北京歷年高考文科數學導數題匯總(2008-2016)word版

1.（2008年北京第17題）已知函數f(x)=x^3+ax^2+3bx+c(b≠0)，且g(x)=f(x)^2是奇函數。（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求函數f(x)的單調區間。解析：（Ⅰ）因為g(x)是奇函數，所以f(x)也是奇函數，即f(-x)=-f(x)。將函數f(x)帶入g(x)=f(x)^2中，得到g(x)=x^6+2ax^5+6bx^4+2acx^3+(3a^2+6c)b^2x^2+2abcx+c^2。因為g(x)是奇函數，所以g(-x)=-g(x)，即：-x^6+2ax^5-6bx^4-2acx^3+(3a^2+6c)b^2x^2-2abcx+c^2=-x^6-2ax^5+6bx^4-2acx^3+(3a^2+6c)b^2x^2+2abcx+c^2化簡得：4ax^5+4acx^3-4abcx=0即：4x(ax^4+acx^2-bc)=0因為b≠0，所以ax^4+acx^2-bc=0，即a(x^2+c/a)^2=bc，因為a>0，所以bc>0。因為函數f(x)是奇函數，所以f'(0)=0，即3a=0，所以a=0。代入ax^4+acx^2-bc=0中得到c=0。所以a=0，c=0。（Ⅱ）f'(x)=3x^2+2ax+3b，f''(x)=6x+2a。因為a=0，所以f'(x)=3x^2+3b，f''(x)=6x。當x<0時，f''(x)<0，所以f'(x)在(-∞,0)單調遞減，在(0,∞)單調遞增。當b>0時，f'(0)<0，所以f(x)在(-∞,0)單調遞減，在(0,∞)單調遞增。當b<0時，f'(0)>0，所以f(x)在(-∞,0)單調遞增，在(0,∞)單調遞減。所以函數f(x)的單調區間為(-∞,0)和(0,∞)。2.(2009年北京18題)設函數f(x)=x^3-3ax+b(a≠0)。（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處與直線y=8相切，求a,b的值；（Ⅱ）求函數f(x)的單調區間與極值點。解析：（Ⅰ）因為曲線y=f(x)在點(2,f(2))處與直線y=8相切，所以f(2)=8且f'(2)=0。代入函數f(x)中得到8=8-12a+b，即b=12a。又因為f'(x)=3x^2-3a，所以f'(2)=0，即12-3a=0，所以a=4。代入b=12a中得到b=48。所以a=4，b=48。（Ⅱ）f'(x)=3x^2-3a，f''(x)=6x。當a>0時，f'(0)<0，所以f(x)在(-∞,0)單調遞減，在(0,∞)單調遞增。當a<0時，f'(0)>0，所以f(x)在(-∞,0)單調遞增，在(0,∞)單調遞減。f'(x)=0時，即3x^2-3a=0，所以x=±√a。因為f''(x)=6x，所以當x=√a時，f''(x)>0，所以x=√a是函數f(x)的極小值點；當x=-√a時，f''(x)<0，所以x=-√a是函數f(x)的極大值點。所以函數f(x)的單調區間為(-∞,-√a)和(√a,∞)，極大值點為-x=√a，極小值點為x=√a。3.(2010年北京第18題)設函數f(x)=(x-1)(x-4)(x-a)的兩個根分別為1，4。（Ⅰ）當a=3且曲線y=f(x)過原點時，求f(x)的解析式；（Ⅱ）若f(x)在(-∞,+∞)無極值點，求a的取值范圍。解析：（Ⅰ）因為函數f(x)的兩個根分別為1，4，所以f(x)=(x-1)(x-4)(x-a)=x^3-(5+a)x^2+(6+4a)x-4a。因為曲線y=f(x)過原點，所以f(0)=0，即-4a=0，所以a=0。代入函數f(x)中得到f(x)=x^3-5x^2+6x。（Ⅱ）因為f(x)在(-∞,+∞)無極值點，所以f'(x)=0的解的個數為0或3。因為f(x)=x^3-(5+a)x^2+(6+4a)x-4a，所以f'(x)=3x^2-2(5+a)x+6+4a。當f'(x)=0的解的個數為0時，即當4(5+a)^2-4*3*(6+4a)<0時，即a<3/2。當f'(x)=0的解的個數為3時，即當4(5+a)^2-4*3*(6+4a)>0時，即a>3/2。所以a的取值范圍為a<3/2或a>3/2。4.（2011年北京第18題）已知函數f(x)=(x-k)e。（Ⅰ）求f(x)的單調區間；（Ⅱ）求f(x)在區間[0,1]上的最小值。解析：（Ⅰ）因為函數f(x)=(x-k)e，所以f'(x)=e(x-k)，f''(x)=e。當e>0時，f'(x)>0，所以函數f(x)在(-∞,k)單調遞減，在(k,+∞)單調遞增。當e<0時，f'(x)<0，所以函數f(x)在(-∞,k)單調遞增，在(k,+∞)單調遞減。所以函數f(x)的單調區間為(-∞,k)和(k,+∞)。（Ⅱ）因為函數f(x)=(x-k)e，在區間[0,1]上的最小值為f(1)或f(0)。當k≤0時，f(1)=(1-k)e≥0，f(0)=(-k)e≥0，所以f(x)在區間[0,1]上的最小值為0。當k>0時，f(1)=(1-k)e≤0，f(0)=(-k)e≥0，所以f(x)在區間[0,1]上的最小值為f(1)=-ke^(1-k)。5.（2012年北京第18題）已知函數f(x)=ax+1（a>0），g(x)=x+bx。（Ⅰ）若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值；（Ⅱ）當a=3,b=-9時，若函數f(x)+g(x)在區間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍。解析：（Ⅰ）因為曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點（1，c）處具有公共切線，所以f(1)=g(1)=c，f'(1)=g'(1)。代入函數f(x)和g(x)中得到a+1=1+b，a=b。所以a=1，b=1。（Ⅱ）因為f(x)+g(x)=(a+1)x+(b+1)，所以當a=3，b=-9時，f(x)+g(x)=4x-8。因為f(x)+g(x)在區間[k,2]上的最大值為28，所以當4k-8=28時，即k=9。所以k的取值范圍為k≥9。6.（2013年北京第18題）已知函數f(x)=x+xsinx+cosx（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切，求a與b的值；（Ⅱ）若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同的交點，求b的取值范圍。解析：（Ⅰ）因為曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切，所以f(a)=b，f'(a)=0。代入函數f(x)中得到a+asin(a)+cos(a)=b，1+acos(a)-asin(a)=0。所以a=tan(a)。因為函數f(x)=x+xsinx+cosx在(0,π/2)單調遞增，所以方程a=tan(a)在(0,π/2)只有一個解。所以a≈1.165，b=a+asin(a)+cos(a)≈2.319。（Ⅱ）因為曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同的交點，所以方程f(x)=b有兩個不同的解。因為函數f(x)=x+xsinx+cosx在(0,π/2)單調遞增，所以方程f(x)=b在(0,π/2)上只有一個解。所以b的取值范圍為f(0)<b<f(π/2)=π/2+1。7.（2014年北京第20題）已知函數f(x)=2x^3-3x。（Ⅰ）求f(x)在區間[-2,1]上的最大值；（Ⅱ）若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍；（Ⅲ）問過點A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切？（只需寫出結論）解析：（Ⅰ）因為函數f(x)=2x^3-3x在[-2,1]上連續可導，所以f(x)在[-2,1]上的最大值為f(-2),f(1),0中的最大值。因為f(-2)=-16,f(1)=-1,0是函數f(x)的零點，所以f(x)在[-2,1]上的最大值為0。（Ⅱ）因為過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，所以點P(1,t)是函數f(x)的拐點。因為f''(x)=12x，所以f''(1)=12>0，所以點P(1,t)是函數f(x)的極小值點。因為過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切，所以點P(1,t)是函數f(x)的切點。因為函數f(x)的極小值點為x=1，需要進一步說明這三個零點是指什么，比如是指某個函數的三個零點。在這個前提下