰有3個零點函數在上有一個零點，在，上有2個零點，如右圖：且，解得，，．，故選：．32．（2019?上海）已知，與軸交點為，若對于圖象上任意一點，在其圖象上總存在另一點、異于，滿足，且，則．【解析】由題意，可知：令，解得：，點的坐標為：，．則．大致圖象如下：由題意，很明顯、兩點分別在兩個分段曲線上，不妨設點在左邊曲線上，點在右邊曲線上．設直線的斜率為，則．聯立方程：，整理，得：．．，．再將代入第一個方程，可得：．點的坐標為：，．．，直線的斜率為，則．同理類似求點的坐標的過程，可得：點的坐標為：．，及的任意性，可知：，解得：．故答案為：．33．（2019?上海）已知，．（1）當時，求不等式的解集；（2）若在，時有零點，求的取值范圍．【解析】（1）．當時，．所以：轉換為：，即：，解得：．故：．（2）函數在，時，有零點，即函數在該區間上有解，即：，即求函數在，上的值域，由于：在，上單調遞減，故：，，所以：，故：考點十五根據實際問題選擇函數類型34．（2020?山東）基本再生數與世代間隔是新冠肺炎的流行病學基本參數．基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：描述累計感染病例數隨時間（單位：天）的變化規律，指數增長率與，近似滿足．有學者基于已有數據估計出，．據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天【解析】把，代入，可得，，當時，，則，兩邊取對數得，解得．故選：．35．【多選】（2023?新高考Ⅰ）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動力汽車10電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，，，則A． B． C． D．【解析】由題意得，，，，，，，可得，正確；，錯誤；，正確；，，正確．故選：．36．（2023?上海）為了節能環保、節約材料，定義建筑物的“體形系數”，其中為建筑物暴露在空氣中的面積（單位：平方米），為建筑物的體積（單位：立方米）．（1）若有一個圓柱體建筑的底面半徑為，高度為，暴露在空氣中的部分為上底面和側面，試求該建筑體的“體形系數”；（結果用含、的代數式表示）（2）定義建筑物的“形狀