晶格振動和晶體的熱學性質第1頁，課件共85頁，創作于2023年2月點陣動力學的建立

1907年，AlbertEinstein發表了題為“Planck輻射理論與比熱的理論”，第一次提出比熱的理論。更重要的，第一次提出經典力學的點陣振動和量子力學的諧振子能級可以對應。1912年，PeterJosephWilliamDebye認識到，Einstein提出的比熱公式在極低溫下與實驗不符合，是因為沒有考慮到晶體中的原子振動頻率不是單一的。后來德拜通過諧振理論求得近似的原子振動的頻率分布，得到與實驗更加符合的比熱公式。1912年，MaxBorn和TheodorevonKarman發表了題為“論空間點陣的振動的論文”。提出晶體中原子振動應該是以點陣波的形式存在，是點陣動力學的奠基之作。1920-1950年，點陣動力學被應用到晶體的熱力學性質、熱傳導、電導、介電、光學和X射線衍射等諸多方面。比較完整地總結在MaxBorn和黃昆的書“晶體點陣的動力理論”中。1950年以后，發展了測量點陣動力學性質的實驗：中子衍射。第2頁，課件共85頁，創作于2023年2月本章主要內容：先討論簡諧晶體的經典運動，建立原子的運動方程，得到晶格振動的能量和頻率并討論其色散關系。對簡諧晶體進行量子力學處理，將多體問題化為單體問題，并建立聲子的概念（晶格振動波的能量量子）晶格振動譜的實驗測定原理和方法。對晶體的熱學性質，即比熱、熱膨脹和熱導率等進行討論第3頁，課件共85頁，創作于2023年2月§3.1一維晶格的振動研究固體中原子振動時的兩個假設:每個原子的中心的平衡位置在對應Bravais點陣的格點上.原子離開平衡位置的位移與原子間距比是小量,可用諧振近似.

二原子間的相互作用能

兩原子之間的相互作用能為U(r)，r為兩原子間的距離；把U(r)在平衡位置r0附近作泰勒展開：

一、一維單原子鏈的振動（簡單格子，揭示晶格振動的基本特點）第4頁，課件共85頁，創作于2023年2月當δ很小時，作二級近似

恢復力

----胡克定律

(為倔強系數)

------簡諧近似

模型：設一維單原子鏈中，原子間距(晶格常量)為a，總長為L=Na,N為原子總數（晶胞數）

，原子質量為m。

研究一維單原子鏈的振動第5頁，課件共85頁，創作于2023年2月第n個粒子的受力情況：

運動方程：假設晶格足夠長，可忽略邊界。以行波作試探解，即

代入運動方程得：利用，和

得：第6頁，課件共85頁，創作于2023年2月即：（頻率與波矢之間的關系）其中色散概念來自于光學，不同頻率的光在同一介質中的傳播速度不同，于是產生色散，頻率與波矢之間的關系叫色散關系一維Bravais格子的色散關系第7頁，課件共85頁，創作于2023年2月討論：

（1）長波極限

由于周期性，考慮的區間

當聲學支格波（聲學波）:長聲學波為彈性波；頻率較低

速度與之間是線性關系

（彈性波的特點）第8頁，課件共85頁，創作于2023年2月(2)q空間的周期對稱性色散關系具有周期對稱性，周期為,即

在晶格中具有物理意義的波矢僅存在于的區間

舉例說明對格點振動有貢獻的是原子，兩原子之間的振動在物理上沒有意義。

(1)(2)第一布里淵區

第9頁，課件共85頁，創作于2023年2月第一布里淵區（倒格子空間）倒格子空間-波矢空間第10頁，課件共85頁，創作于2023年2月(3)周期性邊界條件、第一布里淵區中的模數

q的取值采用波恩-卡門邊界條件（周期性邊界條件）來定：N為晶格中的原子個數（晶胞數）即：aa波恩-卡門邊界條件（周期性邊界條件）第11頁，課件共85頁，創作于2023年2月得：

=0，±1，±2……等整數

在第一布里淵區，q取值為

對應于

(只能取N個值----模數)結論：在第一布里淵區內的q值唯一地描述了所有的晶格振動模式，這些值的數目等于晶格的自由度數N。第12頁，課件共85頁，創作于2023年2月二、一維雙原子鏈的振動

模型:一維無限長雙原子鏈，原子質量為m和M，且m<M。原胞長仍為a，兩原子之間的距離為,恢復力系數為。總長為L=Na,N為原胞總數。質量為M的原子編號為:···

n-1,1、n,1、n+1,1、···設是相應于原子M、m在沿鏈方向對其平衡位置的偏離質量為m的原子編號為:···

n-1,2、n,2、n+1,2、···（揭示復式格子振動的基本特點）模型:一維無限長雙原子鏈，原子質量為m和M，且m<M。原胞長仍為a，兩原子之間的距離為,恢復力系數為。總長為L=Na,N為原胞總數。質量為M的原子編號為:···

n-1,1、n,1、n+1,1、···設是相應于原子M、m在沿鏈方向對其平衡位置的偏離質量為m的原子編號為:···

n-1,2、n,2、n+1,2、···第13頁，課件共85頁，創作于2023年2月方程和解和單原子鏈類似，若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：類似于前面的討論，可取解的形式為：代入運動方程得：第14頁，課件共85頁，創作于2023年2月上式看成是以A、B為未知數的線性齊次方程.以A、B為未知數的線性齊次方程有非零解的條件為系數行列式為零：

第15頁，課件共85頁，創作于2023年2月—最簡單的一維雙原子鏈的色散關系第16頁，課件共85頁，創作于2023年2月1)色散曲線（acoustics）（折合質量）第一布里淵區

第17頁，課件共85頁，創作于2023年2月

光學支頻率的變化不大；在聲學支的頻率極大值和光學支的頻率極小值之間，存在一個頻率空隙。在q0時長波近似的情況下，聲學支格波與彈性波的情況類似。光學支名字的由來，是由于在離子晶體中，可用遠紅外光波的電磁場激發此格波。第18頁，課件共85頁，創作于2023年2月2)周期性邊界條件、第一布里淵區中的模數

q的取值采用波恩-卡門邊界條件（周期性邊界條件）來定：得：

=0，±1，±2……等整數

在第一布里淵區，q取值在區間

對應于

(只能取N個值)與單原子鏈比較可知，對應于每個波矢q，一維雙原子鏈出現了兩個頻率不同的振動模式。由于不等價的q的數目與原胞數目相等，因此，雙原子鏈共有2N個不同的振動模式。（N個波矢數，2N個頻率數）第19頁，課件共85頁，創作于2023年2月(3)相鄰原子的振幅之比長光學波長聲學波第20頁，課件共85頁，創作于2023年2月長聲學支格波相鄰原子都是沿著同一方向振動的。長聲學波長聲學波，相鄰原子的位移相同，原胞內的不同原子以相同的振幅和位相作整體運動。因此，長聲學波代表了原胞質心的運動。長光學波:長光學波，原胞的質心保持不動。所以定性地說，長光學波代表原胞中兩個原子的相對振動。第21頁，課件共85頁，創作于2023年2月光學支格波，相鄰原子振動方向是相反的。聲學支格波，相鄰原子振動方向是相同的。第22頁，課件共85頁，創作于2023年2月模型運動方程試探解色散關系波矢q范圍B--K條件波矢q取值一維問題的處理步驟:第23頁，課件共85頁，創作于2023年2月格波的支數=原胞內原子的自由度數，晶格振動的波矢數目=晶體的原胞數N，格波振動頻率數目=晶體的自由度數。一維單原子鏈，設晶體有N個原胞。原胞內原子的自由度數=11支格波晶體的自由度數=N頻率數為N一維雙原子鏈，設晶體有N個原胞。原胞內原子的自由度數=22支格波晶體的自由度數=2N頻率數為2N第24頁，課件共85頁，創作于2023年2月點陣常數為

的一維點陣

第一BZ就是

的區域點陣常數為

的二維正方點陣第一BZ就是：（橫軸）、

（縱軸）的正方形

面積為：

第一布里淵區第一BZ為一個原胞的大小第25頁，課件共85頁，創作于2023年2月§3.2三維晶格的振動

表示頂點位矢為的原胞內第s個原子離開平衡位置在方向的位移。表示平衡時頂點位矢為的原胞內第s個原子的位矢；設三維無限大的晶體,每個原胞中有p個原子，相當于每個基元有p個原子，各原子的質量分別為原胞中這p個原子平衡時的相對位矢分別為。(=x,y,z)模型:第26頁，課件共85頁，創作于2023年2月在簡諧近似下，上式的右端是位移的線性代數式。[共有3p個方程](=x,y,z；s=1,2,3,···,p)運動方程和解試探解：仿照一維的運動情況，我們可以寫出每個原子的振動方程：將試探解代入運動方程中，指數項可消去，得到3p個線性齊次方程：As有非零解,必須其系數行列式為零3p個的實根(=x,y,z；s=1,2,3,···,p)第27頁，課件共85頁，創作于2023年2月這3支格波稱為聲學支格波。其余的(3p-3)支格波的頻率比聲學波的最高頻率還要高-------光學支格波波矢q的取值和范圍設晶體有N個原胞,原胞的基矢為：沿基矢方向各有N1、N2、N3個原胞,在3p個實根中，其中有3個當波矢q0時,(可和晶體的體積類比)第28頁，課件共85頁，創作于2023年2月根據玻恩---卡門周期性條件：第29頁，課件共85頁，創作于2023年2月第30頁，課件共85頁，創作于2023年2月波矢具有倒格矢的量綱，得出:三維格波的波矢不是連續的而是分立的，其中為波矢的基矢，波矢的點陣亦具有周期性。(二維圖示)每個波矢代表點占有的體積為：正格子原胞體積晶體體積第31頁，課件共85頁，創作于2023年2月波矢密度：波矢空間中單位體積的波矢數目。

將的取值限制在一個倒格子原胞范圍內

--------第一布里淵區（簡約布里淵區）波矢可取的數目為倒格子原胞的體積乘以波矢密度：每個波矢代表點占有的體積為：---原胞的個數第32頁，課件共85頁，創作于2023年2月晶格振動頻率數目:設晶體有N個原胞,每個原胞有p個原子,晶體的維數是m晶體中格波的支數=原胞內原子的自由度數mp，

m支聲學波，m(p-1)支光學波晶格振動的波矢數目=晶體的原胞數N，格波振動頻率數目(模式數目）=晶體的自由度數mNp3支聲學波(3p-3)支光學波p=1的3維簡單晶格(3p-3=0)，與一維單原子鏈類似，只有聲學波(q=0,)。只不過數目由1變成了3第33頁，課件共85頁，創作于2023年2月

例:

金剛石結構有幾支格波?幾支聲學波?幾支光學波?設晶體有N個原胞，晶格振動模式數為多少?金剛石結構為復式格子,每個原胞有2個原子。有6支格波，3支聲學波，3支光學波。振動模式數(格波振動頻率數目)為6N。晶體中格波的支數=原胞內原子的自由度數mp，

m支聲學波，m(p-1)支光學波晶格振動的波矢數目=晶體的原胞數N，格波振動頻率數目(模式數目）=晶體的自由度數mNp第34頁，課件共85頁，創作于2023年2月

§3.3晶格振動聲子

討論晶格振動的能量，由此引入聲子（晶格振動的能量子）。某三維晶體由N個原子組成其中是偏離平衡位置的位移矢量，對N個原子位移矢量有3N個分量，i=1,2,3,….,3NN個原子體系的勢能函數在平衡位置附近展成泰勒級數假定晶體中原子任意時刻的位置為第35頁，課件共85頁，創作于2023年2月

以上是用原子的位矢或位移來描寫晶格振動的，這類

坐標稱為原子坐標。可以通過簡諧近似得到運動方程及

其特解。

原子坐標的局限性：使得原子體系的哈密頓函數有交

叉項，從而使之變成相互關聯的多體問題，即原子坐標描

寫的運動是相互耦合的。

解這類問題的標準做法是尋求一個正交變換，將3N個

原子位移坐標變換到3N個簡正坐標。

(使得不再出現交叉項)第36頁，課件共85頁，創作于2023年2月廣義坐標是指能夠確定質點位置的任意一組量。若質點的自由度為r，采用r個量q1、q2、…qr（廣義坐標）就能確定質點的位置。廣義速度：廣義動量：

哈密頓函數：以廣義坐標和廣義動量為自變量的能量函數

ε=H（

qi、pi

）

（i=1、2、…r）

哈密頓方程為：第37頁，課件共85頁，創作于2023年2月簡正坐標N個原子體系的動能函數為為使問題簡化，引入簡正坐標簡正坐標與原子位移坐標之間通過正交變換相互聯系：勢能函數：按照分析力學方法，可推得：N個原子的體系，共有3N個這種相互獨立的方程第38頁，課件共85頁，創作于2023年2月

表明：各簡正坐標描寫相互獨立的諧振動。由于每個原子坐標都是一切簡正坐標的線性組合，所以一個簡正坐標所描述的是體系中所有原子一起參與的共同振動，常稱為一個振動模或格波。是集體運動的描寫法。簡正坐標------集體坐標。這正是頻率為的一維諧振子的運動方程一維諧振子系統的量子力學能級就是：

N個原子的體系，共有3N個這種相互獨立的方程（3N個值

—晶體自由度數）體系的總能量：第39頁，課件共85頁，創作于2023年2月由N個原子組成的三維晶體的振動等價于3N個諧振子的振動，諧振子的振動頻率就是晶格振動頻率，每個對應特定波矢體系的總能量：第40頁，課件共85頁，創作于2023年2月光具有波粒二象性。具有一定頻率的光波是光的經典電磁學描述。

而量子理論提出：頻率為的光束是由稱為光子(Photon)的量子組成的，每一個光子的能量：動量：

晶格振動也是一種波。可以仿照光子的定義，將固定頻率為波矢為的點陣振動波對應于一種粒子：聲子(Phonon)聲子能量與簡正振動頻率的關系定義為：聲子準動量定義為則聲子的色散關系就是聲子的能譜（能量-動量關系）。

第41頁，課件共85頁，創作于2023年2月聲子是準粒子，它并不攜帶真實動量例：對一維單原子鏈，可證：波矢為的格波的總動量為：聲子的等價性：用取代波矢，格波的解無變化第42頁，課件共85頁，創作于2023年2月晶格振動格波簡諧近似獨立的振動模式由B--K邊界條件q分立值聲子晶格振動能量量子化在簡諧近似下，聲子是理想的玻色氣體，聲子間無相互作用。而非簡諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，正是這種非簡諧作用保證了聲子氣體能夠達到熱平衡狀態。第43頁，課件共85頁，創作于2023年2月關于聲子的討論：2.聲子不是真實的粒子，稱為“準粒子”，它反映的是晶格原子集體運動狀態的激發單元。聲子只存在于晶體中，脫離晶體后就沒有意義了。聲子只是晶格中原子集體運動的激發單元。1.晶格振動的波和聲子正是固體中原子振動的波粒二象性的兩個表示。3.聲子是晶格振動的能量量子，模的角頻率為的聲子能量為，波矢為的聲子“準動量”(或稱晶體動量)為。4.晶格振動狀態（溫度）不同，一定振動模式（）對應的聲子數不同，其變化相應于聲子的產生和湮滅。第44頁，課件共85頁，創作于2023年2月6.當電子(或光子)與晶格振動相互作用時，交換能量以為單位，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個聲子，若電子給晶格能量，稱為發射一個聲子。5.溫度趨于零的時候,沒有熱激發，各格波都處于基態，聲子數趨于零，但是根據上述公式，振動能量也不是零（有基態能（零點能））.體現了測不準原理。

7.聲子是準粒子，它并不攜帶真實動量第45頁，課件共85頁，創作于2023年2月玻色分布

N個粒子的在各能級的分布{al}：能

級

ε1，

ε2，

…εl，…簡

并

度

ω1，

ω2，…ωl，…

粒

子

數

a1，

a2，…al，…

8.由于相同的各聲子之間不可區分且自旋為零，且對每個聲子能級，聲子的占據數沒有限制，所以聲子是玻色型的準粒子(即玻色子(boson)，同光子一樣)，遵循玻色統計。聲子數隨著溫度的升高而增加，聲子數不守恒（化學勢為0）第46頁，課件共85頁，創作于2023年2月§3.4晶格振動譜的實驗測定晶格振動----色散關系，也稱為晶格振動譜。把晶格振動用準粒子—聲子來描述，外部粒子和晶格相互作用后的能量和動量的變化傳遞給了聲子，則外部粒子和聲子之間滿足能量和準動量守恒(為簡單，僅考慮一個聲子的情況)。設入射粒子能量為

，初動量為；和晶體相互作用后能量為，末態動量為：.則：加號----入射粒子吸收了一個聲子；減號----入射粒子放出了一個聲子。能量守恒準動量守恒第47頁，課件共85頁，創作于2023年2月實驗方法：主要通過中子、可見光、X射線與晶格的非彈性散射；而熱中子的非彈性散射是最常用的方法。X-射線散射X光光子能量---104eV。非彈性散射后光子能量變化很少，不易測量。凝聚態物質原子間距大約為0.1nm～1nm，晶格的平均熱運動能量以及由于晶格振動產生的聲子能量大概都是10-3eV～10-1eV的數量級。探測晶格振動譜的“探頭”，其波長和能量應與聲子為同一數量級。第48頁，課件共85頁，創作于2023年2月可見光范圍，波矢為105cm-1的量級，故相互作用的聲子的波矢也在105cm-1的量級，只是布里淵區中心附近很小一部分區域內(布里淵區尺度為108cm-1)的聲子，即長波聲子。

(1)布里淵散射(Brillouinscattering)：光子與長聲學波聲子作用，吸收或放出聲子的過程；(2)拉曼散射(Ramanscattering)：光子與長光學波聲子作用，吸收或放出聲子的過程.可見光的非彈性散射第49頁，課件共85頁，創作于2023年2月中子的非彈性散射

核反應堆發出的中子經過減速（慢化）以后，其能量與熱平衡的晶格的平均熱運動能量相當，所以這種慢中子又稱為熱中子。

熱中子的德布羅意波長約為0.1nm，符合晶格振動譜的“探頭”要求

1994年諾貝爾物理學獎一半授予加拿大的布羅克豪斯（BertramNivilleBrockhouse），表彰他發展了中子譜學；另一半授予美國的沙爾（CliffordGlenwoodShull），表彰他發展了中子衍射技術。

第50頁，課件共85頁，創作于2023年2月動量為，原理中子與晶體中聲子的相互作用中子與晶體的相互作用中子吸收或發射聲子非彈性散射入射中子流：從晶體中出射的中子流：動量為，能量為能量為（為中子質量）第51頁，課件共85頁，創作于2023年2月由能量守恒和準動量守恒得：第52頁，課件共85頁，創作于2023年2月改變入射中子流的動量，；從而得到該方向的譜線。可測出多個，改變晶體的取向，探測的方向，最后可測出晶體的整個聲子譜。實驗中，固定入射中子流的動量，；測出某一散射方向上的動量，從而得到了晶體聲子譜中的一個點第53頁，課件共85頁，創作于2023年2月中子源單色器準直器準直器樣品能量分析器探測器2

反應堆中產生的慢中子流布拉格反射產生單色的動量為P的中子中子計數儀器（三軸中子譜儀）第54頁，課件共85頁，創作于2023年2月硅晶體中沿著第一布里淵區的三個對稱方向<001>、<110>和<111>的色散關系。第55頁，課件共85頁，創作于2023年2月晶體熱容的實驗規律

(1)在高溫時，晶體的熱容為

(N為晶體中原子的個數,kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量；

v為晶體中原子摩爾數,R=8.31J/Kmol

為普適氣體常數)

(2)在低溫時，絕緣體熱容按T3趨于零；導體熱容按T趨于零。§3.6

晶格振動熱容理論

晶體的定容熱容定義為：U---晶體的內能第56頁，課件共85頁，創作于2023年2月晶格振動熱容晶體電子熱容通常情況下，本節只討論晶格振動熱容。分別用經典理論和量子理論來解釋晶體熱容的規律。第57頁，課件共85頁，創作于2023年2月晶體熱容的經典理論(杜隆--珀蒂定律)根據能量均分定理，每一個自由度的平均能量是kBT(振動動能+振動勢能）若晶體有N個原子，則總自由度為3N,內能為3NkBT。低溫時經典理論不再適用。它是一個與溫度無關的常數，這一結論稱為杜隆--珀蒂定律

(Dulong-Petit)第58頁，課件共85頁，創作于2023年2月晶體熱容的量子理論

晶格振動的能量是量子化的，頻率為ω的振動能量為:代表零點振動能，對熱容沒有貢獻溫度為T時，頻率為ω的振動的能量:n

是頻率為

的諧振子的平均聲子數，據玻色統計理論：第59頁，課件共85頁，創作于2023年2月晶體由N個原子組成，每個原子有3個自由度，共有3N個分立的振動頻率，晶體內能：溫度為T時，頻率為ω的振動的能量為：第60頁，課件共85頁，創作于2023年2月若頻率分布可用一個積分函數表示:表示在頻率范圍可取的頻率數，ωm為最大的頻率數，q和ω為準連續）熱容：計算復雜，介紹二簡化模型---愛因斯坦模型和德拜模型

第61頁，課件共85頁，創作于2023年2月愛因斯坦模型

假設：

（1）晶格中原子振動是相互獨立的簡諧振動；（2）所有原子都以相同的頻率振動，即令，稱為愛因斯坦特征溫度

令稱為愛因斯坦熱容函數

第62頁，課件共85頁，創作于2023年2月的選定：

使熱容在廣大的溫度范圍，理論曲線與實驗曲線符合得很好。金剛石實驗數據和愛因斯坦理論曲線的比較

第63頁，課件共85頁，創作于2023年2月討論：溫度比較高時，，，與杜隆--珀替定律一致。

溫度很低時，，

（按指數規律），但趨近于0的速度要比實際快原因：

（1）“所有原子具有相同振動頻率”假設過于簡單

（2）愛因斯坦頻率E大約為1013Hz，處于遠紅外光頻區，相當于長光學波極限。但在甚低溫度下，格波的頻率很低，屬于長聲學波第64頁，課件共85頁，創作于2023年2月德拜模型（Debye）

基本觀點：

晶體視為連續介質，格波視為彈性波(頻率和波矢之間的色散關系應是線性關系，對應的是長聲學波)

（2）晶格振動頻率在0到極大值ωD（德拜頻率）間分布。

色散關系：

縱波：橫波：波矢密度：在波矢范圍的波矢數為：第65頁，課件共85頁，創作于2023年2月一維單原子鏈中，原子振動方向與波傳播方向一致，只能產生縱波—縱聲學支(LongitudinalAcousticbranch,簡稱為：LA).三維簡單晶格中，除了原子振動方向與波傳播方向一致的縱聲學支外，還可以有兩個原子振動方向與波傳播方向垂直的橫聲學支(TransverseAcousticbranch,簡稱為：TA)存在.第66頁，課件共85頁，創作于2023年2月在波矢范圍的波矢數為：縱波模式密度：橫波模式密度（1支）：總模式密度：其中：振動頻率在0到極大值ωD（德拜頻率）間分布（N為晶胞數）縱波：橫波：第67頁，課件共85頁，創作于2023年2月總模式密度：晶體內能：令：其中（Deby溫度）

第68頁，課件共85頁，創作于2023年2月（）討論：（1）高溫下：

與杜隆--珀蒂定律一致（2）低溫下

：很大，故積分式中上限可寫成∞第69頁，課件共85頁，創作于2023年2月低溫下又有：則：第70頁，課件共85頁，創作于2023年2月不足：1.只適用于振動頻率較低的晶體，而不適應于包含有較高振動頻率的化合物。原因：

1.忽略了晶體的各向異性，2.忽略了色散波（如光學波及高頻聲學波）對熱容的貢獻。

2.按定義應與T無關，但實驗表明同T有關

（）

Debye模型對原子晶體及部分簡單的離子晶體在較寬的溫度范圍內都與實驗結果符合，比經典模型和Einstein模型都有改進。第71頁，課件共85頁，創作于2023年2月§3.7晶格振動的非簡諧效應

簡諧近似：

晶格振動格波簡諧近似獨立的振動模式由B--K邊界條件q分立值聲子晶格振動能量量子化

在簡諧近似下，晶格振動是嚴格的線性獨立諧振子,聲子是理想的玻色氣體，聲子間無相互作用熱傳導、熱膨脹等現象無法解釋第72頁，課件共85頁，創作于2023年2月非簡諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，從而保證聲子氣體能夠達到熱平衡狀態。實際晶體中δ三次項及高次項的存在，晶格振動就不是嚴格的線性獨立諧振子。當原子位移小時，δ三次項及高次項與δ2項相比為一小量，則可把這些高次項看成簡諧近似的微擾項。這樣，這些諧振子就不再是相互獨立的，相互間要發生作用，即聲子與聲子間交換