第三章函數逼近與曲線擬合1函數的逼近與基本概念1.1問題的提出多數計算機的硬件系統只提供加、減、乘、除四種算術運算指令，因此為了計算大多數有解析表達式的函數的值,必須產生可用四則運算進行計算的近似式，一般為多項式和有理分式函數.實際上，我們已經接觸到兩種逼近多項式,一種是泰樂多項式，一種是插值多項式．泰樂多項式是一種局部方法，誤差分布不均勻,滿足一定精度要求的泰樂多項式次數太高，不宜在計算機上直接使用.例如,設是上的光滑函數，它的Tayｌor級數，在上收斂。當此級數收斂比較快時,。這個誤差分布是不均勻的。當時，,而離開零點增加時,單調增加，在誤差最大。為了使的所有滿足，必須選取足夠大的,這顯然是不經濟的。插值函數出現的龍格現象表明，非節點處函數和它的插值多項式相差太大。更重要的是,實際中通過觀測得到的節點數據往往有各種誤差，此時如果要求逼近函數過全部節點，相當于保留全部數據誤差，這是不適宜的。如圖１所示，給出五個點上的實驗測量數據，理論上的結果應該滿足線性關系,即圖1中的實線。由于實驗數據的誤差太大,不能用過任意兩點的直線逼近函數。如果用過５個點的４次多項式逼近線性函數，顯然誤差會很大。實驗數據實驗數據真函數插值多項式逼近精確的線性逼近圖11.2范數與逼近一、線性空間及賦范線性空間要深入研究客觀事物，不得不研究事物間的內在聯系，給集合的元素之間賦予某種“確定關系”也正是這樣的道理．數學上常把在各種集合中引入某些不同的確定關系稱為賦予集合以某種空間結構,并將這樣的集合稱為空間。最常用的給集合賦予一種“加法”和“數乘”運算,使其構成線性空間.例如將所有實維數對組成的集合,按照“加法”和“數乘”運算構成實數域上的線性空間,記作,稱為維向量空間.類似地，對次數不超過的實系數多項式全體，按通常多項式與多項式加法及數與多項式乘法也構成數域上一個線性空間,用表示，稱為多項式空間。所有定義在上的連續函數集合，按函數加法和數與函數乘法構成數域上的線性空間,記作.類似地，記為具有階連續導數的函數空間.在實數的計算問題中，對實數的大小、距離及誤差界等是通過絕對值來度量的.實踐中，我們常常會遇到對一般線性空間中的向量大小和向量之間的距離進行度量的問題，因此有必要在一般線性空間上，賦予“長度”結構，使線性空間成為賦范線性空間.定義1設是數域上一個線性空間,在其上定義一個實值函數，即對于任意及，有對應的實數和，滿足下列條件(1)正定性:,而且當且僅當；(2)齊次性：；(3)三角不等式：；稱為上的范數,定義了范數的線性空間就稱為賦范線性空間.以上三個條件刻劃了“長度”、“大小”及“距離”的本質，因此稱為范數公理．對上的任一種范數,，顯然有．上常用的幾種范數有:(1)向量的－范數:(2）向量的1-范數:(3)向量的2-范數：(4)向量的－范數:其中，可以證明向量函數是上向量的范數.前三種范數是－范數的特殊情況（).我們只需表明(1).事實上及，故由數學分析的夾逼定理有。類似地對連續函數空間，可定義三種常用范數:（1)-范數：(２)１-范數：(3)2－范數：可以驗證這樣定義的范數均滿足定義１中的三個條件.二、內積與內積空間在線性空間中，僅規定了加法與數乘兩種運算．為了使線性空間中的向量元素之間具有夾角的概念,我們需引入第三種運算—內積.定義2設是數域(或）上的線性空間，對有中一個數與之對應，記為，它滿足以下條件——內積公理:（1)共軛對稱性：(2)第一變元線性：(3）正定性:，當且僅當時,則稱二元函數為上與的內積.定義了內積的線性空間稱為內積空間.當實線性空間，稱是實內積空間；當復線性空間,稱是復內積空間.如果,則稱與正交，這是中向量相互垂直概念的推廣．定理1設為一個內積空間,對，有(１.1)稱為Cａuchy－Ｓchwarz不等式.證明設,則,對如何實數有取,代入上式右端，得即(1.1)式得證.當時，（１.1)式顯然成立．定理2設為一個內積空間,,矩陣（1.２）稱為克萊姆(Grａmｅｒ)矩陣，則非奇異的充分必要條件是線性無關.證明奇異存在非零向量,使得.即即線性相關．□定理3（Gram-Scｈmidt正交化方法)如果是內積空間中一個線性無關的序列,則可按照公式(1．3）產生一個正交序列,滿足,而且此序列是的一組基.在內積空間上可以由內積導出一種范數,即對于，記容易驗證它滿足范數的定義，其中三角不等式可以由定理1證明.例1與的內積.設，，則內積可定義為(1.４)由此導出向量2-范數為若給定實數,稱為權系數,則在上可定義加權內積為（1.5)相應的范數為不難驗證(1.5）給出的滿足內積定義3.2的條件.當時,(１.5)就是(1．4）．如果，帶權內積定義為其中仍為正實數序列,為的共軛.也可以在上定義帶權的內積,為此,我們先給出權函數的定義.定義3設是有限或無限區間，在上的非負函數滿足條件：(1）存在且為有限值；(2)對上的非負連續函數,如果，則．則稱是區間上的一個權函數.從定義可看出：1)為上的非負可積函數，且當為無限區間時,要求具有任意的衰減性;2）在的任一子區間上不恒等于零.例2上的內積.設,是上給定的權函數，則可定義內積容易驗證它滿足內積定義的四條性質,由此內積導出的范數為分別稱為帶權的內積和范數，特別常用的是的情形,即三、逼近用簡單函數組成的函數類中“接近”于的函數近似地代替，稱是的一個逼近,稱為被逼近函數,兩者之差(1.6)稱為逼近的誤差或余項．這里必須表明兩點:其一是函數類的選取.何為簡單函數？在數值分析中所謂簡單函數主要是指可以用四則運算進行計算的函數,最常用的有多項式及有理分式函數；其二是如何確定與之間的度量.定義4設為定義在區間上某類函數組成的線性賦范空間，是中給定的函數,若在函數類中,求得函數，使逼近誤差滿足下列不等式（1.7)則稱是函數類中對滿足精度的一致逼近.定義５設為定義在區間上某類函數組成的線性賦范空間,是中給定的函數，若在函數類中，求得函數，使逼近誤差滿足下列不等式(1.8)則稱是函數類中對滿足精度的平方逼近.定義６設是一線性賦范空間，是的一個子集．如果對于中給定的,在中存在一元素，使得（１.9）則稱是中對的最佳逼近．特別地,若,稱為最佳一致逼近；若,稱為最佳平方逼近.本章討論最佳一致逼近及最佳平方逼近是否存在?是否唯一？如何構造最佳逼近等.2曲線擬合的最小二乘法在生產實際和科學實驗中有很多函數，它的解析表達式是不知道的,僅能通過實驗觀察的方法測得一系列節點上的值。即得到一組數據或者說一組點。現在的問題是尋求的近似表達式，用幾何語言來說就是尋求一條曲線來擬合（平滑)這個點,簡言之求一曲線擬合。一般給定數據點的數量較大，且準確程度不一定高,甚至于個別點有很大的誤差,形象地稱之為“噪音”。若用插值法求之，欲使滿足插值條件，勢必將“噪音”帶進近似函數，因而不能較好地描繪。曲線擬合是求近似函數的又一類數值方法。它不要求函數在節點處與函數同值,即不要求近似曲線過已知點,只要求它盡可能反映給定數據點的基本趨勢，在某種意義下“逼近”函數。下面我們先舉例說明。例1給定一組數據如下:1234２４6８1.1２.８4.97.２求的函數關系。解先作草圖。如圖2所示，這些點的分布接近一條直線,因此可設想為的一次函數。設（2.1)從圖2不難看出，無論取何值，直線都不可能同時過全部數據點。怎樣選取，才能使直線（2.1)“最好”地反映數據點的基本趨勢?首先要建立好的標準。224688642圖2假設已經確定，為由近似函數求得的近似值，它與觀測值之差稱為殘差。顯然，殘差的大小可作為衡量近似函數好壞的標準。常用的準則有以下三種：(1)使殘差的絕對值之和最小，即;(2)使殘差的最大絕對值最小,即;(3)使殘差的平方和最小,即。準則(1)的提出很自然,也合理，但實際適用不方便。按準則(2）來求近似函數的方法稱為函數的最佳一致逼近。按準則（3)確定參數，求得近似函數的方法稱為最佳平方逼近,也稱曲線擬合(或數據擬合)的最小二乘法。它的計算比較簡便,是實踐中常用的一種函數比較方法。2．１最下二乘原理根據給定的數據組，選取近似函數形式,即選擇函數類，求函數,使得為最小。這種求近似函數的方法稱為數據擬合的最小二乘法,稱為這組數據的最小二乘函數。通常取為一些比較簡單函數的集合。用最小二乘法求擬合曲線時,最困難和關鍵的問題是確定的形式，這不單純是數學問題,還與所研究問題的運動規律及觀察數據有關。通常是畫出觀察數據的草圖，并結合實際問題的運動規律，確定的形式。此外,在實際問題中,由于各點的觀測數據精度不同，常常引入加權方差,即確定參數的準則為使得最小，其中為加權系數(可以是實驗次數或的可信程度等)。２.２法方程在指定的函數類中求擬合已知數據的最小二乘解的關鍵在于確定系數。它可轉化為多元函數極小值問題。由極值的必要條件，得方程組即記則法方程組為（２．２)其中，,必須指出的是:由函數族的線性無關性，不能保證以上矩陣非奇異。為保證非奇異,必須附加另外的條件。定義7設的任意線性組合在點集上至多只有個不同的零點，則稱在點集上滿足哈爾(Ｈaaｒ）條件。顯然在任意個點上滿足哈爾條件。可以證明,如果在點集上滿足哈爾（Hａar）條件,則法方程(２.2)的系數矩陣非奇異，于是方程(2.２)存在惟一的解,從而可獲得最小二乘擬合函數。可以證明這樣得到的的確是最小二乘解。2.3常用的擬合方法一、多項式擬合數據是,。法方程為即（2.3）例2求數據表1234-1-0．75-０．5－0.25-0.２20９0.3295０．88261．4３2956７8900.2５0.50.7512．00０32.５6４５３.13343．7601４.2836的最小二乘二次擬合多項式。解二次擬合多項式為，將數據代入正則方程組(2.3）,可得其解為，所以此數據組的最小二乘二次擬合多項式為二、通過變換轉化為線性擬合問題我們的基本思路是通過作變換,將非線性擬合問題轉化為線性擬合問題求解，然后經反變換求出非線性擬合函數。1)指數函數。如果數據組的分布近似指數曲線,則可考慮用指數函數去擬合數據,按最小二乘原理，的選取使得為最小。由此導出的正則方程組是關于參數的非線性方程組,稱其為非線性最小二乘問題。作變換：,則有其中。上式右端是線性函數。當函數求出后,則函數的數據組經變換后，對應函數的數據組為。例3設一發射源的發射強度公式形如，現測得與的數據如下表０.2０．30.40.5０.60.70.83.162．381.７51.341.０00.740.56解先求數據表0．20.30.40.50.6０.70.81.1506０.86710.55960．2927０.００00-0.３011－0.5798的最小擬合直線。將此表數據代入正則方程組(2.3）,可得其解為。所以發射強度公式近似為。2)雙曲函數。例4在某化學反應里，根據實驗所得生成物的濃度與時間關系如下表，要求濃度與時間的擬合曲線。時間(分）１２345678濃度4.０５.４8.03.89.229.５9.7９.８910１112１314１５1６10.010.210.3２10.4210.5１0.５51０.5８1０.6024681012246810121416108642圖3它與給定數據的規律大致符合。上述模型是非線性參數問題,可以通過變量的變換變為線性參數的數學模型擬合數據。其中分別由原始數據根據變換公式計算出來。我們建立相應的法方程組解此方程組得從而得擬合曲線求數據組的最小二乘擬合函數的步驟：(１）由給定數據確定近似函數的表達式,一般可通過描點觀察或經驗估計得到;(2)按最小二乘原則確定表達式的參數，即由正則方程組，求解得參數。值得注意的是:一些簡單的非線性最小二乘問題通常先作變換將問題轉化為線性最小二乘問題求解。評論:（1)先作變量代換對新變量求最小二乘擬合函數，然后再還原所得近似函數與直接對原變量按最小二乘原則求得擬合函數是不同的。但由于實際計算時,人們主要關心的是問題的簡化,就把兩者較小的差別忽略了。（2）以上我們是通過描點觀察或經驗估計來確定擬合函數的形式，更一般的擬合函數的選擇問題，請參考馮康所編著的《數值分析》。（3）當時,最小二乘法的正則方程組一般是病態的，愈大病態情形更嚴重。為了避免求解病態方程組，我們必須引入點集上的正交函數族。對離散和連續兩種情形，通過引進內積與范數的概念，將它們統一起來。在離散情形,我們定義函數與的內積為在連續情形，則定義函數與的內積為容易驗證以上兩種均定義了內積空間。注:對離散情形，說是指在點不全為零。2）點集上的正交函數擬合定義8若函數族在點集上滿足(2.4）則稱為帶權關于點集的正交函數族。如果為點集上的正交函數族,則法方程為其中(2.5)因此擬合函數為(2．6)其中(2．7)平方誤差為(2.8)通過Schｍidt方法，可構造下列多項式系(）(２.9)是以為權關于點集的正交函數族，其中（２．1０)注：1）條件保證分母，。因為分母中的最高是次多項式,最多有個根。2）關于點集的正交多項式族是一個有窮的序列。事實上，如果個非零向量互相正交,那么是維空間的基向量,因此任何一個與它們都正交的向量必然是零向量,即。于是這就意味著多項式不再滿足正交性。下面用歸納法證明這樣給出的是正交的，即。由對稱性，不妨設。由(2.９）及(2.10)，顯然假設命題成立，那么當時(2．11)由歸納法假定,當時另外，是首項系數是為１的次多項式，它可由的線性組合表示,而，故由歸納法假定又有于是由式(２．1１）,當時，。當時，由式(2.9)及歸納假設得（2．12)由假設于是。當時,有至此已證明了由(2.9)及(2.10）確定的多項式組成一個關于點集的正交系。利用關于點集的正交函數族求數據組的最小二乘擬合多項式的過程是：(1)利用式(2.9)和(2.10）構造正交函數族；（2)由(2.6)－(2．７)得最小二乘次擬合多項式。例5利用正交函數族求例2所給數據表的最小二乘二次擬合多項式。解按式(２.9)和（２.10)計算，得由式(2.7)，得得最小二乘二次擬合多項式為３正交多項式正交多項式是函數逼近的重要工具，在數值積分中也有重要的應用.3．１正交函數族與正交多項式定義9若,為上的權函數且滿足(3.1)則稱與在上帶權正交.若函數族滿足關系(3.2）則稱是上帶權的正交函數族；若,則稱之為標準正交函數族.例如,三角函數族就是在區間上的正交函數族。因為對有與時而對,當時有定義10設是是首項系數的次多項式,為上的權函數,如果多項式序列滿足關系式（3．2)，則稱多項式序列為在上帶權正交,稱為上帶權的次正交多項式．只要給定區間及權函數,均可由一族線性無關冪函數，利用Gｒam-Schmidt方法構造出正交多項式序列：,(3.３)這樣構造的具有如下基本性質:(１)是最高次項的系數為1的次多項式;(2)對任何均可表示為的線性組合,即（３）與任何次數小于的多項式正交，即關于正交多項式還有一些重要性質定理４設是上帶權的正交多項式，對成立遞推關系(３.４)其中這里.定理5設是在上帶權的正交多項式序列,則在區間內有個不同的零點.證明設為內的變號點，顯然,則在上不變號，故.另一方面，因為在上帶權對所有次數小于的多項式正交,所以若，則有矛盾.這說明,于是在內具有個不同的零點.證畢.３.２勒讓德(Ｌegendｒｅ）多項式當區間為,權函數時,由正交化得到的多項式序列稱為勒讓德多項式,并用表示.這是勒讓德１７85年引進的．1984年羅德利克(Ｒodrigul)給出了勒讓德多項式的簡單表達式(3.5)由于是次多項式，求階導數后得于是得首項的系數.顯然最高次項系數為１的勒讓德多項式為(3.6）Leｇendｒｅ多項式具有下述幾個重要性質:性質1(正交性）證明利用與的對稱性,不妨設．為了明了起見,令,則有用分部積分有分兩種情況討論：（a),則上式右邊積分的被積函數的第一因子為零，所以積分為零;(b)，此時可得由于利用分部積分可得故由此可得。性質2（奇偶性）.由于是偶次多項式,經過偶次求導為偶次多項式,經過奇次求導為奇次多項式．故為偶數時為偶函數,為奇數時為奇函數．性質3(遞推關系)其中.考慮次多項式，它可表示為.兩邊乘，并從到1積分,并由正交性得.當時,次數小于等于,上式左端積分為0,故得.當時，為奇函數,左端積分仍為０,故.于是,其中性質4在區間內有個不同的實零點．３.３Ｃｈebｙsheｖ(切比雪夫）多項式1）第一類切彼雪夫多項式當權函數,區間為時，由多項式序列正交化得到的多項式序列就是第一類切比雪夫多項式，可表示為（３.７)若令,則．切比雪夫多項式具有許多重要性質.性質1（遞推關系)利用三角恒等式令即可得.由遞推關系可推出由遞推關系可得到的最高次項系數是.此外,實際計算中常常要求用的線性組合表示,其公式為（3.8)性質2（正交性)事實上，令,則，于是性質3只含的偶次冪,只含的奇次冪.由遞推公式,可歸納證明。也可以直接從定義出發證明這個性質即.性質4在區間內有個零點和個極值點事實上，由，則有故有,從而，即為的零點。令，可得極值點它們都在區間內。極值是性質5的首項的系數為。2)第二類切彼雪夫多項式當權函數,區間為時,由多項式序列正交化得到的多項式序列就是第二類切彼曉夫多項式。即(３．9）具有性質：性質1(正交性)事實上,左端令，有性質2(遞推關系）由定義可知。利用恒等式即得。３）第一、二類切彼雪夫多項式之間的關系.(1)(2)的零點都落在,并且就是的極值點。３.４拉蓋爾多項式在區間上帶權的正交多項式稱為拉蓋爾（Lagｕerrｅ）多項式，其表達式為(3.１０）首項系數是，且具有如下特性:(1)正交性（２)遞推公式３．5埃爾米特多項式在區間上帶權的正交多項式稱為埃爾米特（Hermitｅ）多項式，其表達式為（３．11)首項系數是,且具有如下特性:(1)正交性(２)遞推公式4最佳一致逼近多項式本節討論用多項式均勻逼近連續函數的問題．著名的維爾斯特拉斯（Ｗeierstraｓs)定理表明，可以用多項式任意逼近閉區間上的連續函數。定理6設在上連續,則對任意,存在多項式，使得１912年伯恩斯坦(Bernｓtein)在區間上構造了次伯恩斯坦多項式(4．１)并且證明了在上一致成立．伯恩斯坦多項式在整個區間上具有良好的一致逼近性質，但它有一個嚴重的缺點,就是收斂速度太慢.因此它只具有定性理論分析價值,實踐中很少使用.4.１連續函數的最佳一致逼近多項式定義11設,,若函數滿足(4．2)即則稱為在中的最佳一致逼近多項式。稱為與的偏差。若,滿足則稱為的偏差點。若為正偏差點,為偏差點。定理7若,則存在惟一的,使。證明可參考關治編《數值分析基礎》（高等教育出版社,19９８年5月第一版)。定理7表明,連續函數的最佳逼近多項式存在且惟一。定理8是的最佳逼近多項式的充分必要條件是在上至少有個輪流為正負的偏差點。定理8揭示了最佳一致逼近多項式的特征性質。由此定理,容易驗證是在上的零次最佳一致逼近多項式,其中分別在上的最大值和最小值。事實上，因為在上連續,由閉區間上連續函數性質,存在上兩點，使得，從而有且即分別是負、正偏差點。若令,則是首項系數為１的切比雪夫多項式。若記為所有次數小于等于的首項系數為1的多項式集合,對有以下性質定理9所有最高次項系數為１的次多項式中,與零的偏差最小，即且偏差為。推論1具有形式那么在中的最佳一致逼近多項式是(4.３)４.2切比雪夫插值法切比雪夫多項式在區間內有個零點和個極值點,這兩組點成為切比雪夫點,它們在插值中有重要作用。我們知道,當時,變換的幾何意義是將單位圓中的上半圓周上的點投影到軸上的線段(見圖4)圖4圖4現將上半圓周等分，第一個分點對應,最后一個分點對應，則個分點便分別對應.將其投影到軸便有。因此切比雪夫點恰好是單位圓周上等距分布點的橫坐標。Ｃhｅbyshev插值法是以的個零點為節點，構造的次插值多項式，它作為次最佳一致逼近多項式的近似。定理10設插值節點為切比雪夫多項式的零點，被插函數,為相應的插值多項式,則證明由拉格朗日插值余項公式,由于與多項式有相同的零點,且最高次項系數為1，故必有于是因此以上結果都是在區間上定義的，對于一般區間,引入變量替換可將變換到。例如，考慮一般區間上的定理10，插值節點是例5函數的最佳平方逼近圖５中的曲線，若使用直線近似,從最佳一致逼近的角度看，直線應比好。因為直線與曲線的偏差要比直線與曲線的偏差大。然而，顯然直線比更好地反映出原曲線所代表之函數關系，這說明逼近的標準有問題。最佳一致逼近考慮的是整個區間上的絕對誤差的絕對值的最大值，對每一點的誤差都看成具有同等重要性,過于重視局部小區段上的誤差,因此對于那些僅個別小區段上有較大誤差的函數，最佳一致逼近反而不能很好反應其真實情況。因此，根據不同的實際問題，應引入不同的度量標準。圖圖5直線直線曲線5．１一般概念及方法定義1２設及中的子集,若存在使(5.1)其中為權函數,則稱為函數在中關于權函數的最佳平方逼近函數．在具體問題中，權函數是給定的,如果沒有特別指明,就表示.如果，則稱為在上關于權函數的次最佳平方逼近多項式。問題(5．1)等價于求多元函數的極小值.由多元函數極值的必要條件即（5.2)也可寫成方程(5.２)的矩陣形式是(5.3)其中方程(5.３)稱為法方程。如果線性無關,系數矩陣非奇異，從而方程(５．3)存在惟一的解.可得最佳平方逼近函數（5.4)不難證得(5.4）的確是最佳平方逼近函數.且有如下定理定理１1設是線性無關的,并記.,,是在中關于權函數最佳平方逼近函數的充分必要條件為(5.５）證明我們已經給出必要性的證明。只需證明充分性。因為所以對，有，從而有因此對有故是在中關于權的最佳平方逼近函數.定理11中的最佳平方逼近函數是唯一的。事實上，設均為最佳平方逼近函數，有所以。令,則平方誤差為（5．6)特別地,如果取.對于法方程(５.3)有于是法方程(5.3)中的系數矩陣為(5.7)稱為希爾伯特（Hilbert)矩陣.例8設,求上的一次最佳平方逼近多項式.解這是的情形.取,于是得方程組解出。故平方誤差最大誤差令，則由,知,結合，可得。用做基，求最佳平方逼近多項式，當較大時,Hilｂｅrｔ系數矩陣（5．9)是高度病態的,因此直接求解法方程是相當困難的，通常是采用正交多項式做基。5．2用正交函數族作最佳平方逼近若為上關于權函數的正交函數族,則法方程組（5．３）為得(５.8)因此最佳平方逼近函數為(5.9）均方差為(５.10)貝塞爾（Bｅｓseｌ)不等式（５.11)即。它是廣義的勾股定理.若,按正交函數族展開，系數按(5.8)計算,得級數(5．12)稱為的廣義傅里葉(Fｏuｒｉer)級數,系數稱為廣義傅里葉系數。它是傅里葉級數的直接推廣。下面討論特殊情況，設為正交多項式族,有下面的收斂定理定理12設，是由式(5.9)給出的的最佳平方逼近多項式，其中為正交多項式族，則有證明略，參考［23]。若，按Ｌeｇendre多項式展開,有(5．1３)其中(5.１4)平方誤差(５.１5)如果滿足光滑性條件還可得到一致收斂于的結論定理13設，是由式（５.1３)給出，則對如何和,當充分大時有。證明可見[23].定理1４在所有最高項系數為1的次多項式中，勒讓德多項式在上與零的平方誤差最小.證明設是任意一個最高項系數為1的次多項式,它可表示為于是當且僅當時等號才成立，即當時平方誤差最小.例9求在上的三次最佳平方逼近多形式解先計算于是因此均方誤差最大誤差5．3切比雪夫級數如果，按展成廣義傅立葉級數，由(５.12)式可得級數（5．16）其中系數根據(5.8)，由的正交性質得（５.１６)稱為切比雪夫級數。若令,則(5．１6)式就是的傅里葉級數，其中于是根據傅里葉級數的理論，只要在上分段連續,則在的切比雪夫級數(5.16）式一致收斂于。從而可表示為(5．17)取它的部分和(5.18）其誤差為在上是均勻分布的，它的最大值最小,因此可作為在上的最佳一致逼近多項式。6有理逼近對函數進行有理逼近主要基于以下原因:1、一些函數用有理函數逼近，可大大提高計算效率和精度。這一點我們將在后面的討論中可看到;2、前面我們討論了用多項式逼近連續函數，多項式只有加、減、乘三種運算,求導、積分也都簡便可行，但多項式不能反映當時,函數趨向定值等函數性態。事實上，多項式在任意有限點的鄰域內是有界的，在無窮遠處是無界的。而有理分式卻能較好地反映出這種性態。例如在內較好地近似。此外,有理分式僅比多項式多一種除法運算,在計算機中,除法與乘法所花費的機器時間相同,所以有理函數仍可視作簡單函數類。在某些特定條件下，用有理函數作為逼近函數，可取得較好的逼近效果。6.1有理逼近與連分式一、有理分式與逼近.所考慮的有理分式是（6.1)其中與分別為的次多項式,與互質，且在上，.用有理分式函數近似包括有理插值和逼近.如果最小,則稱為的最佳有理一致逼近函數;如果最小，則稱為的最佳有理平方逼近函數.二、連分式連分式表示(6．2）分式稱為連分式（6.２)的第節；與成為連分式(６.2)的第節的兩項；稱為連分式（6.2）的部分分子，稱為連分式(6.2)的部分分母。有限連分式成為連分式的第個漸近分式．相鄰三個漸近分式之間有遞推關系式(６.３)三、有理函數轉化為連分式我們考慮有理分式,其中代表多項式的次數（階數）．輾轉相除因為次數形成非負整數的一個遞降序列,最后達到末一步.從上面的格式,就有(６．4）例1２給出有理函數用輾轉相除法將它化為連分式,并寫成緊湊形。解用輾轉相除可逐步得到四、將函數的級數形式展成連分式定理１５(6．5)證明如果，要證明的論斷是這是真實的，因為等式的兩端都可寫成。今假設定理中的等式對成立，那么時例１３將級數展成連分式.利用定理15，得例14考慮函數的逼近問題。它的Taｙlor展開式為(６．6)取部分和另一方面，若對(６.６)式用輾轉相除或者定理15可得到的一種連分式展開(6.7)若取(6.7）式的2,4，6,８項,則可分別得到的以下有理逼近若采用同樣多項的泰勒展開部分和逼近,并計算的值及,計算結果見表３.3,的精度比高出10萬倍,而它們的計算量是相當的,這說明有理逼近好得多，開展某些函數的有理逼近時有必要的。表３．３計算結果10．50．１90.667０.０26２0.58０.110.692310．0008430.6１７0.0760．6９31220.00０0２540．63４0．０580.69314６４２0.０0０000766.2帕德逼近利用函數的泰勒展開可以得到它的有理逼近。設在的泰勒展開為(6.８)它的部分和記作(6．9)定義１1設,如果有理函數(6.１0）其中無公因子,且滿足條件(6.１1)則稱為函數在處的階帕德（Ｐadé)逼近.記作.根據定義，若令,則條件(6．１1)等價于。||事實上,利用Leibnitz公式得由于，所以當（6.11)式成立時，顯然。反之,采用數學歸納法可證明.事實上，當時,，有即。假設時，結論成立,即。那么時,由于所以由及歸納假設,可得||由于，應用Leibnitｚ公式得,這里是由（6．9)得到的，上式兩端除以，并由(當時)，可得（6．12)及(6.１3）注意到當時,故(６．13)可寫成（）(６.14)其中時,，若記則方程組(6.14)的矩陣形式為。綜上所述得下面的定理定理１６設，則形如（6.８）的有理函數是的階帕德逼近的充分必要條件是多項式及的系數及滿足方程組(6.12)及(６.14）．根據定理1６求的帕德逼近時,首先由（6.12)解出的系數,再由（6.12)算出的系數.例1４求的帕德逼近及.解由的泰勒展開得。當時，由（6.14）得求得,再由(6.10)得于是得當時，由(6.14）得解得．代入(6.１０)得.于是得帕德逼近的誤差估計．由(6.12)及(６.14)求得的數及,代入則得將除上式兩端，即得其中.當時可得誤差近似表達式７三角多項式逼近與快速傅里葉變換自然界中存在種種復雜的的振動現象,它由許多不同頻率、不同振幅的波疊加得到。一個復雜的波形還可分解為一系列諧波，它們呈周期現象,在模型數據具有周期時，用三角函數特別是正弦函數和余弦函數作為基函數是合適的，這時前面討論的多項式、分段多項式或有理函數作基函數都是不合適的。用正弦和余弦函數級數表示任意函數始于18世紀50年代,到１9世紀逐步建立了一套有效的分析方法,稱為傅里葉變換(簡稱傅氏變換)。用計算機分析主要用到三角函數逼近給定樣本函數的最小二乘和插值，稱為離散傅氏變換(DFT)。例如信號處理和石油地震勘探數字處理等。由于DＦＴ計算量很大，應用上受到限制,直到19６5年以后使用了快速傅氏變換(FＦT）,才使DFT得到廣泛應用。７.1最佳平方三角逼近與三角插值設是以為周期的平方可積函數，用在上的正交函數族所構成的三角級數對進行最佳平方逼近．逼近多項式是(７．1)其中(7.2）稱為傅里葉系數。函數按傅里葉系數展開得到的級數(7．3)稱為傅里葉級數。如果在上分段連續,那么級數(７.3)一致收斂到。對于最佳平方逼近多項式（7.1)有由此可得貝塞爾不等式顯然左邊單調有界,所以收斂,并有。當只在離散點集上已知時,仍