1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞【情境探究】問題1.在某個城市中有一位理發師,他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發技藝十分高超,譽滿全城.我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉.我對各位表示熱誠歡迎!”來找他刮臉的人絡繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人.可是,有一天,這位理發師從鏡子里看見自己的胡子長了,他本能地抓起了剃刀,你們說他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬于“不給自己刮臉的人”,他就要給自己刮臉,而如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人”,他就不該給自己刮臉.這就是著名的“羅素理發師悖論”問題.必備知識生成(1)文中理發師說:“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉”.對“所有”這一詞語,你還能用其他詞語代替嗎?提示:任意一個,全部,每個.(2)上述詞語都有什么含義?提示:表示某個范圍內的整體或全部.問題2.觀察語句①②:①存在一個x∈R,使3x+1=5;②至少有一個x∈Z,x能被2和3整除.(1)①②是命題嗎?若是命題,判斷其真假.提示:是,都為真命題.(2)①②中的“存在一個”“至少有一個”有什么含義?提示:表示總體中“個別”或“一部分”.(3)你能寫出一些與問題2中具有相同意義的詞語嗎?提示:某些,有的,有些.【知識生成】(1)短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做_________,并用符號“___”表示.(2)含有_________的命題叫做全稱量詞命題,通常將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x),…表示,變量x的取值范圍用M表示,那么全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立”可用符號簡記為____________.全稱量詞?全稱量詞?x∈M,p(x)(1)短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做_________,并用符號“___”表示.(2)含有_________的命題,叫做存在量詞命題,存在量詞命題“存在M中的元素x,使p(x)成立”,可用符號簡記為“____________”.存在量詞?存在量詞?x∈M,p(x)關鍵能力探究探究點一全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷【典例1】判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,并用符號“?”或“?”表示下列命題:(1)自然數的平方大于或等于零.(2)存在實數x,滿足x2≥2.(3)有些平行四邊形的對角線不互相垂直.(4)存在實數a,使函數y=ax+b的值隨x的增大而增大.【思維導引】用全稱量詞命題和存在量詞命題概念判定,規范“?”和“?”的寫法.【解析】(1)是全稱量詞命題,表示為?x∈N,x2≥0.(2)是存在量詞命題,表示為?x∈R,x2≥2.(3)是存在量詞命題,表示為?四邊形是平行四邊形,使四邊形的對角線不互相垂直.(4)是存在量詞命題,表示為?a∈R,函數y=ax+b的值隨x的增大而增大.【類題通法】判斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的步驟(1)判斷語句是否為命題,若不是命題,就當然不是全稱量詞命題或存在量詞命題.(2)若是命題,再分析命題中所含的量詞,含有全稱量詞的命題是全稱量詞命題,含有存在量詞的命題是存在量詞命題.(3)當命題中不含量詞時,要注意理解命題含義的實質.【定向訓練】判斷下列命題是全稱量詞命題,還是存在量詞命題.(1)凸多邊形的外角和等于360°.(2)矩形都是正方形.(3)有些素數的和仍是素數.(4)若一個四邊形是菱形,則這個四邊形的對角線互相垂直.【解析】(1)可以改寫為:所有的凸多邊形的外角和等于360°,故為全稱量詞命題.(2)可以改寫為:所有的矩形都是正方形,故為全稱量詞命題.(3)含有存在量詞“有些”,故為存在量詞命題.(4)若一個四邊形是菱形,也就是所有的菱形,故為全稱量詞命題.

【補償訓練】用符號“?”與“?”表示下面含有量詞的命題,并判斷其真假.(1)存在一對整數x,y,使2x+4y=3.(2)存在一個無理數,它的立方是有理數.【解析】(1)?x,y∈Z,2x+4y=3.由2x+4y=3,得x+2y=,若x,y∈Z,則x+2y也是整數,不可能等于,所以,存在量詞命題“存在一對整數x,y,使2x+4y=3”是假命題.(2)?x∈{無理數},x3∈Q.是無理數,()3=3是有理數.所以,存在量詞命題“存在一個無理數,它的立方是有理數”是真命題.探究點二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷【典例2】指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題,并判斷其真假.(1)在平面直角坐標系中,任意有序實數對(x,y)都對應一點.(2)存在一個實數,它的絕對值不是正數.(3)對任意實數x1,x2,若x1<x2,都有(4)存在一個實數x,使得x2+2x+3=0.【思維導引】用概念判斷是全稱量詞命題還是存在量詞命題;判斷真假時,對全稱量詞命題和存在量詞命題要嚴格按照方法步驟進行.【解析】(1)(3)是全稱量詞命題,(2)(4)是存在量詞命題.(1)在平面直角坐標系中,任意有序實數對(x,y)與平面直角坐標系中的點是一一對應的,所以該命題是真命題.(2)存在一個實數0,它的絕對值不是正數,所以該命題是真命題.(3)存在x1=-5,x2=-3,x1<x2,但(-5)2>(-3)2,所以該命題是假命題.(4)由于x∈R,則x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使得x2+2x+3=0的實數x不存在,所以該命題是假命題.【類題通法】全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立;但要判定全稱量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個x=x0,使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).(2)判斷存在量詞命題“?0∈M,使p(x0)成立,則該命題是真命題;若不存在x0∈M,使p(x0)成立,則該命題是假命題.【定向訓練】判斷下列命題的真假.(1)對每一個無理數x,x2也是無理數.(2)末位是零的整數,可以被5整除.(3)有些整數只有兩個正因數.【解析】(1)因為是無理數,但()2=2是有理數,所以全稱量詞命題“對每一個無理數x,x2也是無理數”是假命題.(2)因為每一個末位是零的整數,都能被5整除,所以全稱量詞命題“末位是零的整數,可以被5整除”是真命題.(3)由于存在整數3只有兩個正因數1和3,所以存在量詞命題“有些整數只有兩個正因數”是真命題.探究點三由全稱量詞(存在量詞)命題的真假確定參數的范圍【典例3】若命題“對任意x≥-1的實數,都有x2-2ax+2≥a”是真命題,求實數a的取值范圍.【思維導引】對于全稱量詞命題“任意x∈M,a>f(x)(或a<f(x))”為真的問題,實質就是不等式恒成立問題,通常轉化為求函數f(x)的最大值(或最小值),即a>f(x)max(或a<f(x)min).【解析】方法一:由題意,任意x≥-1,令f(x)=x2-2ax+2,則f(x)≥a恒成立,所以f(x)=(x-a)2+2-a2≥a可轉化為任意x≥-1,f(x)min≥a恒成立,而任意x≥-1,f(x)min=由f(x)的最小值f(x)min≥a,知{a|-3≤a≤1}.方法二:x2-2ax+2≥a,即x2-2ax+2-a≥0,令f(x)=x2-2ax+2-a,所以全稱量詞命題轉化為任意x≥-1,f(x)≥0恒成立,所以Δ≤0或即-2≤a≤1或-3≤a<-2.所以-3≤a≤1.綜上,所求實數a的取值范圍是.【類題通法】應用全稱量詞命題與存在量詞命題求參數范圍的兩類題型(1)全稱量詞命題的常見題型是“恒成立”問題,全稱量詞命題為真時,意味著命題對應的集合中的每一個元素都具有某種性質,所以可以利用代入體現集合中相應元素的具體性質中求解;也可以根據函數等數學知識來解決.(2)存在量詞命題的常見題型是以適合某種條件的結論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表述.解答這類問題,一般要先對結論作出肯定存在的假設,然后從肯定的假設出發,結合已知條件進行推理證明,若推出合理的結論,則存在性隨之解決;若導致矛盾,則否定了假設.【定向訓練】1.若存在x∈R,使ax2+2x+a<0,則實數a的取值范圍是(

)A.a<1 B.a≤1C.-1<a<1 D.-1<a≤1【解析】選A.當a≤0時,顯然存在x∈R,使ax2+2x+a<0;當a>0時,由Δ=4-4a2>0,解得-1<a<1,故0<a<1.綜上所述,實數a的取值范圍是a<1.2.已知命題p:?x∈(2,3),x2+5>ax是假命題,則實數a的取值范圍是(

)【解析】選A.若?x∈(2,3),x2+5>ax恒成立,則a<,x∈(2,3).因為f(x)=x+在(2,)上是減函數,在(,3)上為增函數,所以函數f(x)的最小值是f()=2,則a<2,因為命題p:?x∈(2,3),x2+5>ax是假命題,所以a≥2,實數a的取值范圍是【補償訓練】

1.若命題“?x∈R,x2-2x+m≤0”是假命題,則m的取值范圍是________.

【解析】因為命題“?x∈R,x2-2x+m≤0”是假命題,所以?x∈R,x2-2x+m>0為真命題,即Δ=4-4m<0,得m>1.答案:

2.命題“?x∈(-1,1),2x+a=0”是真命題,則a的取值范圍是________.

【解析】設f(x)=2x+a,則f(x)=2x+a在(-1,1)內有零點,所以(a+2)(a-2)<0,解得-2<a<2.答案:-2<a<23.已知函數f(x)=x2-2x+5.(1)是否存在實數m,使不等式m+f(x)>0對于任意x∈R恒成立,并說明理由.(2)若存在一個實數x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求實數m的取值范圍.【解題指南】可考慮用分離參數法,轉化為m>-f(x)恒成立和存在一個x0,使m>f(x0)成立.【解析】(1)不等式m+f(x)>0可化為m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4對于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.故存在實數m使不等式m+f(x)>0對于任意x∈R恒成立,此時需m>-4.(2)不等式m-f(x)>0可化為m>f(x).若存在一個實數x0使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min.又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m>4.所以所求實數m的取值范圍是全稱量詞與存在量詞核心知識方法總結易錯提醒核心素養全稱量詞命題存在量詞命題邏輯推理：通過具體命題真假的判斷，培養邏輯推理的核心素養（1）注意全稱量詞命題和存在量詞命題的自然語言與符號語言的轉化（2）注意省略量詞的命題的真假判斷（3）對于“至多”“至少”型的命題，多采用逆向思維的方法處理判斷全稱、存在量詞命題真假的方法:（1）若全稱量詞命題為真，則給定集合中每一個元素x使p(x)為真，若為假命題，則只需舉一反例即可.（2）若存在量詞命題為真，則給定集合中只要有一個元素x使p(x)為真即可，否則為假命題.否定否定結論

課堂素養達標1.已知命題p:當1≤x≤2時,使得ex-a≥0.若p是真命題,則實數a的取值范圍為 (

)【解析】選B.命題p:當1≤x≤2時,使得ex-a≥0.所以a≤(ex)min=e,因為p是真命題,所以a≤e.則實數a的取值范圍為.2.下列命題是“?x∈R,x2>3”的另一種表述方法的是 (

)A.有一個x∈R,