《均值不等式及其應用》教學設計一、教學目標1．學生通過觀察歸納，能夠猜想得到均值不等式，體會從特殊到一般的思維過程，并且能從代數角度給出均值不等式的證明；2．學生通過自主探究，能夠獲得均值不等式的幾何意義，加深對均值不等式的認識，強化數形結合的思想；3．學生通過獨立完成一組判斷正誤的題目，深化理解均值不等式的結構，認識到均值不等式中的可以是兩個正實數，也可以是兩個滿足條件的表達式，體會整體代換的思想；4.學生通過思考與討論，判斷利用均值不等式求最值的解題過程是否正確，從而總結利用均值不等式求最值的條件“一正二定三相等”，并學會解題步驟進行規范答題；5.學生根據具體的問題特征，能運用均值不等式及其變形公示求最大值或最小值，能通過數學建模將生活問題數學化，注重運用數學解決生活中的實際問題。二、目標評價目標1評價：通過歸納、猜想，所有學生都能夠獲得均值不等式，每位學生都能夠獨立完成均值不等式的代數證明，并且能夠進行清楚的展示；目標2評價：經歷自主探究均值不等式的幾何意義，所有學生都能夠用自己的語言進行表述；目標3評價：的學生能夠通過這3道判斷題，理解并掌握均值不等式的結構特點，并且能夠知道均值不等式中的可以是兩個實數，也可以是兩個表達式；目標4評價：以上的學生能通過小組討論完成判斷利用均值不等式求最值的解題過程是否正確，并總結利用均值不等式求最值的條件，并能學會利用均值不等式求最值的解題步驟；目標5評價:的學生能理解均值不等式的變形、，并能通過數學建模解決情境中利用均值不等式的變形公示解決求最值的問題。三、教學重點、難點重點：均值不等式的推導證明及其應用；難點：均值不等式求最值受限條件的理解與應用.四、教學方法本節課主要采用啟發引導式的教學策略.通過設計問題引入新課，啟發引導學生解決問題、總結問題、論證問題、延拓問題等環節讓學生領悟科學的探究方法，增強學生的探究能力.在教學中指導學生展開聯想，大膽探索，以訓練和培養學生的思維能力.教學流程設計（一）創設情境引入課題【嘗試與發現】假設一個矩形的長和寬分別為和（1）與這個矩形周長相等的正方形的邊長_____________；（2）與這個矩形面積相等的正方形的邊長_____________；（3）比較兩個邊長的大小.【學生活動設計】學生獨立完成。【教師活動設計】教師提出問題：如何快速比較兩個邊長的大小？引入新課。【設計意圖】通過求矩形中，與矩形周長相等的正方形的邊長以及與矩形面積相等的正方形的邊長，讓學生比較兩個邊長大小，引入課題。（二）探究新知1、歸納猜想請同學們給下表中的正數任取4組值，然后完成表格.與的大小關系【【問題1】觀察與的大小關系，從中你發現了什么結論？【問題2】你能給出它的證明嗎？2、得出結論（1）均值不等式：均值不等式的變形公式：3、深化理解【判斷正誤】（1）（2）（3）【學生活動設計】通過觀察歸納獲得數學猜想，經過獨立思考后在教師引導下，獨立使用作差法進行證明。【教師活動設計】引導學生有條理的思考問題，投影講解證明，并強調等號成立的條件.【設計意圖】通過問題引導使學生能有條理地表達自己的思考過程，體驗數學活動中的探索與創造，感受數學的嚴謹及數學結論的確切。4、自主探究深化認識幾何意義1:如果矩形的長和寬分別為，那么矩形的面積為_________,可以看成_____________________________________.均值不等式的一個幾何意義為____________________________.BABADOCOBABADOC觀察右圖，線段；以為直徑作圓；過點作于,交圓于點；連接【問題3】（1）圖中線段、的長度分別是多少？（提示：射影定理的相關結論：直角三角形ABC中，CDAB,則）（2）和的大小關系如何？（3）等號何時成立？【教師活動設計】幾何畫板動態演示說明，引導組織學生的回答問題；【學生活動設計】獨立完成問題3，小組討論交流結果；【設計意圖】通過自主探究培養學生數形結合的意識，并使抽象的問題更加直觀、形象，使學生進一步加深對均值不等式的理解。由于學生對初中所學射影定理有所遺忘，為了使學生的注意力不要過多的放在求解CD的長度上面，所以直接提示用射影定理求出CD的長度。由于是靜態圖形不如動態更能說明均值不等式。5、利用均值不等式求最值【思考與討論】1.判斷下列解題過程是否正確，如果不正確請指出錯誤原因；(1)求的最小值.解：當且僅當時取等.所以函數最小值是2.（2）求的最小值.解：因為所以當且僅當即時取等.所以函數最小值是6.（3）求的最小值.解：因為所以所以函數的最小值為2.點評：通過以上問題你能得出用均值不等式求最值需要滿足的條件嗎？（2）將上面的“思考與討論”的（3）改為求的最小值，如何寫解題過程？【教師活動設計】組織學生回答問題，引導學生利用均值不等式求最值的條件，規范學生的解題步驟。【學生活動設計】先獨立思考，然后小組討論，總結利用均值不等式求最值的條件，并能完整寫出問題（2）的解題步驟；【設計意圖】讓學生知道均值不等式在最值方面的應用，通過辨析解題過程是否正確，總結均值不等式求最值的條件，并由此規范解題步驟。例（1）一個矩形的面積為100，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知一個矩形的周長為36，問這個矩形的長、寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？總結：均值不等式可以解決兩類問題求最值的問題：當兩個____的積為____時，它們的和有_____；即_____________.當兩個____的和為____時，它們的積有_____；即_____________.【教師活動設計】引導學生使用均值不等式的變形進行求最值。強調“一正二定三相等”，同時讓學生體會數學服務于生活，解決生活中的問題。【學生活動設計】獨立嘗試使用均值不等式完成例，通過思考題掌握均值不等式另外一個重要的變形，并使用它解決相關問題。【設計意圖】課本中對求最值是直接在例2中給出“積為定值，求和的最小值”與“和為定值，求積的最大值”兩種題型，但學生們往往貪多嚼不爛，兩種題型都沒掌握好，所以在這設計了一個一個的來解決，問題針對性越強，解決問題的方向越明確。（三）課堂小結請用思維導圖總結本節課所學習的內容。【教師活動設計】引導學生自我總結，再在黑板用思維導圖帶領學生共同完成本節課的知識總結。【學生活動設計】以思維導圖的形式完成總結；【設計意圖】通過思維導圖梳理知識，使得更有條理，有利于建立學生的認知結構。（四）推廣：想一想：所有周長相等的矩形中，正方形的面積最大。所有周長相等的三角形，什么樣的三角形面積最大？平面上周長相等的所有封閉圖形中，什么樣的圖形面積最大？（五）當堂檢測A組（基礎題）1、若；（1）當時，則的最____值為______，此時_____；_____．（2）當時，則的最____值為______，此時_____；_____．2、求函數的最小值，以及此時的值.B組(提升題)求函數的最小值，以及此時的值。【學生活動設計】學生獨立完成后對照大屏幕訂正答案。【教師活動設計】投影一名學生答案。【設計意圖】既可以使學生了解自己通過本節課的學習所存在的不足，也可以讓教師了解學生的掌握情況，以便為下節課做出更合理的安排。（六）課后作業課本第76頁練習A1、3，練習B2、4【設計意圖】作業包含了基礎題目（課本練習）、提升題目（思考題）和探究題三部分，基礎題目可以使學生對本節課的學習進行鞏固，提升題目又可提升一部分優等生的能力，探究題目可以開闊學生研究數學的視野，不要局限于課堂，而且方程也沒有超出學生的理解范圍。六、板書設計均值不等式一、均值不等式，算數平均值幾何平均值當且僅當時，等號成立。變形：三、應用利用均值不等式求最值條件：“一正二定三相等”總結（思維導圖）學情分析基于課程標準、教材，對學生學情分析如下：1．從學生知識層面看：學生對不等式的概念和性質有了感性的認識，在探究學習和應用實習的過程中，會解決最簡單的關于不等式的問題，會用作差法證明不等式.2.從學生素質層面看：學生的運算能力有待提高，不過學生邏輯思維能力較好，他們希望能夠自己探索、發現問題和解決問題，增強數學應用意識，提高分析問題、解決問題的能力.他們更需要充滿活力與創造發現的課堂.效果分析注重知識的形成過程本節課由矩形問題導入新課，先讓學生表示與矩形周長相等的正方形的邊長以及與矩形面積相等得正方形的邊長，然后通過比較兩個邊長的大小關系。學生通過代入數值猜想結論，然后利用作差法證明，最后推出均值不等式。用符號語言和文字語言分別表述了均值不等式，又利用數學軟件探究了均值不等式的幾何意義，從數和形兩個方面研究了均值不等式。通過一系列活動，讓學生能深刻理解并掌握均值不等式，很好地完成課程標準的要求。注重數學思想方法的滲透、核心素養的培養學生通過代入數值猜想結論，然后利用作差法證明，最后推出均值不等式，體現了由特殊到一般的數學思想方法。整節課以數和形為主線，引導學生從代數和幾何兩個方面認識均值不等式，體現了體現了數形結合的思想方法。在最后的應用題中，均值不等式在幾何中的應用，首要問題是將相關陳述用數學符號表示出來，注重培養學生的數學建模素養。3.目標達成度較高本節課所授內容基本與預設效果一致，重點突出，難點突破。在問題的引入、講解以及應用的處理方法、時間安排都把握的比較好。從學生課堂表現，學生總體效果較好，課堂氛圍活躍，學習積極性非常高。從課后評測練習的結果可以看出，本節課很好地完成教學目標。《均值不等式及其應用》教材分析本節課《均值不等式及其應用》是人教B版第一冊第二章第二單元第四節的內容，是在學習了“等式”、“不等式及其性質”、“不等式的解集”以及“一元二次不等式的解法”的基礎上對不等式的進一步研究，有利于學生對后面不等式的證明及前面函數的一些最值、值域進一步拓展與研究，起到承前啟后的作用.本節的主要內容是在給出算數平均值和幾何平均值的概念之后，探索并證明了均值不等式，給出了均值不等式的幾何意義，在此基礎上，通過例題引導學生理解均值不等式在求最值和證明不等式中的作用。教材中的例1與例2均包含了整體代入的思想，在授課時我沒有當做例題進行詳細講解，而是將它們作為判斷正誤，讓學生自己辨析是否為均值不等式的結構，體會整體代換的思想。本節課重點講解了均值不等式在具體情境中求最值的應用。首先通過三道判斷解題過程是否正確，學生通過辨析，總結利用均值不等式最值的三個條件，同時規范學生的解題步驟。《均值不等式及其應用》課后評測練習一、單選題1．不等式(其中x＞2)中等號成立的條件是()A．x＝5 B．x＝－3C．x＝3 D．x＝－52．，使得，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．3．給出下列條件：①；②；③，；④，.其中能使成立的條件個數為（）.A．1 B．2 C．3 D．44．下列各式中，對任何實數都成立的一個式子是（）.A． B． C． D．5．不等式成立的前提條件為（）.A． B． C． D．6．已知，，且，則ab的最大值為（）A． B．4 C． D．27．周長為12的矩形，其面積的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．98．函數的最小值為(

)A．6 B．7 C．8 D．9二、多選題9．下列表達式的最小值為的有()A．當時，B．當時，C．D．10．設，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．11．下列判斷錯誤的是（）A．的最小值是2 B．C．不等式的解集為 D．如果，那么12．下列求最值的運算中，運算方法錯誤的有（）A．當時，，故時，的最大值是.B．當時，，當且僅當取等，解得或，又由，所以取，故時，的最小值為C．由于，故的最小值是2D．當，且時，由于，，又，故當，且時，的最小值為4三、填空題13．設，則四個數，，，中最小的是__________．14．若x＞0、y＞0，且x＋y＝1，則x·y的最大值為______．15．已知則的最大值是_______.16．若x＞0，則的最小值為_____．四、解答題17（1）把49寫成兩個正數的積，當這兩個正數各取何值時，它們的和最小？（2）把12寫成兩個正教的和，當這兩個正數各取何值時，它們的積最大？18．求函數的值域．—PAGE1—PAGE參考答案1．A【解析】【分析】根據基本不等式等號成立的條件可知，當時等號成立.【詳解】當時，，等號成立的條件是，，解得：.故選A.【點睛】本題考查基本不等式，利用基本不等式求最值，需滿足“一正，二定，三相等”，常用不等式包含，，.2．B【解析】【分析】先由分離參數得到，求出的最小值即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時，取等號，所以只需，故選B.【點睛】本題主要考查利用基本不等式處理不等式成立的問題，屬于基礎題型.3．C【解析】【分析】由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等”，能使成立，則需，同號，再逐一判斷即可得解.【詳解】解：由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等”，即當，均為正數時，可得，此時只需，同號即可，所以①③④均滿足要求.故選：C.【點睛】本題考查了均值不等式成立的前提條件是“一正、二定，三相等”，屬基礎題.4．C【解析】【分析】取特殊值可得選項A,B,D不恒成立，由可得選項C對應的不等式恒成立，得解.【詳解】解：對于A，當時，根式無意義，故A不恒成立；對于B，當時，，故B不恒成立；對于C，，所以成立，故C成立；對于D，當時，，故D恒不成立，即對任何實數都成立的一個式子是，故選：C.【點睛】本題考查了均值不等式的前提，重點考查了運算能力，屬基礎題.5．B【解析】【分析】由均值不等式成立的前提條件是“一正、二定，三相等”，結合此條件即可得解.【詳解】解：由均值不等式的條件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提條件是各項均為正數，所以不等式成立的前提條件為，即.故選：B.【點睛】本題考查了均值不等式成立的前提條件是“一正、二定，三相等”，屬基礎題.6．D【解析】【分析】由基本不等式可構造關于的不等式，解不等式求得結果.【詳解】，（當且僅當時取等號），解得：，即的最大值為故選：【點睛】本題考查利用基本不等式求解最值的問題，屬于基礎題.7．D【解析】【分析】設矩形的長寬分別為x，y，可得2(x+y)=12，化為x+y=6，利用即可得出結果.【詳解】設矩形的長寬分別為

x，y，則2(x+y)=12，化為x+y=6.，當且僅當

x=y=3

時取等號.因此面積的最大值是

9.故選：D.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，注意認真計算，準確運用公式，屬基礎題.8．C【解析】【分析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，時等號成立.故答案選C【點睛】本題考查了均值不等式，屬于簡單題.9．BC【解析】【分析】對式子變形,利用基本不等式的的性質即可求得.【詳解】解：①對選項A,當均為負值時,,故最小值不為2;②對選項B,因為,所以同號,所以,所以,當且僅,即時取等號,故最小值為;③對選項C,,當時,取最小值2;④對選項D,當且僅當,即時,取等號,但等號顯然不成立,故最小值不為.故選:BC【點睛】本題考查基本不等式的應用,要注意“一正,二定,三相等”.10．ACD【解析】【分析】逐一分析選項，驗證基本不等式的使用是否成立.【詳解】A.當時，成立，故A正確；B.當時，，等號成立的條件是，當時，，等號成立的條件是，故B不正確；C.當時，，所以，故C正確；D.，所以，等號成立的條件是當且僅當，即，故D正確.故答案為：ACD【點睛】本題考查判斷基本不等式使用是否正確，意在考查基本公式的簡單應用，屬于基礎題型.11．AC【解析】【分析】對A利用基本不等式的知識分析判斷；對B利用交集的定義分析判斷；對C利用解不等式分析判斷；對D利用不等式的性質分析判斷得解.【詳解】對選項A,當時，為負數，故A錯誤；對選項B,，故B正確；對選項C,不等式的解集為，故C錯誤；對選項D,若，則，所以，所以，故D正確.故選：AC【點睛】本題主要考查基本不等式和解不等式，考查集合交集和不等式的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12．BCD【解析】【分析】利用基本不等式使用條件，取等號的條件和利用基本不等式求最值的方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，根據基本不等式，可判定是正確的；對于B中，當時，，當且僅當取等，即時，最小值為，所以B不正確；對于C中，由于，當且僅當，即時，此時不成立，所以C項不正確；對于D中，兩次基本不等式的等號成立條件不相同，第一次是x=4y，第二次是x=y，所以不正確.故選BCD.【點睛】本題主要考查了基本不等式的應用，其中解答中熟記基本不等式的使用條件和等號成立的條件，以及基本不等式求最值的方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.13．【解析】【分析】根據基本不等式，先得到，，再由作商法，比較與，即可得出結果.【詳解】因為，所以，，又，所以，綜上，最小.故答案為：【點睛】本題主要考查由不等式性質比較大小，熟記不等式的性質，以及基本不等式即可，屬于常考題型.14．1【解析】試題分析：x>0,y>0,則x+y≥2xy即1≥2xy,所以.當且僅當x=y=12時取"=".所以xy考點：基本不等式.15．【解析】【分析】利用配湊法，結合基本不等式，求得的最大值.【詳解】依題意，當且僅當時等號成立.故的最大值為.故答案為：.【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最大值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.16．【解析】【分析】直接利用基本不等式求函數的最小值.【詳解】∵x＞0，∴4x2（當且僅當4x即x時，取“＝”號），∴當x時，f（x）最小值為．故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18．【解析】【分析】利用基本不等式可求得的最小值，從而得到函數的最大值，進而求得值域.【詳解】當時，，（當且僅當，即時取等號）值域為本題正確結果：【點睛】本題考查利用基本不等式求解函數值域的問題，關鍵是能夠將所給函數化為符合基本不等式應用條件的形式，屬于基礎題型.課后反思《均值不等式及其應用》這節課是認真研究新課標、新教材，對學生的認知結構以及學情做了充分的分析，制定了基于課程標準和核心素養的教學設計，符合學生的認知規律。整節課