第02講空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【人教A版2019】·模塊一空間向量的夾角與數(shù)量積·模塊二向量的投影·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一空間向量的夾角與數(shù)量積1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運(yùn)算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計(jì)算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進(jìn)而確定．4．空間向量數(shù)量積的計(jì)算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．【考點(diǎn)1空間向量數(shù)量積的計(jì)算】【例1.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）正方體ABCD?A1B1C1DA．BC?B1D1=2 B．AB【例1.2】（2023秋·福建福州·高二校考期末）如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1DA．?1 B．1 C．2 D．3【變式1.1】（2023春·山西運(yùn)城·高二校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在棱長為2的正方體表面上運(yùn)動，AB是該正方體外接球的一條直徑，則PA?PB的最大值為（A．?2 B．?3 C．?1 D．0【變式1.2】（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長AB=1，A．?12,0 B．?34,0【考點(diǎn)2空間向量的夾角及其應(yīng)用】【例2.1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知空間向量a,b,c滿足a+b+c=A．30° B．45°C．60° D．以上都不對【例2.2】（2022秋·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）已知空間向量a，b，a=1，b=2，且a?b與a垂直，則aA．60° B．30° C．135°【變式2.1】（2022秋·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不共面的三個向量a,b,c都是單位向量，且夾角都是π3，則向量aA．π6 B．π4 C．3π4【變式2.2】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知a=(1,0,0)，b=(0,?1,1)，若a+λb與b的夾角為120°A．66 B．?66 C．±【考點(diǎn)3利用空間向量的數(shù)量積求模】【例3.1】（2022秋·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）已知空間中非零向量a，b，且a=2，b=3，a，b=A．133 B．133 C．61 D．61【例3.2】（2022秋·江西·高二統(tǒng)考期中）若a，b，c為兩兩垂直的三個空間單位向量，則2a+2bA．23 B．17 C．14 D．【變式3.1】（2022·全國·高二期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB，AD的夾角都等于60°．若M是PC的中點(diǎn)，則BM=（

A．62 B．63 C．64【變式3.2】（2022秋·廣東廣州·高二校考階段練習(xí)）如圖，三棱錐O?ABC各棱的棱長是1，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱OC上，且OE=λOC，則DE的最小值為（A．12 B．22 C．3【考點(diǎn)4向量垂直的應(yīng)用】【例4.1】（2022秋·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知a⊥b，|a|=2，|b|=3，且A．32 B．?32 C．【例4.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知長方體ABCD?A1BA．AD1?B1C B．B【變式4.1】（2023春·福建莆田·高二校考期中）在空間，已知e1，e2為單位向量，且e1⊥e2，若a=2A．－6 B．6C．3 D．－3【變式4.2】（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在三維空間中，三個非零向量OA,OB,OC滿足OA⊥A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．直角或銳角三角形模塊二模塊二向量的投影1．向量的投影(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【考點(diǎn)1投影向量的求解】【例1.1】（2023春·安徽合肥·高二校考開學(xué)考試）已知空間向量a=13，b=5，且a與b夾角的余弦值為?91365，則A．?91313b B．91313【例1.2】（2022秋·河北石家莊·高二校考階段練習(xí)）已知a=4，空間向量e為單位向量，a,e=2π3，則空間向量A．2 B．?2 C．?12 【變式1.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，則向量PC在【變式1.2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)a，b，c都是非零空間向量，則下列等式不一定正確的是（

）A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)2．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD?A′B′C′D′，設(shè)AB=A．π6 B．π3 C．π23．（2022秋·北京朝陽·高二校考期中）四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，則BP在向量AD上的投影向量為（

）A．DA B．BC C．BD D．AP4．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD?A①(AA1+AD+AB)2其中正確的命題有（

）．A．1個 B．2個 C．3個 D．0個5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，PA⊥面ABCD，ABCD為矩形，連接AC?BD?PB?PC?PD，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（

）A．PC與BD B．PB與DAC．PD與AB D．PA與CD6．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知a，b，c均為空間單位向量，它們之間的夾角均為90°，那么a?2bA．2 B．13C．14 D．67．（2022秋·北京·高二校考階段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，A．1 B．3 C．9 D．38．（2023春·上海楊浦·高二校考開學(xué)考試）設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，AD?AC=0，AB?ADA．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定9．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習(xí)）空間有一四面體A-BCD，滿足AD⊥AB，AD⊥AC，則所有正確的選項(xiàng)為（

）①DB?②若∠BAC是直角，則∠BDC是銳角；③若∠BAC是鈍角，則∠BDC是鈍角；④若AB<DA且A．② B．①③ C．②④ D．②③④10．（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P是四邊形A1A．5 B．6 C．5+2 D．11．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量AC分別與向量A′B′，B′A′，12．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C(1)求AC(2)求AA14．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如