第四章

指數函數與對數函數4.4.2

對數函數的圖象和性質漳州市龍海區港尾中學成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數學同步資源大全QQ群552511468也可聯系微信fjmath加入百度網盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉存自動更新永不過期教學目標掌握對數函數的圖像和性質（重點）0102

能利用對數函數的圖像與性質來解決簡單問題（重點、難點）0304對數函數的圖象和性質學科素養對數函數的性質數學抽象對數函數圖像直觀想象類比法學習對數函數性質

圖像對稱問題邏輯推理求函數的定義域與值域數學運算數據分析在實際問題中建立指數函數模型數學建模對數函數的圖象和性質01知識回顧Retrospective

Knowledge指數函數的圖象和性質指數函數概念：形如y

=ax(a>0，且a

?1)的函數叫做指數函數.指數函數的圖像與性質:對數函數的概念

對數函數的概念：一般地，函數y=logax，(a>0，且a≠1)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是（0，+∞）．研究函數的一般方法：背景概念圖像與性質應用02新知探索New

Knowledge

explore與研究指數函數一樣，我們首先畫出其圖像，然后借助圖像研究其性質．請完成下列表格，并用描圖法畫出y

=log2x的圖像．xy

=

log2x0.5-110214262.683164對數函數的圖像我們知道，底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于y軸對稱．對于底數互為倒數的兩個對數函數，比如y

=log2

x

和y

=log1

x，它們的圖象是否也有某種對稱關系呢？可否利用其中一個函數的圖象畫2

出另一個函數的圖象？xyo12y

=

(

1

)xy

=

2x對數函數的圖像完成下列表格，對比兩個函數的取值列表，并用描圖法畫出y

=log0.5xxy

=

log2xy

=

log0.5x0.5-1110021-142-262.6-2.683-3164-4的圖像，能否看出兩個函數的圖像有什么關系？兩個圖像關于x軸對稱對數函數的圖像對數函數的圖像利用換底公式，可以得到y

=log

1

x

=-log

2

x.2因為點(x,y)與點(x,-y)關于x軸對稱，所以y

=log

2

x圖像上任意一點P(x,y)關于x軸的對稱點P1

(x,-y)都在y

=log

1

x的圖像上，反之亦然.2由此可見y

=log

2

x與y

=log

1

x的圖像關于x軸對稱.2同理，y

=log1

x

=-loga

x，(a

>0，且a

?1），所以ay

=loga

x，(a

>0，且a

?1）和y

=log

1

x，(a

>0，且a

?1）的圖像關于x軸對稱.a即底數互為倒數的兩個對數函數的圖像關于x軸對稱.選取底數a(a>0，且a≠1)的若干個不同的值，在同一直角坐標系內畫出相應的對數函數的圖象．觀察這些圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性？由此你能概括出對數函數y=logax

，(a>0，且a≠1)

的值域和性質嗎？探究選取底數a(a>0,且a≠1)的若干個不同的值，發現對數函數y=logax,(a>0,且a≠1)的圖象按底數a的取值，可分為0<a<1和a>1兩種類型，因此，對數函數的性質可以分為0<a<1和a>1兩種情況進行研究．對數函數的性質a>10<a<1圖

像定義域值域過定點性質單

調

性取值分布奇

偶

性(0,+∞)R(1,0)xy(1,0)O在(0,+∞)上是增函數

在(0,+∞)上是減函數當x>1時y>0；當0<x<1時y<0.

當x>1時y<0；當0<x<1時y>0.既不是奇函數也不是偶函數對數函數的性質底數越大，函數在第一象限的圖象越靠右邊.練習1

函數y

=

logax，y

=

logbx，y

=

logcx，y

=

logdx的圖像如圖所示，則a，b，c，d的大小關系為:

．【答案】b<a<1<d<cy

=

logb

xy

=

logc

x練習2

函數的

f

(x)=loga(x－2)－2x的圖象必經過定點

．根據loga1=0，知無論a(a>0，且a≠1)取何值，對數函數y=logax的圖象恒過定點(1，0).【解析】令x－2=1，得x

=3，所以f

(3)=loga(3－2)－2×3=－6，即函數的f

(x)=loga(x－2)－2x的圖象必經過定點(3，－6)．例3

比較下列各組中，兩個值的大小：（1）

log23.4與log28.5

；（2）

log

0.3

1.8與log

0.3

2.7

；（3）

log0.2

3與log0.3

3；（4）

log

a

5.1與log

a

5.9(a＞0，且a

≠１)．(1)底數相同，真數不同，可根據對數函數的單調性直接進行判斷．底數不同，真數相同，可以用圖象法，還可以先比較他們的倒數（底數相同，真數不同的形式）的大小，再利用函數的單調性比較兩個分母的大小，來完成比較兩對數值的大小．若兩個對數的底數與真數都不相同，則需借助中間量間接地比較兩對數值的大小,常用的中間量有0，1，－1等．練習2

比較下列各題中兩個值的大小：⑴

lg6

＜

lg8⑵

log0.56

＜

log0.54⑶

log0.10.5

＞

log0.10.6⑷

log1.51.6

＞

log1.71.6因此，函數y

=logax

(a＞0,且a≠1)與指數函數y

=ax互為反函數.已知函數y=2x

(x∈R

，y∈(0,+∞))可得到x=log2y，對于任意一個

y∈(0,+∞)，通過式子x=log2y，x在R中都有唯一確定的值和它對應.也就是說，可以把y作為自變量，x作為y的函數，這是我們就說

x=log2y(y∈(0,+∞))是函數y=2x

(x∈R)的反函數.但習慣上，我們通常用x表示自變量，y表示函數.為此我們常常對調函數x=log2y

中的字母x,y，把它寫成y=log2x，這樣，對數函數

y=log2x(x∈(0,+∞))是指數函數y=2x

(x∈R)的反函數.從圖象中你能發現函數y=2x

與y=log2x的圖象間有什么關系？兩個函數的圖象關于直線y=x對稱.-1-241031

14

2y=xy=log2xxy=2xyAA12B1B

21-1-212410x31

14

2y=x2y2y

=

(

1

)xy

=

log1

x2圖象性質定義域值域過定點取

值分

布單調性對數函數y=log

ax

(a>0,a≠1)a>1時,

x<0,0<y<1;

x>0,y>1；a>1時, 0<x<1,y<0;

x>1,y>0；0<a<1時，x<0,y>1；x>0,0<y<1；0<a<1時,0<x<1,y>0;

x>1,y<0；a>1時,

在R上是增函數；0<a<1時,

在R上是減函數.a>1時,

在(0,+∞)是增函數；0<a<1時,在(0,+∞)是減函數.(0,1)(1,0)R(0,+∞)y=ax

(a>1)y=ax

(0<a<1)x指數函數y=ax

(a>0,a≠1)yo

1

y=logax

(a>1)xy=logax

(0<a<1)yo1R(0,+∞)例

函數y

=

loga

x的反函數的圖像經過點（2,9）,

則a=

.2x

-1

3【變式】.

函數f

(x)

=

的反函數為g(x)，則g( )

=

.2x

+1

503拓展提升Expansion

And

Promotion【例題4】解下列不等式⑴

ln(2x)

<0;⑵

log2x

<

2;⑶

lg(1-x)>lg(x+1);⑷

log0.5x2

>

log0.5(x+2).利用對數函數的單調性解不等式：(1)形如loga

f

(x)＞loga

g(x)的不等式，借助y＝logat的單調性求解，如果

a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．若logaf

(x)＞loga

g(x)則：當a>1時，有f

(x)>g(x)>0

；強調：真數一定要大于0當0<a<1時，有0<f

(x)<g(x)．(2)形如logaf(x)＞b的不等式，應將b化為以a為底數的對數式的形式，再借助y＝logat的單調性求解．【解析】

令t

=

x

+

1

?

1,則y

=log

2

t，因為y

=log

2

t在t

?

[1,+￥

)單調遞增，所以y

=log

2

t

?log2

1

=0，所以

y

=

log

2

(

x

+

1)的值域為：[0,+￥

).例求函數y

=log2

(x

+1)的值域;函數y=logaf

(x)的值域的求法如下：①換元：令t

=f

(x)；②求出新元的取值范圍，即求t=f(x)的值域t∈M；③利用y=loga

t的單調性求y

=loga

t

(t∈M)的值域.利用對數函數的單調性求值域的方法：04歸納總結SumUp圖象性質定義域值域過定點取

值分

布單調性對數函數y=log

ax

(a>0,a≠1)a>1時,

x<0,0<y<1;

x>0,y>1；a>1時, 0<x<1,y<0;

x>1,y>0；0<a<1時，x<0,