黑龍江省哈爾濱市第一四八中學2022年高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合M＝｛x|＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，則M∩N＝__________參考答案：(2,3)2.已知向量=（1，﹣1），則下列向量中與的夾角最小的是（）A．（1，0） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（﹣1，0）參考答案：A【考點】數量積表示兩個向量的夾角．【專題】轉化思想；平面向量及應用．【分析】利用向量夾角公式即可得出．【解答】解：設下列向量與的夾角為θ，利用向量夾角公式可得：cosθ=，經過驗證可得：只有A中的向量與的夾角θ=45°最小．故選：A．【點評】本題考查了向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3.設集合，，則“”是“”（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是（）．

．

．

．參考答案：A由三視圖知，原幾何體為一個正方體挖掉一個正四棱錐其中正方體的棱為2，正四棱錐的底面邊長為正方體的上底面，高為1.∴原幾何體的體積為,選A.5.已知命題；命題，則下列命題中真命題的為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B6.函數f(x)的定義域為R，f(－1)＝2，對任意x∈R，f′(x)＞2，則f(x)＞2x＋4的解集為()．A．(－1,1)

B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)

D．(－∞，＋∞)參考答案：B7.已知拋物線,過焦點且斜率為的直線與相交于兩點,且兩點在準線上的投影分別為兩點,則（

）A.

B.

C. D.參考答案：B由題意可得直線與拋物線聯解得：，所以點，，則．在中，邊上的高，則，故答案選B．方法二:不防設交點在軸上方,由拋物線焦點弦性質得,且,，故，，所以，故答案選B．8.已知,則

A．

B．

C．

D．參考答案：D9.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積是（）A．32π B．4π C．48π D．12π參考答案：D【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；數形結合；數形結合法；立體幾何．【分析】作出幾何體的直觀圖，根據棱錐的結構特征計算外接球的半徑，得出球的面積．【解答】解：由三視圖可知幾何體為底面為正方形的四棱錐P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，取BD中點O'，PB中點O，連結OO'，則OO'∥PA，∴OO'⊥平面ABCD，∴O為四棱錐P﹣ABCD的外接球球心，∵OO'==1，O'B==，∴OB==．∴棱錐外接球的面積S=4πOB2=12π．故選D．【點評】本題考查了棱錐的三視圖和結構特征，棱錐與球的關系，屬于中檔題．10.某地區的綠化面積每年平均比上一年增長10.4%，經過x年，綠化面積與原綠化面積之比為y，則y=f（x）的圖象大致為（）A．B．C．D．參考答案：D考點：函數的圖象與圖象變化．專題：函數的性質及應用．分析：依題意，可得到綠化面積與原綠化面積之比的解析式，利用函數的性質即可得到答案．解答：解：設某地區起始年的綠化面積為a，∵該地區的綠化面積每年平均比上一年增長10.4%，∴經過x年，綠化面積g（x）=a（1+10.4%）x，∵綠化面積與原綠化面積之比為y，則y=f（x）==（1+10.4%）x=1.104x，∵y=1.104x為底數大于1的指數函數，故可排除A，當x=0時，y=1，可排除B、C；故選D．點評：本題考查函數的圖象，著重考查指數函數的性質，考查理解與識圖能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知中，，延長到點，連接，若且，則

．參考答案：略12.已知橢圓與軸相切，左、右兩個焦點分別為，則原點O到其左準線的距離為

▲

．

參考答案：略13.設是由正數組成的等比數列，公比=2，且，那么=_________。參考答案：14.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

▲

．參考答案：15.某射擊運動員在練習射擊中，每次射擊命中目標的概率是，則這名運動員在10次射擊中，至少有9次命中的概率是

．（記，結果用含p的代數式表示）參考答案：考點：相互獨立事件的概率乘法公式．專題：概率與統計．分析：利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率計算公式能求出至少有9次命中的概率．解答： 解：∵，∴至少有9次命中的概率：=．點評：本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率的求法．16.若實數滿足，則的最小值為

參考答案：

解析：

即，17.過雙曲線的左焦點，作圓的切線，切點為E，延長EF交雙曲線右支于點P，若E是FP的中點，則雙曲線的離心率為________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，D為BC邊上一點，，，，.（1）求；（2）求△ABC的面積．參考答案：（1）（2）3【分析】（1）直接運用余弦定理，求出，進而求出的大小；（2）通過（1）可以判斷出的形狀，根據，可以求出的面積.【詳解】（1）已知，，，在中，由余弦定理得，又因為，所以.（2）因為，所以，因，所以為等腰直角三角形，可得，所以.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，，，，

，AB⊥平面PAD，點M在棱PC上．（1）求證：平面PAB⊥平面PCD；（2）若直線PA//平面MBD，求此時三棱錐P-MBD的體積．參考答案：(1)見證明；(2)【分析】(1)先利用正弦定理以及三角形內角和定理證明,結合可得平面，由此能證明平面平面；(2)連結與交于點，連結,可證明，由=，由此能求出三棱推的體積.【詳解】（1）因為AB⊥平面PAD，所以AB⊥DP，又因為，AP=2，∠PAD=60°，由，可得，所以∠PDA=30°，所以∠APD=90°，即DP⊥AP，因為，所以DP⊥平面PAB，因為，所以平面PAB⊥平面PCD（2）連結AC，與BD交于點N，連結MN，因為PA//平面MBD，MN為平面PAC與平面MBD的交線，所以PA//MN，所以，在四邊形ABCD中，因為AB//CD，所以，所以，，.因為AB⊥平面PAD，所以AB⊥AD，且平面APD⊥平面ABCD，在平面PAD中，作PO⊥AD，則PO⊥平面ABCD，因為，所以因為CD=3.所以，所以.【點睛】本題主要考查面面垂直的判定定理，以及錐體的體積公式，割補法的應用，屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關系時，一般要根據已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關系進行轉化，轉化時要正確運用有關的定理，找出足夠的條件進行推理.

20.過點的直線l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，．（1）求p的值；（2）若l與坐標軸不平行，且A關于x軸的對稱點為D，求證：直線BD恒過定點．參考答案：(1)(2)見證明【分析】(1)由題意分類討論直線的斜率存在和斜率不存在兩種情況即可確定p的值；(2)設出點的坐標，結合(1)中的結論利用點斜式得到直線BD的方程，由直線方程即可證得直線恒過定點.【詳解】（1）當直線軸時，可得，，由得，，當直線與軸不垂直時，設的方程為代入得，設，，則，由得，即，，，綜上所述.（2）由（1）知拋物線方程為，由于，關于軸對稱，故的坐標為，所以直線的方程為，即，又，所以，直線恒過點.【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．21.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，側面底面，，，，為中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在上是否存在一點，使得平面?若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由參考答案：(1)

，且O為中點，，又側面底面，交線為，，平面.

(4分)(2)如圖，以O為原點，分別以OB、OC、所在直線為x、y、z軸，建立空

間直角坐標系，則由題可知，，，.，令平面的法向量為，則，而，，可求得一個法向量，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.

(8分)(3)存在點為線段的中點.證明：連結交于點，連結、，則為的中點，從而是的一條中位線，，而平面，平面，所以平面，故的中點即為所求的點.

(12分)22.（1）設函數f（x）=|x﹣2|+|x+a|，若關于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求實數a的取值范圍；（2）已知正數x，y，z滿足x+2y+3z=1，求的最小值．參考答案：【考點】絕對值三角不等式；基