第一章 線性空間與線性變換線性空間與線性變換是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論時經(jīng)常用到的兩個極其重要的概念．本章先簡要地論述這兩個概念及其有關(guān)理論，然后再討論兩個特殊的線性空間，這就是Euclid空間和酉空間．§1.1 線性空間線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的重要基礎(chǔ)，所考慮的數(shù)域是實數(shù)域(記為R)和復(fù)數(shù)域(記為C)，統(tǒng)稱數(shù)域F．一、線性空間的定義及性質(zhì)定義1設(shè)V是一個非空集合，F(xiàn)是一數(shù)域．如果存在一種規(guī)則，叫做V的加法運算：對于V中任意兩個元素 , ，總有V中一個確定的元素 與之對應(yīng)． 稱為 與 的和，記為 ．另有一種規(guī)則，叫做 V對于F的數(shù)乘運算：對于F中的任意數(shù)k及V中任意元素 ，總有V中一個確定的元素 與之對應(yīng)， 叫做k與 的數(shù)乘，記為 k ．而且，以上兩種運算還具有如下的性質(zhì)：對于任意 ， ， V及k，l F，有1) ；2)( ) ( )；3)V中存在零元素０，對于任何 V，恒有 0 ；4)對于任何 V，都有 的負(fù)元素 V，使 0；5)1 ；k(l)(kl)；(式中kl是通常的數(shù)的乘法)7)(k l) k l ；(式中k l是通常的數(shù)的加法)8)k( ) k k ．則稱V為數(shù)域F上的一個線性空間，也稱向量空間．V中所定義的加法及數(shù)乘運算統(tǒng)稱為 線性運算，其中數(shù)乘又稱數(shù)量乘法．在不致產(chǎn)生混淆時，將數(shù)域 F上的線性空間簡稱為線性空間．需要指出，不管 V的元素如何，當(dāng) F為實數(shù)域R時，則稱V為實線性空間；當(dāng)F為復(fù)數(shù)域C時，就稱V為復(fù)線性空間．線性空間V {0}稱為零空間．1例1任何數(shù)域F(作為集合)，對于通常的數(shù)的加法與乘法(作為數(shù)乘)運算，都構(gòu)成此數(shù)域F上的線性空間．例2實數(shù)域R作為集合，對于通常的數(shù)的加法及乘法(作為數(shù)乘)運算，不能構(gòu)成復(fù)數(shù)域C上的線性空間．因為aR,kiC,則kaiR.例3以數(shù)域F上的數(shù)為系數(shù)的多項式稱為數(shù)域F上的多項式．?dāng)?shù)域F上的、以x為變量的全體多項式的集合記為F[x]；次數(shù)小于n的全體多項式的集合記為F[x]n．可以證明，F(xiàn)[x]n對于通常的多項式加法及多項式數(shù)乘運算構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間．對于多項式f(x),g(x)F[x]n，設(shè)f(x)an1xn1an2xn2a1xa0，g(x)bn1xn1bn2xn2b1xb0，這里ai,biF,i0,1,2,,n1，于是f(x)g(x)(ab)xn1(ab)xn2(ab)x(ab)F[x]nn1n1n2n21100對于任何kF，有kf(x)kan1xn1kan2xn2ka1ka0F[x]n．易證明線性空間定義中的八條性質(zhì)都成立，因此[]是F上的線性空間．Fxn類似可證F[x]對于通常的多項式加法及數(shù)乘運算也構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間．例4數(shù)域F上的n維列(或行)數(shù)組向量的全體所構(gòu)成集合記為Fn，它對于數(shù)組向量加法、數(shù)乘運算構(gòu)成F上的線性空間．例5數(shù)域F上的mn矩陣的全體構(gòu)成的集合記為Fmn，它對于矩陣加法、數(shù)乘運算構(gòu)成數(shù)域 F上的線性空間．例6定義在[a,b]上的實函數(shù)全體的集合V，對于函數(shù)加法、數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間．例7常系數(shù)二階齊次線性微分方程y 3y 2y 0的解的集合D，對于函數(shù)加法及數(shù)與函數(shù)乘法有：若y1,y2D，則y1y2D，當(dāng)kR時，則ky1D，即D關(guān)于這兩種運算是封閉的，且滿足定義１中的八2條性質(zhì)，故D構(gòu)成了R上的線性空間．定理1設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，則V中零元素惟一；2)V中任一元素的負(fù)元素惟一；V，用表示的負(fù)元素；3)k00；特別有00，(1)；4)如果k0，那么k0或0．證這里僅證明2)，其余的證明留給讀者去完成．假設(shè)有兩個負(fù)元素與，則0，0，從而0()()0．二、向量的線性相關(guān)性在線性代數(shù)中，已討論了n維數(shù)組向量的性質(zhì)：線性表示，等價性，線性相關(guān)性等，對于一般的數(shù)域F上的線性空間V也有類似結(jié)果：定義2設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，1,2,,r(r1)是V中一組向量，k1,k2,,kr是數(shù)域F中的數(shù)，如果V中向量可以表示為k11k22krr，則稱可由1,2,,r線性表示(線性表出)，或稱是1,2,,r的線性組合．定義3設(shè)1,2,,r與1,2,,s是線性空間V中兩個向量組，如果1,2,,r中每個向量都可由向量組1,2,,s線性表示，則稱向量組1,2,,r可以由向量組1,2,,s線性表示．如果向量組1,2,,r與向量組1,2,,s可以互相線性表示，則稱向量組1,2,,r與向量組1,2,,s是等價的．容易證明向量組之間的等價具有如下性質(zhì)：自反性：每一個向量組都與它自身等價；(2)對稱性：如果向量組1,2,,r與1,2,,s等價，那么向量組1,2,,s也與1,2,,r等價；(3)傳遞性：若向量組1,2,,r與1,2,,s等價，且向量組1,2,,s與1,2,,t等價，則向量組1,2,,r與1,2,,t等價．3定義4設(shè)V為數(shù)域F上的線性空間，1,2,,r(r1)是V中一組向量，如果存在r個不全為零的數(shù)k1,k2,,krF,使得k11k22krr0，則稱1,2,,r線性相關(guān)；如果向量組1,2,,r不線性相關(guān)，就稱為線性無關(guān)．由定義4可得向量組線性相關(guān)定義的另一說法．定理2設(shè)V為數(shù)域F上的線性空間，V中一個向量線性相關(guān)的充分必要條件是0；V中一組向量1,2,,r(r2)線性相關(guān)的充分必要條件是其中有一個向量是其余向量的線性組合．證如果一個向量線性相關(guān)，由定義1.4可知，有k0，使k0，由定理1的4)知0．反之，若0，由對任意數(shù)k0都有k0．由定義4知，向量線性相關(guān)．如果向量組1,2,,r線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2,,kr，使得k11k22krr0，因為k1,k2,,kr不全為零，不妨設(shè)kr0，于是上式可改寫為k1k2kr1r1kr2krr1kr即向量r是其余向量1,2,,r1的線性組合．反過來，如果向量組1,2,,r中有一個向量是其余向量的線性組合，譬如說rl11l22lr1r，上式可寫為l11l22rl1r1(1)r，0因為l1,,lr1,1不全為零，由定義4知，向量組1,2,,r線性相關(guān)．例8實數(shù)域R上線性空間R22的一組向量(矩陣)E11100100000,E120,E211,E22010004是線性無關(guān)的．事實上，如果k1E11k2E12k3E21kE04，2即k1k20，k3k4則k1k2k3k40．因此，滿足k1E11k2E12k3E21k4E220的k1,k2,k3,k4只能全為零，于是E11,E12,E21,E22線性無關(guān)．定理3設(shè)V為數(shù)域F上的線性空間，如果V中向量組1,2,,r線性無關(guān)，并且可由向量組1,2,,s線性表示，則rs．證采用反證法．假設(shè)rs，因為向量組1,2,,r可由向量組1,2,,s線性表示，即siaji,ji1,，,rj1作線性組合rssrx11x22xrrxiajij(ajixi)j，i1j1j1i1考慮齊次線性方程組a11x1a12x2a1rxr0,a21x1a22x2a2rxr0,as1x1 as2x2 asrxr0.因為上述齊次線性方程組未知數(shù) x1,x2, xr的個數(shù)r大于方程的個數(shù)s，從而有非零解x1,x2,,xr，即我們可找到不全為零的數(shù)x1,x2,xr，使得x11x22xrr0．因此，向量組1,2,,r線性相關(guān)，這與1,2,,r線性無關(guān)矛盾，于是rs．由定理3直接可得如下結(jié)論．推論1兩個等價的線性無關(guān)向量組必含有相同個數(shù)的向量．5定理4設(shè)線性空間V中向量組1,2,,r線性無關(guān)，而向量組1,2,,r,線性相關(guān)，則可由1,2,,r線性表示，并且表示法是惟一的．證向量組1,2,,r,線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)k1,k2,,kr,kr1，使k11k22rkrkr10，并且kr10；否則向量組1,2,,r線性相關(guān)，這與條件矛盾．從而k11k22krr，krkrkr111即可由1,2,,r線性表示．假設(shè)可由1,2,,r線性表示為k11k22rkrl11l22rl，r則(k1l1)1(k2l2)2r(krl)r．0因為向量組1,2,,r線性無關(guān)，從而kili0(i1,2,,r)．因此，可惟一的表示為1,2,,r的線性組合．定義5設(shè)1,2,,s是線性空間V中一組向量，如果1,2,,s中存在r個線性無關(guān)的向量i,i,,ir(1ijs,j1,2,,r)，并且1,2,,s中12任一向量都可由向量組i,i,,ir線性表示，則稱向量組i,i,,i為向1212r量組1,2,,s的一個極大線性無關(guān)組，數(shù)r稱為向量組1,2,,s的秩，記為rank1,2,,sr．一般說來，向量組的極大線性無關(guān)組不惟一， 但是每一個極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價．由等價的傳遞性可知，一個向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組都是等價的，并且任意兩個等價向量組的極大線性無關(guān)組也等價．由推論1知，一個向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個數(shù)的向量，即向量組的秩是惟一的，并且等價的向量組具有相同的秩．三、基與維數(shù)現(xiàn)在引入線性空間的基與維數(shù)的概念，它是線性空間的重要屬性．6定義6設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，如果V中存在n個向量1,2, ,n，滿足：1)1,2, ,n線性無關(guān)；2)V中任何向量 均可由 1,2,...,n線性表示．即存在k1,k2, ,kn F，使得 k11 k22 knn．則稱 1,2, ,n為V的一組基(或基底)，基中向量的個數(shù) n稱為線性空間V的維數(shù)，記為維V或dimV．若dimV ，稱V為有限維線性空間，否則，稱V為無限維線性空間，本書主要討論有限維線性空間．關(guān)于線性空間的基與維數(shù)，有：(1)n維線性空間中任一向量必可由V的基1,2,,n線性表示，并且表示法惟一．線性空間的基(只要存在)必不惟一．有限維線性空間的維數(shù)是惟一確定的．定理5n維線性空間中任意n個線性無關(guān)的向量均可構(gòu)成一組基．證設(shè)V是n維線性空間，1,2,,n是V的一組基，1,2,,n是V中一個線性無關(guān)的向量組．為證1,2,,n是基，只須證明V中任一向量可由1,2,,n線性表示．此時，向量組1,2,,n中每個向量都可由基1,2,,n線性表示．這是n1個向量被n個向量線性表示的情況，即知1,2,,n，線性相關(guān)．再由定理4，便知可由1,2,,n線性表示，定理得證．例9求實數(shù)域R上線性空間R3的維數(shù)和一組基．解考慮R3中向量組1 0 0E1 0 ,E2 1 ,E3 0 ,0 0 1顯然滿足：1)E1,E2,E3線性無關(guān)；2)對于R3中任一向量 (a1,a2,a3)T，有 a1E1 a2E2 a3E3．由定義 6知E1,E2,E3為R3的一組基，從而R3的維數(shù)為3．例1.10求數(shù)域F上線性空間F23的維數(shù)和一組基．7解 F23中向量組E1110001000100,E1200,E1300,000E21000,E22000,E23000，100010001顯然滿足：E11,E12,E13,E21,E22,E23線性無關(guān)．2)對于F23中任一元素Aa11a12a13，有a21a22a23Aa11E11a12E12a13E13a21E21a22E22a23E23，于是知E11,E12,E13,E21,E22,E23為F23的一組基，從而dim(F23)6．類似可知，線性空間Fmn的維數(shù)為mn，其一組基為Eij,i1,2,...mj,;1,n，2,...,其中Eij是mn矩陣，它的(i,j)元素為1，其余全為0．例11設(shè)V是二階實對稱矩陣全體的集合，對于通常的矩陣加法、矩陣數(shù)乘兩種運算構(gòu)成的實數(shù)域R上的線性空間，求出V的維數(shù)和一組基．解V中一般元素可表示為ab，a,b,cR，a,b,c所在位置各體現(xiàn)一bc個自由度．考慮V中向量組A11001000,A21,A301，00滿足：1)A1,A2,A3線性無關(guān)；2)對V中任一矩陣，Aab，有A123，可見bcaAbAcAA1,A2,A3為V的一組基，dim(V)3．四、坐標(biāo)與坐標(biāo)變換定義7設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，1,2,...,n是V的一組基，對于V中任一向量，有數(shù)域F中惟一的一組數(shù)1,2,...,n，使8a11a22...ann，稱有序數(shù)組1,2,...,n為向量在基1,2,...,n下的坐標(biāo)，記為?．如果借用矩陣乘法的形式，記a1a11a22ann(1,2,...,n)a2，an則 的坐標(biāo)可以方便地用一個 n維列(數(shù)組向量)表示出來：a1a? a2 ．a(chǎn)n例12F[x]n中向量f(x) an1xn1 an2xn2 a1x a0在基1,x,x2,...,xn1下的坐標(biāo)為：(a0,a1,...,an1)T．例13設(shè)V是二階實對稱矩陣全體的集合，對于矩陣加法與矩陣數(shù)乘運算構(gòu)成實數(shù)域R上的線性空間，求V中向量A12在基2320000110,20,31001下的坐標(biāo)．解因為A113223，所以A在基1,2,3下的坐標(biāo)為(1,3,2)T．22引理1在n維線性空間中，對于任一組基，向量為零向量的充分必要條件是的坐標(biāo)為(0,0,...,0)T．引理2設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，在基1,2,...,n下，如果的坐標(biāo)記為?，的坐標(biāo)記為?，則的坐標(biāo)為??；k的坐標(biāo)為k?(kF)．證設(shè)? (a1,a2,...,an)T,? (b1,b2,...,bn)T，便有a11 a2 2 ann，9b11b22bnn．于是，(a1b1)1(a2b2)2(anbn)n，可見的坐標(biāo)為a1b1a2b2??．a(chǎn)nbn對任意kF，有kk11k22knn，故k的坐標(biāo)為k?．定理6設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，在V的一組基1,2,...,n之下，向量組1,2,...,n線性相關(guān)的充分必要條件是它們的坐標(biāo)?1,?2,...,?s(作為數(shù)域F上的n維數(shù)組向量)線性相關(guān)．證利用引理1，2，便知以下四種說法等價：1 V中向量組 1,2,...,s線性相關(guān)．有數(shù)域F中不全為零的數(shù)k1,k2,...,ks，使k11k22...kss03有數(shù)域F中不全為零的數(shù)k1,k2,...,ks使k?k?k?，這里0(0,0,...,0)T．2,2011,...s,s數(shù)域F上的n維數(shù)組向量?1,?2,...,?s線性相關(guān)．設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，1,2,...,n及1,2,...,n是V的兩組基，并設(shè)1a111a21.2..ann1,2a121a22.2..ann2,(1)na1n1an22...annn.a11a12a1n若令A(yù)a21a22a2n，an1an2ann則A中第i列恰是向量i在基1,2,...,n下的坐標(biāo)，矩陣A是惟一確定的，并且是可逆的，把(1)式形式地表達(dá)為10(1,2,...n, )1(2,n,A...．, ) (2)把(2)式稱為基變換公式 ，其中的 n階矩陣A稱為由基 1,2,...,n到基1,2,...,n的過渡矩陣(或稱變換矩陣)．在(2)式兩端同時右乘 A1，便得(1,2,...n,)1(2,n,A...1．,)這說明由基1,2,...,n到基1,2,...,n的過渡矩陣恰是由基1,2,...,n到1,2,...,n的過渡矩陣的逆矩陣．下面研究同一向量在兩組基下的坐標(biāo)間的關(guān)系．設(shè)基1,2,,n與1,2,,n之間的關(guān)系如(2)式，向量在這兩組基下的坐標(biāo)分別為x1x1x2，x2，xnxnx1x1于是，有(1,2,...,n)x2(1,2,...,n)Ax2．xnxnx1x1根據(jù)向量在取定基下坐標(biāo)的惟一性，得x2Ax2，(3)xnxn或?qū)懗蓌1x1x2A1x2．(3)＇xnxn(3)式或(3)＇式叫做坐標(biāo)變換公式．定理1.7在n維線性空間V中，設(shè)向量在兩組基1,2,...,n及1,2,...,n之下的坐標(biāo)分別為(x1,x2,...,xn)T及x1,x2,...,xnT，如果兩組基向量的變換公式11如(2)，則坐標(biāo)變換公式為(3)或(3)＇．212例14在線性空間R3中，求出由基11,20,35到基31110010,21,30的變換公式，并求向量(4,12,6)T在基1,2,3下001的坐標(biāo)(x1,x2,x3)T．解首先容易得到由基1,2,3到基1,2,3的變換公式為(1,2,3)(1,2,A3，)212535222其中A105，求得A1746．311111222于是，由基1,2,3到基1,2,3的變換公式為(1,2,3)(1,2,A31)又因為向量在基1,2,3下的坐標(biāo)顯然為(4,12,6)T，依坐標(biāo)變換公式便x147有x2A11216．x361例15對于數(shù)域F上的線性空間F22，證明：A110,A20001,A401000,A310101是一組基，并求Aa11a12在該基下的坐標(biāo)．a(chǎn)21a22解取基1100100000,20,31,40，則有000112A11,1000A24,1,2,3,4)0011A3即(A1,A2,A3,A4)(001，23,1A423.01001000過渡矩陣B0011,B10,故A1,A2,A3,A4是一組基．00110100因為A在1,2,3,4下的坐標(biāo)為(a11,a12,a21,a22)T，則A在A1,A2,A3,A4下的x1a11a11x2B1a12a22．坐標(biāo)為a2112a12a21x3x4a2221a12a21例16已知矩陣空間R22的兩組基(Ⅰ)A110,A210,A301,A401；01011010(Ⅱ)B111,B211,B311,B410；11100000求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的過渡矩陣．解為了計算簡單，采用中介基方法．引進R22的簡單基(Ⅲ)E1110,E1201,E2100,E2200，00001001直接寫出由基(Ⅲ)到基(Ⅰ)的過渡矩陣：1100C10011，0011100即(A1,A2,A3,A4)(E11,E12,E21,E22)C1．再寫出由基(Ⅲ)到基(Ⅱ)的過渡矩陣131111C21110，11001000即(B1,B2,B3,B4)(E11,E12,E21,E22)C2．所以有(B1,B2,B3,B4)(A1,A2,A3,A41)C1．C2于是得由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的過渡矩陣100111112111CC1110011110101111C22011011002221．001101000001014§1.2 線性子空間一、線性子空間的概念在通常的三維幾何空間中，考慮過原點的一條直線或一個平面．不難驗證這條直線或這個平面上的所有向量對于向量加法及數(shù)乘運算，分別形成一個一維和二維的線性空間．這就是說，它們一方面都是三維幾何空間的一部分，一方面它們自身對于原來的運算也都構(gòu)成一個線性空間．針對這種現(xiàn)象，引入下面定義．定義8設(shè)V1是數(shù)域F上的線性空間V的一個非空子集合，且對 V中已有的線性運算滿足以下條件：(1)對任意的x,yV1，有xyV1；(2)對任意的xV1,kF，有kxV1．則稱V1為V的線性子空間或子空間．例如，n階齊次線性方程組的解空間是 Rn的子空間．值得指出，線性子空間V1也是線性空間．這是因為V1為V的子集合，所以V1中的向量不僅對線性空間V已定義的線性運算封閉，而且還滿足相應(yīng)的八條運算律．容易看出，每個非零線性空間至少有兩個子空間，一個是它自身，另一個是僅由零向量所構(gòu)成的子集合，稱后者為零子空間．它們稱為平凡子空間．由于線性子空間也是線性空間，因此，前面引入的關(guān)于維數(shù)、基和坐標(biāo)等概念，亦可應(yīng)用到線性子空間中去．由于零子空間不含線性無關(guān)的向量，因此它沒有基，規(guī)定其維數(shù)為零．因為線性子空間中不可能比整個線性空間中更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量，所以，任何一個線性子空間 V1的維數(shù)不大于整個線性空間 V的維數(shù)，即有dimV1 dimV (1)例如,n階齊次線性方程組當(dāng)其系數(shù)矩陣的秩為 r(1 r n)時，其解空間的維數(shù)n r小于Rn的維數(shù)n．下面討論線性子空間的生成問題．設(shè)x1,x2,,xm是數(shù)域F上的線性空間V的一組向量，其所有可能的線性組合的集合15V1 k1x1 kmxm (ki F,i 1,2, ,n)是非空的，而且容易驗證V1對V的線性運算是封閉的，因而V1是V的一個線性子空間．這個子空間稱為由x1,x2,,xm生成(或張成)的子空間，記為L(x1,x2, ,xm) k1x1 kmxm ． (２)在有限維線性空間 V中，它的任何一個子空間都可以由式 (２)表示．事實上，設(shè)V1是V的子空間, V1當(dāng)然是有限維的，如果 x1,x2, ,xm是V1的一個基，那么有V1 L(x1,x2, ,xm)． (３)特別地，零子空間就是由零元素生成的子空間 L(0)．矩陣的值域和核空間(零空間)的理論，在線性最小二乘問題和廣義逆矩陣的討論中都占有重要地位，現(xiàn)定義如下．定義9設(shè)A(aij)Rmn，以ai(i1,2,,n)表示A的第i個列向量，稱子空間L(a1,a2,,an)為矩陣A的值域(列空間)，記為R(A)L(a1,a2,,an).(４)由前面的論述及矩陣秩的概念可知()Rm，且有RArankAdimR(A)．R(A)還可以這樣生成：令x(1,2,,n)T,則Ax(a,a,,a)(1,2,,n)Taaa，12n1122nn這表明Ax為A的列向量組的線性組合．反之，若y為A的列向量組的線性組合，則y1a12a2nanAx．可見所有乘積Ax之集合AxxRn與A的列向量組的線性組合的集合 L(a1,a2, ,an)相同，從而有R(A) Axx Rn . ( ５)同樣可以定義 AT的值域(行空間)為R(AT) ATxx Rm Rn， ( ６)16且有rankAdim()dim(T)．RARA定義10設(shè)A(ij)mn，稱集合xAx0為A的核空間(零空間)，記aR為N(A)，即N(A)xAx0.(７)顯見N(A)是齊次線性方程組Ax0的解空間，它是Rn的一個子空間．A的核空間的維數(shù)稱為A的零度，記為n(A)，即n(A)dimN(A)．例1已知A10101，求A的秩及零度．1解記A(a1,a2,a3)，顯然有a1a2a30，即A的三個列向量線性相關(guān)．但A的任何兩個列向量均線性無關(guān)，故rankA2．又由Ax0可求出x(1,1,1)Tt,t為任意參數(shù)，從而有n(A)1．同樣可以求得rankAT2,(T)0．nA從例1可見，rankAn(A)A的列數(shù)，而()(T)的列數(shù)的nAnA(A)(A行數(shù))．這一事實具有一般性，即若A(aij)Rmn，則有下面的一般公式：rankAn(A)n，(８)()(T)nm.(９)nAnA事實上，因為Ax0的解空間的維數(shù)為n(A)nrankA，從而式(８)成立；又因T(T)m，rankAnA由式(８)減去上式便得式(９)．值得指出的是，當(dāng)ACmn時，同樣有第一節(jié)中定義6和定義7,且式(８)與(９)仍成立．定理８ 設(shè)V1是數(shù)域F上的線性空間Vn的一個m維子空間，x1,x2, ,xm是V1的基，則這m個基向量必可擴充為Vn的一個基．換言之，在Vn中必可找到nm個向量xm1,xm2,,xn，使得x1,x2,,xn是Vn的一個基．證對維數(shù)差nm作歸納法．當(dāng)nm0時，定理顯然成立，因為17x1,x2,,xm已經(jīng)是Vn的基．現(xiàn)在假定nmk時定理成立，考慮nmk1的情形．既然x1,x2, ,xm還不是Vn的基，但它又是線性無關(guān)的，則由定義 1.6可知，在Vn中至少有一個向量 xm1不能被x1,x2, ,xm線性表出，把xm1添加進去，x1,x2,,xm,xm1必定是線性無關(guān)的(因為，若x1,x2,,xr線性無關(guān)，但x1,x2,,xr,x線性相關(guān)，那么x可以被x1,x2,,xr線性表出，且表示法惟一)．由式(３)知子空間L(x1,x2,,xm,xm1)是m1維的．因為n(m1)(nm)1k11k，由歸納法假定知L(x1,x2,,xm,xm1)的基x1,x2,,xm,xm1可以擴充為Vn的基，歸納法完成．二、子空間的交與和前面討論了由線性空間的元素生成子空間的方法與理論．這里將要討論子空間的交與和，可以視為由子空間生成的子空間．首先證明下面的定理．定理９ 如果V1,V2是數(shù)域F上的線性空間V的兩個子空間，那么它們的交集V1 V2也是V的子空間．證 因為0 V1,0 V2,所以0 V1 V2．于是V1 V2是非空的．又若x,y V1 V2，則x,y V1,x,y V2．因V1,V2都是子空間，故x y V1,x y V2，即x y V1 V2．又因?qū)θ我獾?k F，kx V1,kx V2,故kx V1 V2．所以V1 V2是V的子空間．稱V1V2為子空間V1,V2的交．由集合的交的定義可以推知，子空間的交滿足交換律與結(jié)合律，即有V1V2V2V1，(V1V2)V3V1(V2V．)3定義11設(shè)V1,V2都是數(shù)域F上的線性空間V的子空間，xV1,yV2，則所有xy這樣的元素的集合稱為V1與V2的和，記為V1V2，即V1V2zzxy,xV1,yV2定理10如果V1,V2都是數(shù)域F上的線性空間V的子空間，那么它們的和V1V2也是V的子空間．18證顯然V1V2非空．又對任意向量x1y1,x2y2V1V2，設(shè)x1,x2V1，y1,y2V2，則有(x1y1)(x2y2)(x1x2)(y1y2)V1+V2，kF,k(1x1y)kxky+1V，V11這就證明了V1V2是V的子空間．由子空間的和的定義可以推知，子空間的和適合交換律與結(jié)合律，即有V1 V2 V2 V1，(V1 V2) V3 V1 (V2 V3)．例如，在線性空間 R3中，V1表示過原點的直線 l1上所有向量形成的子空間．V2表示另一條過原點的直線 l2上所有向量形成子空間．顯然V1 V2是由l1與l2交點(原點)形成的零子空間； V1 V2是在由l1與l2所決定的平面上全體向量形成的子空間．子空間的交與和可視為子空間之間的兩種運算．如果子空間W V1,W V2，那么W V1 V2．這就是說V1,V2的子空間W是V1 V2的子空間；換言之，V1 V2是包含在V1,V2中的最大子空間．如果子空間W V1,W V2，那么W V1 V2．這就是說包含V1與V2的子空間W也包含V1 V2；或者說V1 V2是包含V1及V2的最小子空間．關(guān)于兩個子空間的交與和的維數(shù)，有如下的定理．定理11(維數(shù)公式)如果V1,V2是數(shù)域F上的線性空間V的兩個子空間，那么有下面公式dimV1dimV2dim(V1V2)dim(V1V2)．(10)證設(shè)dimV1n1,dimV2n2,dim(V1V2)m．需要證明dim(V1V2)n1n2m．當(dāng)mn1時，由V1V2V1知V1V2V1,再由V1V2V2，可得V1V2，從而V1V2V2，故dim(V1 V2) dimV2 n1 n2 m.同理，當(dāng)m n2時，式(10)亦成立．當(dāng)m n1，且m n2時，設(shè)x1,x2, ,xm為V1 V2的基．由定理 9，將它依19次擴充為V1,V2的基．x1, ,xm,y1, ,yn1m;x1, ,xm,z1, ,zn2m,只要證明向量組x1,,xm,y1,,yn1m,z1,,zn2m是V1V2的一個基，這樣一來,V1V2的維數(shù)就等于n1n2m，則式(10)成立．因為V1中任一向量可由x1,,xm,y1,,ynm線性表出，所以也可由1x1,,xm,y1,,ynm,z1,,znm線性表出．同理V2中任一向量也可由它們線性12表出．于是有V1V2L(x1,,xm,y1,,xn1m,z1,,zn2m).剩下還要證明這n1n2m個向量線性無關(guān)．假定k1x1kmxmp1y1pn1myn1mq1z1qn2mzn2m0，令xq1z1qnmznmk1x1kmxmp1y1pnmynm2211則由第一等式有xV2；由第二等式有xV1，因此有xV1V2即x可由x1,x2,,xm線性表出，令xl1x1l2x2lmxm則有l(wèi)1x1l2x2lmxmq1z1qn2mzn2m0但x1,,xm,z1,,znm是V2的基，因此它們線性無關(guān)，所以有2l1lm0,q1qn2m0，從而x0．于是又有k1x1kmxmp1y1pnmynm0，11但x1,,xm,y1,,ynm是V1的基，故它們線性無關(guān)，從而又有1k1km0,p1pn1m0這就證明了x1,,xm,y1,,ynm,z1,,znm線性無關(guān)，因而它是V1V2的12基．20式(10)表明，和空間的維數(shù)往往要比空間維數(shù)的和小．給出和空間V1 V2時，只知道其任一向量 z均可表示為x V1與y V2的和，即z x y．但是，一般說來這種表示法并不是惟一的．例如，在 R3中，若V1表示x1 (1,0,與0)x2 (1,1,1)所生成的子空間；V2表示y1 (0,0,與1)y2 (3,1,2)所生成的子空間．則其和 V1 V2中的零向量 0,一方面可表示為00,即V1中的零向量與V2中的零向量之和，另一方面，零向量又可表示為0 (2x1 x2) (y2 y1)，這就說明零向量的表示法不惟一．針對這種現(xiàn)象，作如下定義．定義12如果V1V2中的任一向量只能惟一地表示為子空間V1的一個向量與子空間V2的一個向量的和，則稱V1V2為V1與V2的直和或直接和，記為V1 V2 (或V1 V2)．定理12和V1 V2為直和的充要條件是V1 V2 L(0)．證充分性設(shè)V1 V2 L(0),對z V1 V2，若有z x1 x2, x1 V1,x2 V2；z y1 y2, y1 V1,y2 V2，則有(x1 y1) (x2 y2) 0, x1 y1 V1,x2 y2 V2，即 (x1 y1) (x2 y2) V1 V2x1 y1 0, x2 y2 0,也就是x1 y1,x2 y2，于是z的分解式惟一，V1 V2為直和．必要性 假定V1 V2為直和，如果V1 V2不為零空間，則在V1 V2中至少有一向量x 0．因V1 V2是線性空間，故有 x V1 V2．今對V1 V2中的零向量既有0 0 0，又有0 x ( x)．這與V1 V2是直和的假定矛盾．推論1設(shè)V1,V2都是線性空間V的子空間，令U V1 V2，則U V1 V2的充要條件為dimU dimV(V ) dVim V．dim (11)1 2 1 221由定理12知，V1V2為直和的充要條件是V1V2L(0)．這與dim(V1V2)0等價，也就是與dimUdimV1dimV2等價．推論1.3如果x1,,xk為V1的基，y1,,yl為V2的基，且V1V2為直和，則x1,,xk，y1,,yl是V1V2的基．證x1,,xk，y1,,yl是V1V2的kl個向量，只需證明它們線性無關(guān)即可．設(shè)一組數(shù)c1,,ck，d1,,dl使c1x1ckxkd1y1dlyl0，則有cxcx(dyld)y1V2V(0．)L11kk11l故c1ck0,d1dl0，也就是x1,,xk，y1,,yl線性無關(guān)．子空間的直和概念可以推廣到多個子空間的情形：設(shè)(1,2,,)是線Viis性空間V的子空間．如果和sx的分解式xVi中每個向量x1xs，i1xiVi(i1,2,,s)是惟一的，則稱該和為直和，記為V1V2Vs．22§1.3 線性變換及其矩陣線性空間是某類客觀事物從量的方面的一個抽象，而線性變換則研究線空間中元素之間的最基本聯(lián)系，本節(jié)介紹線性變換的基本概念，并討論與矩陣之間聯(lián)系．一、線性變換及其運算定義13對于線性空間V，如果存在一種規(guī)則：對于V中每個元素，都有V中一個確定元素與之對應(yīng)，則稱為線性空間V的一個變換，并把這種對應(yīng)關(guān)系記為 ( ) , 稱為 在變換 下的象， 稱為 在變換下的一個原象．1. V中所有元素在變換 下的象所成的集合稱為變換 的象集(或值域)，記為 (V)．顯然， (V) V．定義 14 設(shè) , 都是線性空間V的變換，如果對于任意的 V，總有( ) ( ),則說變換 與變換 相等，記作 ．幾個特殊的變換：恒等變換1*： 1*( ) ， V；零變換0*： 0*() 0， V；數(shù)乘變換k*(k F)：k*( ) k ， V．3. 設(shè) 、 都是線性空間V的變換．可定義 與 的和變換 及乘積變換 為：( )( ) ( ) (， V；( ) [( )]， V．4. 如果V是數(shù)域F上的線性空間，對于 F中的數(shù)k及V的變換 ，可定義 的數(shù)乘變換k 為(k )( )k ( ),V定義15 對于線性空間V的變換 ，若有V的變換 ，使1*，則稱 為可逆變換， 稱為 的逆變換，記為 1．定義16 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間， 是V的一個變換.如果對于V中任意元素 , 以及數(shù)域F中任意的數(shù)k，總有( ) ( ) ( )， (1)23(k ) k ( ，) (2)則稱 為線性空間V的一個線性變換．如果線性空間V的線性變換 還是可逆變換，則稱 為V的一個可逆線性變換．5.( 數(shù)域F上的)線性空間V的線性變換 具有如下一些基本性質(zhì)：1 (0) 0; ( ) ( ),( V)．證 (0) (0 ) 0 ( ) 0，( ) [(1)] (1) ( ) ( )．2 線性變換保持線性組合關(guān)系不變，即對 V中任何向量 1,2,...,s及數(shù)域F中任何數(shù)k1,k2,...,ks總有(k11 k2 2 ks s) k1 (1) k2 (2) ks (s)．線性變換把線性相關(guān)組化為線性相關(guān)組．證若V中向量1,2,...,s線性相關(guān)，則有F中不全為零的數(shù)k1,k2,...,ks使k11k22kss0，于是，(k11k22kss)(0)利用1、2，上式即為k1(1)k2(2)ks(s)0．說明(1),(2),...,(s)是V的一個線性相關(guān)組．4若、都是線性變換，則+，，k(kF)也都是線性變換．證對任意的,V及任意的kF，有()()()()()()()()()()()()()()()()；()(k)(k)(k)k()k()k[()()]k()()．所以+為線性變換．類似可以證明為線性變換．再由(k)()k*(())，而k*是線性變換，可知k 亦為線性變換．5 線性變換滿足如下算律：對于線性空間 V的線性變換 ， ， 及數(shù)域F上的數(shù)k，l，總有24;()();()();();();(kl)kl();(kl)kl;k()kk;6若是可逆線性變換，則1是可逆線性變換．證 只需證 1為線性變換，對于線性空間中的任意向量 , ,有(1)()(1)()[1()][1()][1()][1()]．以1作用等式兩端得1()1()1(．)又，對于V中任意向量及數(shù)域F中的任意數(shù)k，kk(1)()k[1()]k[1，()]以1作用兩端得1(k)k1()．于是知1為線性變換，從而是可逆線性變換．例1在線性空間Pn中，求微分是其一個線性變換，這里用D表示，即Df(t)f(t),f(t)Pn事實上，對任意的f(t),g(t)Pn，及k,lP，有D[kf(t)lg(t)][kf(t)lg(t)]'kf(t)lg(t)k[Df(t)]l[Dg(t)].例2定義在閉區(qū)間[a,b]上的所有實連續(xù)函數(shù)的集合C(a,b)構(gòu)成R上的一個線性空間，在C(a,b)上定義變換J，即tf(u)du,f(t)C.(abJ[f(t)]a則J是C(a,b)的一個線性變換．二、線性變換的矩陣表示設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間， 1,2,...,n是V的一組基．25首先說明：線性空間V的一個線性變換，可以由它對基的作用完全確定．即已知將i化為(i)(i1,2,...,n),則對V中任意向量k11k22knn，必有：()k1(1)k2(2)kn(n)．這說明()被完全確定．由的任意性，知線性變換被完全確定了．從另一個角度看，(i)作為V中向量，又可以由基1,2,...,n惟一地線性表示，設(shè)(1)a111a212an1n(2)a121a222an2n(3)(n)a1n1a2n2annna11a12an1若記Aa21a21an2，an1an2ann則(3)式可表示為((1),(2),...,(n))(1,2,...,n)A.(4)引進記號(1,2,...,n)用來表示((1),(2),...,(n))，故(４)又可表示為：(1,2,...,n)(1,2,...,n)A．(5)(5)式中的n階矩陣A稱為線性變換在基1,2,...,n下的矩陣．顯然，當(dāng)確定時，它在取定基1,2,...,n下的矩陣A是被惟一決定的．事實上，A的第i列正是(i)在基1,2,...,n下的坐標(biāo)．反過來，若給數(shù)域F上一個n階矩陣Aaij，可以證明V上存在惟一的線性變換，使得在基1,2,...,n下的矩陣恰為A．證明過程如下：先構(gòu)造V的一個變換，再證明它是線性變換，并且是滿足(5)式的惟一的線性變換．記i a1i1 a2i 2 ani,n i1,2,...n,26對于V中向量k1 1 k22 knn，令 () k1 1 k2 2 knn，顯然 是V的一個變換． 還滿足：1)對于V中任意向量 ， ，若k11kl11l

22knn，22lnn，按 的定義應(yīng)有() k1 1( ) l1 1

kl

22knn，22lnn，而(kl)1(k2l)2(knl)，112nn于是又有()(k1l1)1(k2l2)2(knln)n，顯然滿足()()(．)2)對于任意的kF，及k11k22knnV，便有()k11k22knn，kkk11kk22kknn，(k)kk11kk22kknn．可見(k)k()．由1)、2)即知是V的線性變換．下面證明線性變換在基1,2,...,n下的矩陣恰為A，即證(５)式成立．事實上，因為i010i11i0i10ni1,2,...,n，故有(i)010i11i0i10nia1i1a2i2anin,i1,2,...,n.即知(５)式成立．由于線性變換對基的作用已經(jīng)由(i)i，(i1,2,...,n)完全確定，所以上述滿足(５)式的線性變換是惟一的．總之，在線性空間V的取定基1,2,...,n之下，V的線性變換與數(shù)域F27上的n階矩陣A相互惟一決定．也可以說，在取定基之下， V的線性變換與F上n階矩陣一一對應(yīng)，其對應(yīng)關(guān)系如(５)所示．例3對于線性空間R[x]3，已知為求導(dǎo)數(shù)的線性變換：[f(x)]f(x)．在基11,2x,3x2下，因為(1)0，(2)11，(3)2x22，所以在基1,2,3下的矩陣為010A002．000即有(1,2,3)(1,2A．,)例4n維線性空間V的線性變換為數(shù)乘變換k*的充分必要條件是在V的任一基1,2,...,n下的矩陣為n階數(shù)量矩陣kE．特別地，線性變換為零變換的充分必要條件是它在任一基下的矩陣為零矩陣；線性變換為恒等變換的充分必要條件是它在任一基下的矩陣為單位矩陣．證如果k*，則有(i)k*(i)ki，i1,2,...,n易知在基1,2,...,n下的矩陣為kkkE．kk(1,2,...,n)k反過來，如有(1,2,...,n)，k即有 (i) ki，i 1,2,...,n．對于任意的 V，設(shè) k11 k22 knn，28則有()k1(1)k2(2)knn()k1k1k2k2knknkk*()．由的任意性，知k*．零變換0*和恒等變換1*不過是數(shù)乘變換k*當(dāng)k0及k1時的特例．例5在取定基下，n維線性空間的線性變換與數(shù)域F上的n階矩陣是一一對應(yīng)的．若設(shè)線性變換、在基1,2,...,n下的矩陣分別為A，B，證明+，及k(kF)在基1,2,...,n下的矩陣恰為A+B，AB及kA．證(1,2,.n..,1)2(nA,，,...,)(1,2,...n,)1(2,n,B...，,)可知：()(1,2,...,n)(()(1),()(2),...,()(n))((1)(1),(2)(2),...,(n)(n))((1),(2),...n,())1((2),n(),...,())(1,2,...,n)A(1,2,...,n)B(1,2,...,n)(AB)．說明在基1,2,...,n下的矩陣恰為A+B．類似可證，k(kF)在基1,2,...,n下的矩陣為AB，kA．定理13設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，在取定基1,2,...,n之下，的V線性變換與F上n階矩陣一一對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)系保持加法、保持乘法、保持?jǐn)?shù)乘．定理14設(shè)線性空間V的線性變換在基1,2,...,n下的矩陣為A,則可逆的充分必要條件是A可逆．并且，當(dāng)可逆時，1在基1,2,...,n下的矩陣恰是A1．證如果線性變換可逆，可設(shè)1在基1,2,...,n下的矩陣為C，于是1在基1,2,...,n下的矩陣為AC．因為11*，由例４知ACE，故A可逆，且CA1，即說線性變換1在基1,2,...,n下的矩陣恰是A1．反之，若線性變換在基1,2,...,n下的矩陣A是可逆的，可設(shè)在基1,2,...,n下與矩陣A1相應(yīng)的線性變換為．于是線性變換在基291,2,...,n下的矩陣應(yīng)為AA1E．再由例2知1*．同理可證1*，故知可逆，且1．例6對線性空間R[x]3，已知為求導(dǎo)數(shù)的線性變換[f(x)]f(x)，在基11,2x,3x2下，因為(1)0,(2)11,(3)2x22，證明不是可逆線性變換；而1*是可逆的線性變換．又，對于R[x]3中的向量f(x)2x2，求出1[f(x)]．解在基11,2x,3x2下的矩陣為0 1 0002．000A顯然不可逆，故由定理 14知 不是可逆的線性變換．因為恒等變換1*是線性變換并且在任一基下的矩陣都是單位矩陣．故知(作為兩個線性變換之和)為線性變換，根據(jù)定理14又知1*在基1,2,3下的矩陣為110BEA012．001因為B可逆，由定理14知為可逆線性變換．故1(1,2,3)(1,2,3)B1．(6)112計算得B1012．001由(６)式可得1(1)1，1(3)21223．故1[f(x)]1(213)21(1)1(3)21(21223)223x2x2．定理15設(shè)1,2,...,n是線性空間V的一組基，線性變換在該基下的矩陣為A．如果V中向量在這組基下的坐標(biāo)為x，則()在該基下的坐標(biāo)為30Ax．證設(shè)x(x1,x2,...,xn)T，即x11x22xnn，于是()x1(1)x2(2)xn(n)x1((1),(2),...,x2(n))x1xnx1(1,2,...,n)Ax2xn(1,2,...,n)(Ax)．可見Ax恰是()在基1,2,...,n下的坐標(biāo)．例7利用定理14計算例6中的1[f(x)]．解f(x)2x2在基1,2,3下的坐標(biāo)為(2,0,1)T，則1[f(x)]在該基下的坐標(biāo)為211220B1001202．100111故有1[f(x)]012232xx2．定理16同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的．具體地說，如果線性空間V的線性變換在兩組基1,2,...,n及1,2,...,n下的矩陣分別是A和B，由1,2,...,n到1,2,...,n的變換矩陣為P，則BP1AP．證(1,2,...,n)(1,2,...,n)A，(1,2,...n,)1(2,n,B...，,)(7)(1,2,...n,)1(2,n,P...，,)此時(1,2,.n..,1)2(nP,1．,...,)于是(1,2,.n..,)12(n(P,,...,))((1,2,...,n))P31(1,2,...,n)AP(1,2,...,n)P1AP．與(７)式對照，注意到線性變換在取定基下的矩陣是惟一的，即知BP1AP.三、特征值與特征向量線性變換的特征值與特征向量對于線性變換的研究，起著十分重要的作用，而且在物理、力學(xué)和工程技術(shù)中具有實際的意義．定義17設(shè)是數(shù)域F上的線性空間V的線性變換，且對F中某一數(shù)0，存在非零向量V，使得0(８)成立，則稱0為的特征值，為的屬于0的特征向量．下面討論特征值和特征向量的求法．設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，1,2,...,n是V的一組基，線性變換在這組基下的矩陣為A.如果是的特征值，是相應(yīng)的特征向量，則x1(1,2,...,n)x2(９)xn把它代入(８)，x1x1x1x1(1,2,...,n)x2(1,2,...,n)Ax2(1,2,...,n)x2(1,2,...,n)(x2)xnxnxnxn由于1,2,...,n線性無關(guān)，所以x1x1x2x2，(10)Axnxn32x1這說明特征向量 的坐標(biāo)x x2 滿足齊次線性方程組xn( E A)x 0 (11)因為 0，所以x 0，即齊次線性方程組(11)有非零解．方程組(11)有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣行列式為零，即E A 0 (12)定義18設(shè)A是數(shù)域P上的n階矩陣， 是一個文字，矩陣 E A稱為A的特征矩陣，其行列式 E A稱為A的特征多項式．方程 E A 0稱為A的特征方程，它的根稱為A的特征根(或特征值)．以A的特征值代入齊次線性方程組(11)所得的非零解x稱為A對應(yīng)的特征向量．設(shè)線性空間V的線性變換 在任意取定的某一組基 1,2,...,n下的矩陣為A．如果 是線性變換 的特征值，則 是矩陣A的特征值；反過來，如果是矩陣A的特征值，即 E A 0，則齊次線性方程組(11)有非零解x，則以x為坐標(biāo)的非零向量x1 1 x22 x2n滿足(8)，即是線性變換的特征值，是的屬于特征值的一個特征向量．因此，線性變換的特征值、特征向量的性質(zhì)可由矩陣的特征值、特征向量的性質(zhì)得到．1 2 0例８ 設(shè)線性變換 在基 1,2,3下的矩陣是A 2 1 0 ，求 的特征0 0 1值與特征向量．解矩陣A的特征多項式為1 2 0E A 2 1 0 ( 21)( ，3)0 0 1所以矩陣A(即線性變換 )的特征值是 1 1(二重)和 2 3．對應(yīng)于特征值 1 1，齊次線性方程組(E A)x 0的基礎(chǔ)解系為33101,0．01因此，線性變換屬于特征值-1的兩個線性無關(guān)的特征向