2022年福建省福州市長慶中學高三數學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數的圖象大致為參考答案：A本題考查三角函數的圖像和奇函數的圖像性質。首先由為奇函數，得的圖象關于原點對稱，排除C、D，又由時，知，所以選A.2.已知數列{}對任意的有成立，若，則等于（

）（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A3.函數的圖象為，①圖象關于直線對稱；②函數在區間內是增函數；③由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象，以上三個論斷中，正確論斷的個數是

（

）A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：C略4.已知函數，則A．在（0,2）單調遞增 B．在（0,2）單調遞減C．y=的圖像關于直線x=1對稱 D．y=的圖像關于點（1,0）對稱參考答案：C5.如圖是一名籃球運動員在最近6場比賽中所得分數的莖葉圖，則下列關于該運動員所得分數的說法錯誤的是（）A．中位數為14 B．眾數為13 C．平均數為15 D．方差為19參考答案：D【考點】眾數、中位數、平均數．【分析】根據莖葉圖中的數據，求出這組數據的中位數、眾數、平均數和方差即可．【解答】解：根據莖葉圖中的數據知，該組數據的中位數是=14，A正確；眾數是13，B正確；平均數是=×（8+13+13+15+20+21）=15，C正確；平方差是s2=×[（8﹣15）2+（13﹣15）2×2+（15﹣15）2+（20﹣15）2+（21﹣15）2]≈19.7，D錯誤．故選：D．6.在直角坐標系xOy中，P，Q為單位圓O上不同的兩點，P的橫坐標為，若，則Q的橫坐標是（

）A.－1

B．或

C．

D．或參考答案：B根據三角函數的定義，，先檢驗，顯然不符合題意，排除D；再檢驗，符合題意，排除C；最后檢驗，符合題意，故選:B7.已知函數f（x）=，若函數y=f（x）﹣kx有3個零點，則實數k的取值范圍是（）A．（﹣1，1） B．（1，+∞） C．[2，+∞） D．[1，2）參考答案：B【考點】函數零點的判定定理．【分析】由f（0）=ln1=0，可得：x=0是函數y=f（x）﹣kx的一個零點；當x＜0時，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，可得：k＞；當x＞0時，函數f（x）=ex﹣1，由f'（x）∈（1，+∞），進而可得k＞1；綜合討論結果，可得答案．【解答】解：∵函數f（x）=，∴f（0）=ln1=0，∴x=0是函數y=f（x）﹣kx的一個零點，當x＜0時，由f（x）=kx，得﹣x2+x=kx，即﹣x+=k，解得x=﹣k，由x=﹣k＜0，解得k＞，當x＞0時，函數f（x）=ex﹣1，f'（x）=ex∈（1，+∞），∴要使函數y=f（x）﹣kx在x＞0時有一個零點，則k＞1，∴k＞1，即實數k的取值范圍是（1，+∞），故選：B．8.已知函數f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函數，若對于任意的x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2]時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2010)＋f(2011)的值為

A．－2

B．－1

C．1

D．2參考答案：C∵f(x)是偶函數，∴f(－2010)＝f(2010)．∵當x≥0時，f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期為2的周期函數，∴f(－2010)＋f(2011)＝f(2010)＋f(2011)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝0＋1＝1．源9.已知向量a=(—2，4)，b=(—1，m).若a//b，則實數m的值為(A)-(B)-2 (C)2 (D)參考答案：C略10.下列函數中,在上為增函數的是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B

解析：，B中的恒成立二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數列中，首項公差若某學生對其中連續10項進行求和，在遺漏掉一項的情況下，求得余下9項的和為185，則此連續10項的和為__________________．參考答案：200【測量目標】邏輯思維能力/具有對數學問題進行觀察、分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷和論證的能力.【知識內容】方程與代數/數列與數學歸納法/等差數列.【試題分析】等差數列中的連續10項為，遺漏的項為且則，化簡得，所以，，則連續10項的和為,故答案為200.12.若數列{an}的通項公式是an=，前n項和為Sn，則Sn的值為

．參考答案：12【考點】極限及其運算．【分析】利用無窮等比數列的求和公式，即可得出結論．【解答】解：∵數列{an}的通項公式是an=，前n項和為Sn，∴Sn=4+8+=12．故答案為：12．13.已知集合，則

參考答案：14.已知拋物線的焦點為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點，且，則

.參考答案：615.設，的所有非空子集中的最小元素的和為，則=________．參考答案：略16.已知函數的圖象與函數y=kx+2的圖象沒有交點，則實數k的取值范圍是．參考答案：[﹣，0]略17.設f(x)在R上是奇函數，且，當時，，則____________.參考答案：【分析】由，結合f(x)是奇函數，求出f(x)周期，根據時，，即可求得.【詳解】，，即是定義是上的奇函數，①故，即②故f(x)周期為4又當時，故故答案為：.【點睛】本題考查函數周期性的應用，重點在于得出函數的周期，難點在于對所求式子的化簡，屬中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表(單位：輛)：

轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．(Ⅰ)求z的值；(Ⅱ)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(Ⅲ)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分x的值如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0，8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數xi(1≤i≤8，i∈N)，設樣本平均數為，求≤0.5的概率．參考答案：(Ⅰ)設該廠這個月共生產轎車n輛，由題意得，所以n＝2000.則z＝2000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2分)(Ⅱ)設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意，得a＝2.(4分)因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個．故P(E)＝，即所求概率為.(8分)(Ⅲ)樣本平均數×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.設D表示事件“從樣本中任取一數，該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0共6個，所以P(D)＝，即所求概率為.(12分)19.在直角坐標系，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓的極坐標方程為．（1）求的參數方程；（2）設點在上，在處的切線與直線垂直，根據（1）中你得到的參數方程，確定的坐標．參考答案：（1）（為參數，）（2）

可得的參數方程為（為參數，）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）設，由（1）知是以為圓心，1為半么的上半圓．因為在點處的切線與垂直，所以直線與的斜率相同，．故的直角坐標為，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考點：極坐標方程化為直角坐標方程，直線與圓相切20.設數列的前和為,滿足，且.(1)求的值;(2)求數列的通項公式;參考答案：

21.（本小題滿分13分）

如圖，平面四邊形的四個頂點都在球的表面上， 為球的直徑，為球面上一點，且平面 ，，點為的中點.(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.參考答案：解：(1)證明：且，…………2分 則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.

…………6分 (2)以為原點，方向為軸，以平面內過點且垂直于方向為軸 以方向為軸，建立如圖所示坐標系. 則，，， ，，…………8分 由，， 可求得平面PBC的法向量為 由，， 可求得平面PAD的法向量為 則， 因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

…………13分22.某電視臺組織部分記者，用“10分制”隨機調查某社區居民的幸福指數，現從調查人群中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福指數的得分（以小數點的前一位數字為莖，小數點后的一位數字為葉）：（1）指出這組數據的眾數和中位數；（2）若幸福指數不低于9分，則稱該人的幸福指數為“極幸福”；若幸福指數不高于8分，則稱該人的幸福指數為“不夠幸福”．現從這16人中幸福指數為“極幸福”和“不夠幸福”的人中任意選取2人，（i）請列出所有選出的結果；（ii）求選出的兩人的幸福指數均為“極幸福”的概率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（1）由莖葉圖能求出眾數和中位數．（2）（i）現從這16人中幸福指數為“極幸福”和“不夠幸福”的人中任意選取2人，幸福指數為“不夠幸福”的兩人設為A，B，幸福指數為“極幸福”的4人設為a，b，c，d，利用列舉法能求出所有結果．（ii）利用列興舉法求出選出的兩人的幸福指數均為“極幸福”的基本事件個數，由此能求出選出的兩人的幸福指數均為“極幸福”的概率．【解答】解：（1）由莖葉圖得眾數是：8.6，中位數是：=8.75．（2）（i）現從這16人中幸福指數為“極幸福”和“不夠幸福”的人中任意選取2人