教案系列不等式的證明（二）教案及反思不等式的證明（二）

第二課時教學目標

1．進一步嫻熟把握比較法證明不等式；

2．了解作商比較法證明不等式；

3．提高同學解題時應變力量.

教學重點比較法的應用

教學難點常見解題技巧

教學方法啟發引導式

教學活動

（一）導入新課

（老師活動）老師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，老師點評．

（同學活動）思索問題，回答．

［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2．比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？

3．用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形．在我們所學的學問中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節課我們將連續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用．（板書課題）

設計意圖：復習鞏固已學學問，連接新學問，引入本節課學習的內容．

（二）新課講授

【嘗摸索索，建立新知】

（老師活動）提出問題，引導同學爭論??解決問題，并點評．

（同學活動）嘗試解決問題．

[問題]

1．化簡

2．比較與（）的大?。?/p>

（同學解答問題）

［點評］

①問題1，我們采納了因式分解的方法進行簡化．

②通過學習比較法證明不等式，我們不難發覺，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大?。?/p>

設計意圖：啟發同學爭論??問題，建立新知，形成新的學問體系．

【例題示范，學會應用】

（老師活動）老師打出字幕（例題），引導、啟發同學爭論??問題，井點評解題過程．

（同學活動）分析，爭論??問題．

［字幕］例題3已知a，b是正數，且，求證

［分析］依題目特點，作差后重新組項，采納因式分解來變形．

證明：（見課本）

［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較簡單，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范．

[字幕]例4試問：與（）的大小關系．并說明理由．

［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類爭論確定符號．

解：

因為，所以，

若，則所以．

即

若，則所以．

即

若，則所以．

即

綜上所述：時，

時，

時，

［點評］解這道題在推斷符號時用了分類爭論，分類爭論是重要的數學思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時要不重不漏．

［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點．甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假如，問甲、乙兩人誰先到達指派地點．

[分析]設從動身地點至指派地點的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為，，要回答題目中的問題，只要比較、的大小就可以了．

解：（見課本）

［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決關于實際問題．要培育自己學數學，用數學的良好品質．

設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，把握因式分解的變形方法和分類爭論確定符號的方法．培育同學應用學問解決實際問題的力量．

【課堂練習】

（老師活動）老師打出字幕（練習），要求同學獨立思索，履行練習；請甲、乙兩位同學板演；巡察同學的解題狀況，對準確的賜予確定，對偏差準時訂正；點評練習中存在的問題．

（同學活動）在筆記本上履行練習，甲、乙兩位同學板演．

［字幕］練習：1．設，比較與

的大小．

2．已知，，求證

設計意圖：把握比較法證明不等式及思想方法的應用．靈敏把握因式分解法對差式的變形和分類爭論確定符號．反饋信息，調整課堂教學．

【分析歸納、小結解法】

（老師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟．

（同學活動）與老師一道小結，并記錄在筆記本上．

1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法．

2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

3．會用分類爭論的方法確定差式的符號．

4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟．②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答．

設計意圖：培育同學分析歸納問題的力量，把握用比較法證明不等式的學問體系．

（三）小結

（老師活動）老師小結本節課所學的學問及數學思想與方法．

（同學活動）與老師一道小結，并記錄筆記．

本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類爭論法；應用比較法的思想解決實際問題．

通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，把握求差后對差式變形以及推斷符號的重要方法，并在以后的學習中連續積累方法，培育用數學學問解決實際問題的力量．

設計意圖：培育同學對所學的學問進行概括歸納的力量，鞏固所學的學問，領悟化歸、類比、分類爭論的重要數學思想方法．

（四）布置作業

1．課本作業：P177、8。

2，思索題：已知，求證

3．爭論??性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

設計意圖：思索題讓同學了解商值比較法，把握分類爭論的思想．爭論??性題是使同學理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的力量．

（五）課后點評

1．教學評價、反饋調整措施的構想：本節課采納啟發引導，講練結合的授課方式，發揮老師主導作用，體現同學主體地位，通過啟發誘導同學深化思索問題，解決問題，反饋學習信息，調整教學活動．

2．教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是把握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上連續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使同學把握因式分解變形和分類爭論確定符號，例5使同學對所學的學問會應用．例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用．

作業答案

思索題：證明：

因為，所以當時，，故

又因為，所以

當時，，故，即，所以

當時，.故，即，所以

綜上所述，

爭論??性題：設兩地距離為，船在靜水中的速度為，水流速度為（），則

所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長．

第三課時

教學目標

1.把握綜合法證明不等式；

2.嫻熟把握已學的重要不等式；

3.增加同學的規律推理力量.

教學重點綜合法

教學難點不等式性質的綜合運用

教學方法啟發引導式

教學活動

（－）導入新課

（老師活動）打出字幕（課前練習），引導同學回憶所學的學問，盡量用多種方法履行練習，投影同學不同解法，并點評．

（同學活動）履行練習．

［字幕］

1．證明（）．

2．比較與的大小，并證明你的結論．

1．證法一：由，所以

方法二：由，知，即，所以

2．答：

證法一：由，所以

證法二：由知，所以

［點評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6．1節和6．2節已學過，這種方法是綜合法，是本節課學習的內容．（板書課題）

設計意圖：通過練習，復習比較法證明不等式，導入新課：綜合法證明不等式．提出學習任務．

（二）新課講授

【嘗摸索索

，建立新知】

（老師活動）老師提出問題：用上述方法二證明，并點評證法的數學原理，

（同學活動）同學爭論??證明不等式．

[問題]證明

（證明：因為，所以，即．）

[點評]

①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式設立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法證題方法：由已知推出結論．這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質．

設計意圖：探究解決問題的新方法，建立新學問，構建用綜合法證明不等式的方法原理．

【例題示范、學會應用】

（老師活動）老師板書例題，引導同學爭論??問題，構思證題方法，學會用綜合法證明不等式，并點評用綜合法證明不等式必需留意的問題．

（同學活動）同學在老師誘導下，爭論??問題，與老師一道履行問題的論證．

例1已知，求證

［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數，可用平均值定理作為已知不等式推證．

證明：因為，則，所以．故

［點評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，留意要證的不等式必需符合重要不等式的條件和結構特征．

例2已知a，b，c是不全相等的正數，求證

[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由

動身可證．

證明一（見課本）

證明二：

因為a，b，c是不全相等的正數．所以，，，且三式未能全取“=”號．

所以

即

[點評]

①綜合法的思維特點是：由已知推出結論．用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：

；（）；（）；（a，b同號），（）。

②此例中條件a，b，c是不全相等的正數，所以最終所證不等式取不到等號．

③由于作為綜合法證明依據的不等式自身是可以依據不等式的意義、性質或比較法證出

的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接依據不等式的意義、性質或比較法來證明．

我們在證明不等式時，選擇方法要適當，不要對某種方法抱定不放，要擅長觀看，依據題目的特征選擇證題方法．

設計意圖：鞏固用綜合法證明不等式的學問，把握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內在聯系．

【課堂練習】

（老師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡察同學的解題狀況，對準確的證法賜予確定，對偏差準時訂正，點評練習中存在的問題．

（同學活動）在筆記本上履行練習．甲、乙兩位同學板演．

［字幕］練習1已知，求證

2．已知，求證

設計意圖：把握用綜合法證明不等式，并會靈敏運用重要不等式作為證明中的已知不等式．反饋課堂效果，調整課堂教學．

【分析歸納，小結解法】

（老師活動）分析歸納例題和練習的解題過程．小結用綜合法證明不等式的解題方法．

（同學活動）與老師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上．

1．綜合法是證明不等式的基本方法．用綜合法證明不等式的規律關系是：…（A為已經證明過的不等式，B為要證的不等式）．即綜合法是“由因導果”．

2．運用不等式的性質和已證明過的木等式時，要留意它們各自設立的條件，這樣才能使推理準確，結論無誤．

設計意圖：培育同學分析歸納問題的力量，把握綜合法證明不等式的方法．

（三）小結

（老師活動）老師小結本節課所學的學問．

（同學活動）與老師一道小結，并記錄在筆記本上．

本節課學習了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據是：l。已知條件和不等式性質；2．基本不等式．能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據是基本不等式時，要留意定理的使用條件和定理中“=”號設立的條件．

設計意圖：培育同學對所學學問進行概括歸納的力量，鞏固所學學問．

（四）布置作業

1．課本作業：P175．6