第一講高等代數選講之多項式理論第1頁，課件共81頁，創作于2023年2月知識脈絡圖解重因式一元多項式概念最大公因式多項式的相等及運算帶余除法綜合除法余數定理多項式恒等及多項式函數的運算整除性因式分解方程的根不可約多項式因式分解唯一性定理數域多項式函數多元多項式概念多元多項式函數對稱多項式對稱多項式基本性質復數域上的因式分解實數域上的因式分解有理多項式不可約判定本原多項式求有理根實多項式根的性質代數學基本定理根與系數的關系第2頁，課件共81頁，創作于2023年2月重點、難點解讀這部分內容對多項式理論作了較深入、系統、全面地論述，內容可分為一元多項式與多元多項式兩大部分，以一元多項式理論為主。可歸納為以下四個方面：（1）一般理論：包括一元多項式的概念、運算、多項式相等、導數等基本性質。（2）整除理論：包括帶余除法、整除、最大公因式、互素的概念與性質。（3）因式分解理論：包括不可約多項式、因式分解、重因式、實系數與復系數多項式的因式分解、有理系數多項式不可約的判定等。（4）根的理論：包括多項式函數、多項式的根、代數基本定理、有理系數多項式的有理根求法、根與系數的關系等。第3頁，課件共81頁，創作于2023年2月一元多項式的內容十分豐富，重點是整除與因式分解的理論，最基本的結論是帶余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在學習的過程中，如能把握這兩個重點和三大基本定理，就能夠整體把握一元多項式的理論。對于多元多項式，則要理解元多項式、對稱多項式等有關概念，掌握對稱多項式表成初等對稱多項式的多項式的方法。第4頁，課件共81頁，創作于2023年2月一、數域的判定設P是至少含有兩個數（或包含0與1）的數集，如果P中任意兩個數的和、差、積、商（除數不為零）仍是P中的數，則稱P為一個數域。1、數域的概念2、數域的有關結論（1）所有的數域都包含有理數域，即有理數域是最小的數域。（2）在有理數域與實數域之間存在無窮多個數域；在實數域與復數域之間不存在其他的數域。例1、設P是一個數集，有非零數，且P關于減法、除法（除數不為零）封閉，證明P是一個數域。證因為，所以第5頁，課件共81頁，創作于2023年2月有即P對加法封閉。若中有一個為零，則若，則從而P對乘法封閉。綜上所述，P關于加法、減法、乘法、除法都封閉，所以P是一個數域。例2、證明：實數域與復數域之間不存在其他的數域。證設P是任意一個包含R且不同于R的數域，且P還包含至少一個復數。由于P是一個數域，所以但從而對任意實數都有，即P包含了全體復數。故P=C。第6頁，課件共81頁，創作于2023年2月二、一元多項式的概念1、一元多項式的概念形式表達式稱為數域P上文字的一元多項式，其中是非負整數。當時，稱多項式的次數為記為2、多項式的相等關系設則第7頁，課件共81頁，創作于2023年2月3、次數公式（1）（2）4、一元多項式環所有系數在數域P中的一元多項式全體稱為數域P上的一元多項式環，記為，稱P為的系數域。5、一元多項式環的有關結論多項式的加、減、乘運算對封閉，且多項式的加法、乘法均滿足交換律與結合律，乘法對加法滿足分配率，乘法還滿足消去律。6、注意零多項式和另次多項式的區別。第8頁，課件共81頁，創作于2023年2月例1、令求的奇次項系數之和。解法1由于兩式相乘得由于與無奇次項，從而不可能有奇次項，故其奇次項系數之和等于零。法2因為，所以是偶函數，于是的奇次項系數全為零。故其奇次項系數之和等于零。第9頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2、設為一多項式，若則或證若，則證畢。若，由于所以只能是零次多項式。令，又因為所以，此即第10頁，課件共81頁，創作于2023年2月例3設是非零實系數多項式，是一個正整數，且，則為零次多項式或者。第11頁，課件共81頁，創作于2023年2月三、多項式的帶余除法及整除1、帶余除法定理（帶余除法）設則存在唯一的多項式使其中或2、整除的概念設，如果存在多項式使，則稱整除。3、整除的充分必要條件如果，則的充分必要條件是用除所得的余式第12頁，課件共81頁，創作于2023年2月注多項式的整除性是中元素間的一種關系，不是多項式的運算。整除概念與帶余除法有密切的聯系，我們不能用帶余除法來定義整除，因為這樣定義整除，將會遺漏零多項式整除零多項式的情形。4、整除的性質（1）任一多項式一定整除它自身，即（2）（3）零次多項式能整除任一多項式；（4）零次多項式只能被零次多項式整除；（5）零多項式只能整除零多項式；（6）如果，則，其中為非零常數，為常數；（7）如果，且，則任意多項式都整除零多項式。第13頁，課件共81頁，創作于2023年2月（8）如果，又為任意多項式，則（9）如果，且，則其中為任意常數。（10）多項式有相同的因式與倍式；（11）兩個多項式之間的整除關系不因系數域的擴大而改變。5、綜合除法設以除所得的商，及余式則比較兩端同次冪的系數得第14頁，課件共81頁，創作于2023年2月6、判定整除的方法為證明一個多項式整除一個多項式，如果其系數已具體給出時，通常采用帶余除法和待定系數法。如果的系數未具體給出時，可采用以下方法：現設出的全部復根，并假設無重根，即其中互異。再證則有從而這是因為兩兩互素，故因式分解法：直接將因式分解，得出，當然這種情況只有在特殊情況下才能做到。驗根法：第15頁，課件共81頁，創作于2023年2月例1、將多項式按的方冪展開。解法1應用綜合除法，即對于次多項式，用逐次除所得的商，得法2應用泰勒公式，由泰勒公式得從而第16頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2：設證明：第17頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2、若，問是否必有？若不成立，舉出反例。若成立，請說明理由。解成立。法1因為，所以，即從而，故存在，使得于是，此即法2有個不同的復根，設為則有，于是這表明都是的根，故第18頁，課件共81頁，創作于2023年2月例3、證明（是三個任意的正整數）。分析用帶余除法及待定系數法不易證明時，可以考慮采用因式定理來證明，即的充分必要條件是證可求得的根為所以，又由知，從而設則有第19頁，課件共81頁，創作于2023年2月故由因式定理知且，又因為且互素，從而即注本例證明中，是指在復數域C上，而命題本身可理解為在一般數域P上討論整除問題。這是因為整除的概念是在帶余除法基礎上定義的，而帶余除法所得的商及余式不隨系數域的擴大而改變，因此，上述多項式在P上與在C上整除是一致的。四、最大公因式的計算與證明1、最大公因式的概念設，如果滿足且，則稱為與的一個公因式；又如果與的任一公因式都能整除，則稱為與的一個最大公因式。第20頁，課件共81頁，創作于2023年2月1、最大公因式的概念設，如果滿足且，則稱為與的一個公因式；又如果與的任一公因式都能整除，則稱為與的一個最大公因式。四、最大公因式的計算與證明第21頁，課件共81頁，創作于2023年2月2、最大公因式的性質（1）中任意兩個多項式與一定有最大公因式。兩個零多項式的最大公因式是零多項式，它是唯一確定的。兩個不全為零的多項式的最大公因式總是非零多項式，它們之間只有常數因子的差別；最高次項系數為1的最大公因式是唯一確定的。（2）設如果有則與的最大公因式一定是與的最大公因式，而與的最大公因式也一定是與的最大公因式。特別地，有。（這也是用輾轉相除法求最大公因式的根據）第22頁，課件共81頁，創作于2023年2月（3）設，如果是與的最大公因式，則必有，使（4）最大公因式不因數域P的擴大而改變。2、求最大公因式的方法（1）輾轉相除法；（2）因式分解法如果求得與的典型分解式其中是首項系數為1的不可約多項式，為常數，為非零整數，令，則不唯一第23頁，課件共81頁，創作于2023年2月例1、證明：若，則證令由于所以若由于所以從而故由于的首項系數為1，故第24頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2、設不全為0，求證：（為正整數）證法1令，即證因為所以且①于是此即再由式①有從而存在，使得兩邊乘得由上式知故第25頁，課件共81頁，創作于2023年2月法2令，則且從而故有五、互素多項式的判定與證明1、互素多項式的概念如果的最大公因式為非零常數，或，則稱與互素。注①零多項式與任一多項式都不互素。②若多項式互素，并不要求其中任意兩個多項式都互素。第26頁，課件共81頁，創作于2023年2月2、互素多項式的性質（1）設，則與互素的充分必要條件是，存在，使（2）如果，且，則（3）如果，且，則（4）如果，則3、判定互素多項式的方法主要利用互素的充分必要條件，即第27頁，課件共81頁，創作于2023年2月例1設與為數域F中兩個次數大于零的多項式，證明：若，則使其中，并且滿足這樣條件的是唯一的。第28頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2、設都是中的非零多項式，且這里，又若且。證明：不存在，且使①②證用反證法。若存在使式①成立，則用乘式①兩端，得因為，由式②有但，所以，這與矛盾。第29頁，課件共81頁，創作于2023年2月證必要性設，則例3、設與是數域P上兩個一元多項式，為給定的正整數。求證：的充分必要條件是其中，兩邊次方得故充分性設（1）若，則（2）若不全為零，，則令有，且于是第30頁，課件共81頁，創作于2023年2月由于所以存在，使得將上式代入得兩邊消去，得由上式得，但，故這樣繼續下去有，由于所以，其中為非零常數。故從而也是與的一個最大公因式。則有第31頁，課件共81頁，創作于2023年2月例：對任意非負整數，令證明：第32頁，課件共81頁，創作于2023年2月六、不可約多項式的判定與證明

1、不可約多項式的概念如果數域P上次數大于零的多項式不能表示成數域P上兩個次數比它低的多項式的乘積，則稱是數域P上的不可約多項式。注①零多項式與零次多項式既不能說是可約的，也不能說是不可約的。②多項式的可約性與多項式所在的數域密切相關。③互素多項式指的是上的兩個多項式之間的一種關系，而不可約多項式是某個多項式本身的一種特性，這是完全不同的兩個概念，但在討論問題時，互素多項式與不可約多項式的性質又是互相利用的，要學會靈活運用。第33頁，課件共81頁，創作于2023年2月

2、不可約多項式的性質（1）如果是數域P上的不可約多項式，則也是P上的不可約多項式，其中是P中的非零數。（2）如果是數域P上的不可約多項式，則對P上的任一多項式，必有或（3）如果是數域P上的不可約多項式，是P上的任意兩個多項式，若，則必有或（4）如果不可約多項式整除其中，則至少可以整除這些多項式中的某一個。3、不同數域上的不可約多項式在復數域上，不可約多項式只能是一次式；在實數域上，不可約多項式只能是一次式或判別式小于零的二次式；在有理數域上，存在任意次的不可約多項式。第34頁，課件共81頁，創作于2023年2月（2）愛森斯坦判別法；（1）對于2次和3次有理多項式，如果沒有有理根，則在有理數域上不可約，但當次數大于3時，結論不再成立。如沒有有理根，但它在有理數域上是可約的。4、有理系數多項式可約性判別設是一個整系數多項式如果存在素數，使則在有理數域上不可約。第35頁，課件共81頁，創作于2023年2月注意：愛森斯坦判別法只是給出了一個有理系數多項式不可約的充分條件，所以，如果找不到滿足條件的素數，則不能確定定多項式是否可約。為了擴大愛森斯坦判別法的使用范圍，有以下兩個結論結論1：令，則整系數多項式在有理數域上有相同的可約性。結論2：令，則整系數多項式在有理數域上有相同的可約性，其中第36頁，課件共81頁，創作于2023年2月例1、證明：有理系數多項式在有理數域上不可約的充分必要條件是，對任意有理數和，多項式在有理數域上不可約。證必要性已知不可約，假設在有理數域上可約，即其中是有理系數多項式，且次數小于的有理系數多項式，次數不變，且有次數，在上式中用代，所得各多項式仍為這說明在有理數域上可約，矛盾。故在有理數域上不可約。第37頁，課件共81頁，創作于2023年2月其中是有理數域上次數小于的多項式，由此可得這與不可約矛盾。故在有理數域上不可約。例2、設，其中是兩兩不同的整數。證明：在有理數域上不可約。證假設在有理數域上可約，則可以分解為兩個次數較低的整系數多項式之積，即充分性已知不可約。假設可約，設第38頁，課件共81頁，創作于2023年2月其中是整系數多項式，且由題設可得此時有或即總有可見多項式有個互異的根。但這與多項式在任一數域中的根的個數不超過多項式的次數相矛盾，所以在有理數域上不可約。第39頁，課件共81頁，創作于2023年2月例3、設是素數，為整數，而且，證明：沒有有理根。證令，則其中⑴⑵因為，即，則。且由，得將代入整理得矛盾。故第40頁，課件共81頁，創作于2023年2月⑶否則，即，利用，得，矛盾。由艾森斯坦因判別法知在Q上不可約，由于與在Q上有相同的可約性，故在有理數域上不可約。第41頁，課件共81頁，創作于2023年2月例4：設為有理數域上的次多項式，并且在有理數域上不可約，如果的一個根的倒數仍是

的根，證明：的每一個根的倒數都是的根。第42頁，課件共81頁，創作于2023年2月七、重因式的判定與證明1、重因式的概念設是數域P上的不可約多項式，為非負整數，如果且，則稱是的重因式。注意：1）當時，稱為的單因式，當稱為的重因式。2）重因式是不可約多項式。第43頁，課件共81頁，創作于2023年2月2、重因式的有關結論（1）如果不可約多項式是的重因式，則它是的重因式。（2）如果不可約多項式是的重因式，則它是的因式，但不是的因式。（3）不可約多項式是的重因式的充分必要條件是，是與的公因式，即（4）多項式沒有重因式的充分必要條件是與互素。即第44頁，課件共81頁，創作于2023年2月（5）單因式化設則與有完全相同的不可約因式，且沒有重因式。第45頁，課件共81頁，創作于2023年2月3、判斷多項式有無重因式的方法第一步由求，利用輾轉相除法求出第二步如果，則無重因式；如果，則的每一個不可約因式都是的重因式。如果要求出的所有互異不可約因式，先計算則比次數低且較簡單的的所有不可約因式即是的所有互異不可約因式。第三步為確定的不可約因式的重數只需累次（次）用帶余除法以除及其商式，直至不能整除，便知重數了。第46頁，課件共81頁，創作于2023年2月例1、設復系數非零多項式沒有重因式，證明：證因為無重因式，所以任取與的公因式，則且于是即即是與的公因式，從而。故第47頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2、設，判斷是否有重因式，并求的標準分解式。第48頁，課件共81頁，創作于2023年2月例3、證明：數域P上一個次多項式能被它的導數整除的充分必要條件是其中證充分性因為所以必要性法1利用典型分解式，設的典型分解式為其中是P上首項系數為1的不可約多項式，是的首項系數，是正整數且則此處不能被任何整除。第49頁，課件共81頁，創作于2023年2月因為，所以可見可能的因式為非零常數及但故設，則有即得從而這只有，且，于是設，則有法2待定系數法設則第50頁，課件共81頁，創作于2023年2月由及知，存在多項式使比較系數可得，此時其中，于是，即為首項系數為1的次多項式，故第51頁，課件共81頁，創作于2023年2月所以的不可約因式只能是及它的非零常數倍。由于包括了的全部不可約因式，考慮到的次數是，所以具有形式（）第52頁，課件共81頁，創作于2023年2月八、多項式函數與多項式的根1、多項式函數的概念設若由多項式確定P中唯一的數與之對應，則稱為P上的一個多項式函數。數域P上的兩個多項式相等的充分必要條件是在它們所定義的數域上的多項式函數相等。注在討論多項式時，無論采用形式觀點，還是函數觀點是統一的。采用形式觀點對統一處理多項式比較方便；采用函數觀點對研究多項式的根和方程理論比較直觀。第53頁，課件共81頁，創作于2023年2月2、多項式的根設，如果，則稱為的一個根。如果是的重因式，則稱是的重根。注①多項式的根是用函數觀點來定義的。②根據多項式根的定義，數域P上的每一個數都是零多項式的根，而零次多項式沒有根。3、多項式函數的性質（1）余數定理設，用一次多項式去除所得的余式是一個常數，并等于函數值注余數定理表明可以采用綜合除法確定多項式在時的值或驗證是的單根或重根，這比直接將代入計算要方便得多。第54頁，課件共81頁，創作于2023年2月（2）因式定理設的充分必要條件是（3）中次多項式在數域P的根不可能多于個（重根按重數計算）。4、代數基本定理（1）定理每個次數的復系數多項式在復數域中至少有一個根。（4）設，且次數都不超過。如果對于個不同的數有則（2）次復系數多項式在復數域內恰有個復根（重根按重數計算）。第55頁，課件共81頁，創作于2023年2月5、根與系數的關系設是一元次多項式（）的個根，則根與多項式的系數之間有關系……………第56頁，課件共81頁，創作于2023年2月6、實系數多項式的根如果是實系數多項式的一個非實復數根，則它的共軛數也是的根，并且與有同一重數。由此可知，奇數次實系數多項式必有實根。7、有理系數多項式的根設是一個整系數多項式，而是它的一個有理根，其中互素，則必有。特別地，如果的首項系數則的有理根都是整數，而且是的因子。注①當有理系數多項式在有理數域上不可約，且時，沒有有理根。這里是必須的，如有有理根，但且不可約。第57頁，課件共81頁，創作于2023年2月②“有理系數多項式沒有有理根，則在有理數域上不可約。”這一命題當時是成立的，但當時，命題不再成立，如沒有有理根，但它在有理數域上可約。8、關于單位根（1）若是方程的解，即滿足，則稱為一個次單位根。（2）由于與它的微商互素，所以無重根，故對任意自然數，恰有個不同的次單位根（3）利用復數的開方易知，個次單位根為第58頁，課件共81頁，創作于2023年2月例1、當正整數取何值時，有重因式。解，由重因式判定定理知，有重因式的充分必要條件是與不互素，即與有公共根，于是即從而可得這表明與都是次單位根。令，則由得所以。于是，即是3次單位根，故第59頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2、設其中是整數，試求出使有公共有理根的全部，并求出相應的有理根。解令由于與具有相同的根，從而可求與的公共有理根可能的有理根為：可能的有理根為：因此，它們可能的公共有理根的范圍是第60頁，課件共81頁，創作于2023年2月（1）當時，得解得由于不是整數，所以1不是與的公共有理根。（2）當時，得解得由于不是整數，所以-1也不是與的公共有理根。第61頁，課件共81頁，創作于2023年2月（3）當時，得解得由于不是整數，所以也不是與的公共有理根。（4）當時，得解得故僅有是與的公共有理根。此時，第62頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2、試求7次多項式，使能被整除，而能被整除。第63頁，課件共81頁，創作于2023年2月例3、試求以為根的有理系數的不可約多項式。解設，且以為根，則也一定是的根，這時令下證在上不可約。由于如果有有理根，必為，但都不是的根。這就是說不可能分解為一個一次式與三次式之積。其次，如果在上分解為兩個二次式之積，則必可在上分解為兩個二次式之積，即其中，比較兩邊系數得第64頁，課件共81頁，創作于2023年2月②①③④由式④知或。當時，由式①得，再由式②得即，但是整數，矛盾。當時，得，所以也不可能。因此不可能分解為兩個二次式之積。綜上所述，在不可約，即為所求。第65頁，課件共81頁，創作于2023年2月例4、設R是實數域，并且證明：與有相同的根。證因為，故設于是，這表明的根一定是都是的根。反之，任取的一個根，即，則有若不是的根，則由上式有此即這與矛盾。故也是的根，綜上兩步即證結論。第66頁，課件共81頁，創作于2023年2月九、重要數域上多項式的因式分解1、復數域上多項式的因式分解（1）復系數次多項式在復數域上都可以唯一分解成一次因式的乘積。換句話說，復數域上任一次數大于1的多項式都是可約的。（2）復數域上次多項式具有典型分解式其中是的首項系數，是不同的復數，是正整數且2、實數域上多項式的因式分解（1）實系數次多項式在實數域上都可以唯一分解成一次因式與二次不可約因式的乘積。換句話說，實系數多項式在實數域上不可約的充分必要條件是或且第67頁，課件共81頁，創作于2023年2月（2）實數域上次多項式具有典型分解式其中是的首項系數，是不同的實數，是互異的實數對，且滿足都是正整數，且滿足3、有理數域上多項式的因式分解（1）如果一個非零的整系數多項式的各項系數互素，則稱是一個本原多項式。（2）設是任一有理系數多項式，則存在有理數及本原多項式使且這種表法除了相差一個正負號是唯一的。第68頁，課件共81頁，創作于2023年2月（3）高斯引理兩個本原多項式的乘積還是本原多項式。（4）如果一個非零整系數多項式能夠分解成兩個次數較低的有理系數多項式的乘積，則它一定能夠分解成兩個次數較低的整系數多項式的乘積。（5）設是整系數多項式，為本原多項式，如果，其中是有理系數多項式，則一定是整系數多項式。（6）在有理數域上存在任意次數的不可約多項式。例1、設是整系數多項式，若為奇數且中至少有一個是奇數或和都不能被3除盡，則多項式無有理根。證若有有理根，其中與互素，則第69頁，課件共81頁，創作于2023年2月因為s與t互素，是本原多項式。因此是整系數多項式。設是任意整數，則是整數，取則有都是整數。又因為與都是奇數，從而s與t也都為奇數。這樣都是偶數。從而和是偶數，與假設矛盾。若都不能被3除盡，則也不能被3除盡。于是至少有一個能被3除盡。由前面的證明知和至少有一個能被3除盡，這也與假設矛盾。因此，在兩種情況下，都沒有有理根。第70頁，課件共81頁，創作于2023年2月例2、設是一個整系數多項式。證明如果存在一個偶數及一個奇數，使與都是奇數，則沒有整數根。證設，其中是整數，由于是偶數，而是奇數，從而為奇數。這樣，對任意偶數，都有是奇。又為奇數，也是奇。對任意奇數，有是偶數，因此是偶數。又為奇數，從而必為奇數。這樣，對任意整數都是奇數，從而即沒有整數根。第71頁，課件共81頁，創作于2023年2月1、多元多項式設是一個數域，是個文字，式子稱為一個單項式，一些單項式的和稱為元多項式注意：