理論力學第九章剛體的平面運動第1頁，課件共48頁，創作于2023年2月一．平面運動的定義例如:曲柄連桿機構9-1剛體平面運動的概述和運動分解2第2頁，課件共48頁，創作于2023年2月在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面始終保持相等的距離．具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動．例如：車輪運動情況行星齒輪運動情況特點：3第3頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例]曲柄連桿機構AB桿作平面運動的分解：選不同基點時，其動參考系的平移不同。其速度和加速度不同。另外：4第4頁，課件共48頁，創作于2023年2月

2、平面運動隨基點平動的運動規律與基點的選擇有關，而繞基點轉動的規律與基點選取無關，基點的選取是任意的1、在平面運動的分解中，總是以選定的基點為原點，建立一個平移的動參考系（實際機構中可以不存在這個平移物體），所謂繞基點的轉動，是指相對于這個平移參考系的轉動。[注]：(即在同一瞬間，圖形繞任一基點轉動的,都是相同的，因此對于轉動方程無需標明繞哪點轉動或選哪點為基點。)3、通常選取運動情況已知的點作為基點。5第5頁，課件共48頁，創作于2023年2月平面圖形內任一點的運動也可看成兩個運動的合成，可用速度合成定理來求其速度，這種方法就稱為基點法。1、基點法動點：M絕對運動：牽連運動：平移動系：相對運動：(平移坐標系)X’y’任意A,B兩點平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉動速度的矢量和．待求繞點的圓周運動（A）（B）9-2求平面圖形內各點速度的基點法6第6頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例9-1]橢圓規尺的A端以速度vA沿x軸的負向運動，如圖所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。解：1、AB作平面運動,基點:A√√?√?√2、例題分析7第7頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例9-2]圖示平面機構中，AB=BD=DE=l=300mm。在圖示位置時，BD∥AE，桿AB的角速度為ω=5rad/s。求：此瞬時桿DE的角速度和桿BD中點C的速度。解：1、BD作平面運動，基點：B√√?√?C√√?√8第8頁，課件共48頁，創作于2023年2月[注]此瞬時，A、B兩點的速度大小和方向都相同，連桿AB具有平移剛體的特征，因而稱此時連桿作瞬時平動。[例9-3]曲柄連桿機構如圖所示，OA=r,AB=。如曲柄OA以勻角速度ω轉動。解：1AB作平面運動,基點：A?√√√?9第9頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例9-4]圖示的行星輪系中，大齒輪Ⅰ固定，半徑為r1；行星齒輪Ⅱ沿輪Ⅰ只滾而不滑動，半徑為r2。系桿OA角速度為。求：輪Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C兩點的速度。解:1輪Ⅱ作平面運動,基點：A=010第10頁，課件共48頁，創作于2023年2月ⅡωⅡ?√√=方向與vA一致?11第11頁，課件共48頁，創作于2023年2月3．解題步驟根據題意和剛體各種運動的定義，判斷機構中各剛體的運動形式(平移、轉動、平面運動)。2、分析平面運動物體上已知點的速度(大小、方向)。3、運用基點法,先選出基點,再應用公式：，作速度平行四邊形，其中必在四邊形的對角線。4、利用幾何關系，求解平行四邊形中的未知量。5、如需再研究另一作平面運動的物體，重復上述步驟.12第12頁，課件共48頁，創作于2023年2月4、速度投影定理沿AB連線上投影：同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。這種求解速度的方法稱為速度投影法．無須規定投影軸的正向。[思考題：P2209-1]13第13頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例9-5]圖示的平面機構中，曲柄OA長100mm，以角速度ω=2rad/s轉動。連桿AB帶動搖桿CD，并拖動輪E沿水平面純滾動。已知：CD=3CB，圖示位置時A，B，E三點恰在一水平線上，且CD⊥ED。求：此瞬時點E的速度。

基點：A解：1、AB作平面運動2、CD作定軸轉動3、DE作平面運動14第14頁，課件共48頁，創作于2023年2月1、定理基點：A一般情況下,在每一瞬時,平面圖形上都唯一地存在一個速度為零的點,稱為瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。當M在VA垂線上時：C必可找到一點C：9-3求平面圖形內各點速度的瞬心法15第15頁，課件共48頁，創作于2023年2月基點：C2、平面圖形內各點的速度分布平面圖形內任意點的速度等于該點隨圖形繞瞬時速度中心轉動的速度。ABD1、圖形內各點速度的大小與該點到速度瞬心的距離成正比。2、平面圖形的運動可看成繞速度瞬心的瞬時轉動。[注]3、在不同瞬時，速度瞬心在圖形內的位置是不同的。（瞬心）16第16頁，課件共48頁，創作于2023年2月且Ｐ在順轉向繞A點轉90o的方向一側．３．幾種確定速度瞬心位置的方法

①已知圖形上一點的速度和圖形角速度，可以確定速度瞬心的位置（P點）．

②已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動：則圖形與固定面的接觸點P為速度的瞬心．17第17頁，課件共48頁，創作于2023年2月(b)(a)

④已知某瞬時圖形上A,B兩點速度大小,且

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度的方向，且

過A,B兩點分別作速度的垂線,交點P即為該瞬間的速度瞬心.P在A，B兩點之間P在AB的延長線上（速度的方向垂直與兩點的連線）18第18頁，課件共48頁，創作于2023年2月

對④(a)的情況，若vA＝vB，則是瞬時平動．⑤已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與AB連線垂直．圖形瞬心在無窮遠處,角速度=0，圖形上各點速度相等，這種情況稱為瞬時平動。此時各點的加速度不相等。[注]：19第19頁，課件共48頁，創作于2023年2月1、速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。４.速度瞬心法——利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法。若P點為速度瞬心，則任意一點A的速度：方向AP，指向與一致。５.注意的問題2、速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。（在任一瞬時是唯一存在的）20第20頁，課件共48頁，創作于2023年2月

[例]曲柄連桿機構在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動．勻角速度(至少方向不等）3、剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度不一定相同。不同于剛體作平動4、速度瞬心也是一個基點，是一個特殊的速度為零的基點。此點可能在實際圖形內，也可能在實際圖形外。21第21頁，課件共48頁，創作于2023年2月滑塊B作平動。

[例1]已知：曲柄連桿機構OA=AB=l，取柄OA以勻轉動。求：當=45o時,滑塊B的速度及AB桿的角速度。6.例題分析解：運動分析：OA作定軸轉動,AB作平面運動,基點法:研究AB，以A為基點，來分析B點√?vBvAvBA√√?（）22第22頁，課件共48頁，創作于2023年2月根據速度投影定理[注]不能求出速度投影法研究AB:vB

速度瞬心法P[思考]AB桿上任意點C點的速度？CvC必須明確指出是哪一個圖形的瞬心和角速度。已知：OA=AB=l，勻，求：當=45o時,及23第23頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例2]礦石軋碎機的活動夾板AB長600mm，由曲柄OE借連桿組帶動，使它繞A軸擺動，如圖所示。曲柄OE長100mm，角速度為10rad/s。連桿組由桿BG，GD和GE組成，桿BG和GD各長500mm。求：當機構在圖示位置時，夾板AB的角速度。1、桿GE作平面運動,瞬心為C1vEvGC12、vBC2桿BG瞬心為C2：[思考題:P2219-2，9-3]解:150150[注]在每一瞬時，機構中作平面運動的各剛體有各自的速度瞬心和角速度。24第24頁，課件共48頁，創作于2023年2月則B點的運動分解為：（相對運動）由牽連平動時加速度合成定理：一.基點法已知：圖形S內一點A的加速度和圖形的,（某一瞬時）。求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。取A為基點，，將平移坐標系固結于A點。取B動點，（牽連運動）和繞基點A的轉動。SAaABaA隨同基點A的平移9-4用基點法求平面圖形內各點的加速度25第25頁，課件共48頁，創作于2023年2月（）[例1]半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點的速度及加速度,求車輪與軌道接觸點P的加速度．輪O作平面運動，P為速度瞬心，√分析：以O點為基點??√√√故應先求出解：（）（在任何瞬時都成立，且O點作直線運動）二.例題分析26第26頁，課件共48頁，創作于2023年2月速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．當車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心．ao√??√√（與等值反向）已知：R、、求：27第27頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例2]如圖所示，在外嚙合行星齒輪機構中，系桿以勻角速度ω繞O1轉動。大齒輪Ⅱ固定，行星輪Ⅰ半徑為r，在輪Ⅱ上只滾不滑。設A和B是輪緣Ⅰ上的兩點，點A在O1O的延長線上，而點B在垂直于O1O的半徑上。求：點A和B的加速度。1、輪Ⅰ作平面運動解:，瞬心為CCvo2、選基點為Ｏ√√√??3、√??√√28第28頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例3]如圖所示，在橢圓規機構中，曲柄OD以勻角速度ω繞O軸轉動。OD＝AD＝BD＝l。求：當時，尺AB的角加速度和點A的加速度。解:1AB作平面運動,瞬心為CvAvBCvD?√√√???x’y’√29第29頁，課件共48頁，創作于2023年2月[習題]柄滾輪機構,滾子半徑R=15cm,n=60rpm求：當=60o時(OAAB),滾輪的Ｂ，．30第30頁，課件共48頁，創作于2023年2月已知:柄滾輪機構,滾子半徑R=15cm,n=60rpm求：當=60o時(OAAB),滾輪的Ｂ，．解：OA定軸轉動,AB桿和輪B作平面運動1、研究AB：vBP1P231第31頁，課件共48頁，創作于2023年2月）(2、研究輪B，取A為基點，√?√√√?將上式向BA方向上投影：P2已知：滾子半徑R,n求：當=60o時(OAAB),滾輪的Ｂ，．??[P221思考題9-4，9-5]32第32頁，課件共48頁，創作于2023年2月4.基點

可以選擇平面圖形內任意一點,通常是運動狀態已知的點．隨基點的平動（平動規律與基點的選擇有關）繞基點的轉動（轉動規律與基點的選擇無關）本章內容小結剛體運動時，其上任一點到某固定平面的距離保持不變．

2.剛體平面運動的簡化可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內的運動代替剛體的整體運動．3.剛體平面運動的分解分解為1.剛體平面運動的定義9-5運動學綜合應用舉例33第33頁，課件共48頁，創作于2023年2月1）任一瞬時,平面圖形或擴大部分都唯一存在一個速度為零的點。2）瞬心位置隨時間改變．每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉動．6.剛體定軸轉動和平面平動是剛體平面運動的特例．7.求平面圖形上任一點速度的方法1）基點法：2）速度投影法：3）速度瞬心法：其中，基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例．5.瞬心（速度瞬心）34第34頁，課件共48頁，創作于2023年2月合成運動方法常用來確定兩個相接觸的物體在接觸點處有相對滑動時的運動關系的傳遞．

8.求平面圖形上一點加速度的方法9.平面運動方法與合成運動方法的應用條件基點法：是最常用的方法。A為基點,如同點的合成運動，求平面圖形上一點的加速度時,一般需要選擇合適的投影軸。一個矢量方程，只能求解兩個未知量。平面運動方法用于研究一個平面運動剛體上任意兩點的速度、加速度之間的關系及任意一點的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關系．35第35頁，課件共48頁，創作于2023年2月運動學綜合應用問題（重點）一般可分為四類：1、只可能用點的合成運動方法求解的題目；2、只可能用剛體的平面運動方法求解的題目；3、既可以用點的合成運動方法求解又可以用剛體平面運動方法求解的題目；4、既要用到點的合成運動方法求解又要用到剛體平面運動方法求解的題目。(重點、難點)

36第36頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例1]圖示平面機構，滑塊B可沿桿OA滑動。桿BE與BD分別與滑塊B鉸接，BD桿可沿水平軌道運動。滑塊E以勻速v沿鉛直導軌向上運動，桿BE長為。圖示瞬時桿OA鉛直，且與桿BE夾角為。求：該瞬時桿OA的角速度與角加速度。1、桿BE作平面運動,取E為基點:解:瞬心在O點vB?√√√√0?沿BE方向投影:??37第37頁，課件共48頁，創作于2023年2月牽連運動：定軸轉動(軸O)√√√沿DB方向投影:vavrve??（點的合成運動）動點：滑塊B動系：OA桿絕對運動：直線運動(BD)相對運動：直線運動(OA)38第38頁，課件共48頁，創作于2023年2月沿BD方向投影:√??0√√√√??39第39頁，課件共48頁，創作于2023年2月求：此瞬時桿AB的角速度及角加速度。[例2]在圖所示平面機構中，桿AC在導軌中以勻速v平移，通過鉸鏈A帶動桿AB沿導套O運動，導套O與桿AC距離為L。圖示瞬時桿AB與桿AC夾角為。1、動點：鉸鏈A動系：套筒O定軸轉動(軸O)解:√√√??Lvevavr絕對運動：直線運動(AC)相對運動：直線運動(AB)牽連運動：40第40頁，課件共48頁，創作于2023年2月L√??√√√√0??41第41頁，課件共48頁，創作于2023年2月1取坐標系xoy2A點的運動方程3速度、加速度l另解:XY42第42頁，課件共48頁，創作于2023年2月[例3]圖所