蘇教版九年級下冊數(shù)學(xué)[《圖形的相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固--知識點整理及重點題型梳理](基礎(chǔ))

在數(shù)學(xué)上，我們把滿足下列條件的兩個三角形稱為相似三角形：（1）對應(yīng)角相等；（2）對應(yīng)邊成比例．2.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對應(yīng)邊成比例；（3）相似三角形的高線成比例；（4）相似三角形的周長成比例；（5）相似三角形的面積成比例.要點四、位似變換1.位似變換：是指在平面內(nèi)，保持圖形形狀不變，大小可以改變的變換．2.位似的性質(zhì)：（1）對于兩個位似圖形，它們的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；（2）兩個位似圖形的相似比是唯一的；（3）位似變換可以分為放大和縮小兩種情況；（4）位似變換可以用比例系數(shù)表示.要點五、圖形的投影1.平行投影：是指由一個點向平面內(nèi)不同方向發(fā)出的平行線所對應(yīng)的投影．2.中心投影：是指由一個點向平面內(nèi)任意方向發(fā)出的射線所對應(yīng)的投影．3.圖形的投影性質(zhì)：（1）平行投影和中心投影都是位似變換；（2）平行投影和中心投影可以用比例系數(shù)表示；（3）平行投影和中心投影可以用于解決實際問題，如計算三維物體的表面積和體積等.等高的物體垂直地面放置時，在點光源的照射下，如圖1所示，離點光源近的物體的影子短，離點光源遠(yuǎn)的物體的影子長。當(dāng)?shù)乳L的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度。在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例，可以利用這個關(guān)系式計算高大物體的高度，如旗桿的高度等。需要注意的是，在利用影長計算物高時，要測量兩物體在同一時刻的影長。此外，在點光源的照射下，物體所產(chǎn)生的影稱為中心投影。典型例題中，給定了三個量a、b、c的比例關(guān)系和有關(guān)a、b、c的等式。可以通過設(shè)參數(shù)k，轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的一元方程，求出k后，進(jìn)而求得所需的值。這個方法可以舉一反三，應(yīng)用于其他類似的問題中。在題目中，以長為2cm的定線段AB為邊，作正方形ABCD，取AB的中點P。在BA的延長線上取點F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點M落在AD上。要求求出AM、DM的長，并判斷點M是否是線段AD的黃金分割點。根據(jù)勾股定理，可以求得PD的長度為根號5。因此，AM的長度為5-1，DM的長度為3-5。又因為AM=AD?DM，所以點M是線段AD的黃金分割點。能夠應(yīng)用勾股定理求線段長度，也能夠運用黃金分割點的定義進(jìn)行證明。在一個$4\times4$的正方形方格中，$\triangleABC$和$\triangleDEF$的頂點都在邊長為$1$的小正方形的頂點上。問題：(1)$\angleABC$和$BC$的長度分別為多少？(2)判斷$\triangleABC$和$\triangleDEF$是否相似，并說明理由。解答：(1)$\angleABC=135^\circ$，$BC=\sqrt{2}$；(2)$\triangleABC$和$\triangleDEF$相似。因為$\angleABD=\angleCBE=45^\circ$，$\angleABC=\angleDEF=135^\circ$，所以$\triangleABC$和$\triangleDEF$相似。在一個$4\times4$的正方形方格中，利用正方形的性質(zhì)和格點三角形的特點，探究兩個三角形有關(guān)角的度數(shù)和邊的長度，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等證明兩個三角形相似。舉一反三：在下列$4\times4$的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為$1$，三角形的頂點都在格點上，則與$\triangleABC$相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是(B)。在平行四邊形$ABCD$中，$E$是$BC$邊上的一點。連接$AE$。問題：(1)若$AB=AE$，求證：$\angleDAE=\angleD$；(2)若點$E$為$BC$的中點，連接$BD$，交$AE$于$F$，求$EF:FA$的值。解答：(1)在平行四邊形$ABCD$中，$AD\parallelBC$，所以$\angleAEB=\angleEAD$。因為$AE=AB$，所以$\angleABE=\angleAEB$，所以$\angleB=\angleEAD$，又因為$\angleB=\angleD$，所以$\angleDAE=\angleD$；(2)因為$AD\parallelBC$，$AD=BC$，所以$\triangleBEF\sim\triangleAFD$，所以$EF:FA=1:2$。此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)。熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。舉一反三：在平行四邊形$ABCD$中，$E$是$CD$上的一點，$DE:EC=2:3$，連接$AE$、$BE$、$BD$，且$AE$、$BD$交于點$F$，則$S_{\triangleDEF}:S_{\triangleEBF}:S_{\triangleABF}=4:10:25$。5.已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），且∠BEF=120°。求y與x的函數(shù)解析式，以及當(dāng)x為何值時，y有最大值，最大值是多少？解：首先，由梯形ABCD的性質(zhì)可知，∠A=∠D=120°，∠ABC=60°，因此∠AEB+∠ABE=60°。又因為∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=60°，從而得到∠ABE=∠DEF。由此，我們可以得到△ABE∽△DEF，因此有：$$\frac{y}{x}=\frac{x-3}{y-1}$$移項化簡得：$$y^2-xy+x-3y+3=0$$根據(jù)二次函數(shù)的最值問題，可以求出該函數(shù)的極值點：$$y=\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2-4x+13}$$因此，當(dāng)$x=\frac{3}{2}$時，函數(shù)取得最大值，最大值為$y=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。6.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形，且點B（3，1），B′（6，2）。（1）若點A（1，3），則A′的坐標(biāo)為；（2）若△ABC的面積為m，求△A′