第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算必備知識·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養(yǎng)作業(yè)·提技能素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(直觀想象)2．理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識處理有關(guān)向量共線問題.(邏輯推理)1．要進(jìn)一步深化類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算，加強(qiáng)對向量的數(shù)乘運(yùn)算的理解，并且感受兩者的差異.2．類比三角函數(shù)伸縮變換的特征感受向量的數(shù)乘運(yùn)算中向量伸縮的含義，進(jìn)一步理解兩個平面向量共線的含義.3．進(jìn)一步深化對線性運(yùn)算幾何意義的理解，把握平面幾何中位置關(guān)系與向量共線之間的聯(lián)系.必備知識·探新知向量的數(shù)乘運(yùn)算知識點(diǎn)1向量數(shù)乘|λ||a|

相同相反2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么(1)λ(μa)＝________.(2)(λ＋μ)a＝_________.(3)λ(a＋b)＝_________.特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.(λμ)a

λa＋μa

λa＋λb

3．向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____________.λμ1a±λμ2b

[知識解讀]

(1)λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小|λ|倍.(2)λ是實(shí)數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.(3)注意向量數(shù)乘的特殊情況：①若λ＝0，則λa＝0；②若a＝0，則λa＝0．向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使________.向量共線定理知識點(diǎn)2b＝λa

關(guān)鍵能力·攻重難(2)λ是實(shí)數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量.[解析](1)①③④正確，②錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.2．利用向量共線求參數(shù)的方法2．類比三角函數(shù)伸縮變換的特征感受向量的數(shù)乘運(yùn)算中向量伸縮的含義，進(jìn)一步理解兩個平面向量共線的含義.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.②若a＝0，則λa＝0．②若a＝0，則λa＝0．(3)注意向量數(shù)乘的特殊情況：3．進(jìn)一步深化對線性運(yùn)算幾何意義的理解，把握平面幾何中位置關(guān)系與向量共線之間的聯(lián)系.(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.[分析]運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律求解.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時忽略圖形的性質(zhì)向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使________.[歸納提升]解決此類問題的思路一般是將所表示向量置于某一個三角形內(nèi)，用減法法則表示，然后逐步用已知向量代換表示.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.①若λ＝0，則λa＝0；進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時忽略圖形的性質(zhì)(2)λ是實(shí)數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量.若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值.[誤區(qū)警示]在根據(jù)平面幾何圖形進(jìn)行化簡、證明時，要準(zhǔn)確應(yīng)用平面幾何圖形的性質(zhì).2．利用向量共線求參數(shù)的方法而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.1．了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.[分析]

運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律求解.題型探究

題型一向量的線性運(yùn)算典例1[歸納提升]

向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在向量線性運(yùn)算中也可以使用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).C

A

[解析]

(1)①③④正確，②錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.題型二用向量的線性運(yùn)算表示未知向量典例2[歸納提升]

解決此類問題的思路一般是將所表示向量置于某一個三角形內(nèi)，用減法法則表示，然后逐步用已知向量代換表示.D

題型三共線向量定理及其應(yīng)用典例3(2)∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，∵a、b是不共線的兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0．∴k＝±1．2．利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0).而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值.2．類比三角函數(shù)伸縮變換的特征感受向量的數(shù)乘運(yùn)算中向量伸縮的含義，進(jìn)一步理解兩個平面向量共線的含義.特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.(2)λ是實(shí)數(shù)，a是向量，它們的積λa仍然是向量.(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.3．進(jìn)一步深化對線性運(yùn)算幾何意義的理解，把握平面幾何中位置關(guān)系與向量共線之間的聯(lián)系.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時忽略圖形的性質(zhì)(3)λ(a＋b)＝_________.1．了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.[解析](1)①③④正確，②錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0．∴k＝±1．(2)(λ＋μ)a＝_________.特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.(2)(λ＋μ)a＝_________.∵a、b是不共線的兩個非零向量，實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使________.(3)λ(a＋b)＝_________.[歸納提升]解決此類問題的思路一般是將所表示向量置于某一個三角形內(nèi)，用減法法則表示，然后逐步用已知向量代換表示.[知識解讀](1)λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小|λ|倍.②若a＝0，則λa＝0．2．利用向量共線求參數(shù)的方法對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____________.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時忽略圖形的性質(zhì)易錯警示

典例4進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時忽略圖形的性質(zhì)[誤區(qū)警示]

在根據(jù)平面幾何圖形進(jìn)行化簡、證明時，要準(zhǔn)確應(yīng)用平面幾何圖形的性質(zhì).應(yīng)根據(jù)題意判斷所給圖形是否是特殊圖形，不能盲目運(yùn)用特殊圖形的性質(zhì)進(jìn)行求解.課堂檢測·固雙基特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．利用向量共線求參數(shù)的方法1．了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時忽略圖形的性質(zhì)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.2．利用向量共線求參數(shù)的方法對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____________.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時忽略圖形的性質(zhì)∵a、b是不共線的兩個非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0．∴k＝±1．(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.(2)(λ＋μ)a＝_________.1．了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.實(shí)數(shù)與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義.2．理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算.[知識解讀](1)λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴(kuò)大或縮小|λ|倍