有限元分析的數(shù)學(xué)求解原理第1頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月一般說來，求解方程的途徑有兩大類：1）直接針對原始方程進行求解2）間接針對原始方程進行求解第2頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月直接解法——解析法：解析法從力平衡關(guān)系、幾何關(guān)系以及物理關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)出一個或一組關(guān)于應(yīng)力或者關(guān)于應(yīng)變、有時是同時含有應(yīng)力、應(yīng)變的微分方程或偏微分方程，通過求解微分方程，解出應(yīng)力、應(yīng)變和變形量。工程中，常采用的解析方法有材料力學(xué)中對桿件的分析，彈性力學(xué)中平面問題的求解，板殼理論等。解析法的很多基本理論是建立在一些簡化的假設(shè)基礎(chǔ)之上的，經(jīng)過大量的工程實踐，被證明能很好的符合構(gòu)件實際工作情況，已成為成熟的理論。解析法得到的結(jié)果是未知量（應(yīng)力、應(yīng)變等）的函數(shù)解，可直接得到結(jié)構(gòu)中任意點的精確解。解析法在分析理論問題以及一些工程問題時起著重要作用。但是解析法在應(yīng)用到一些形狀復(fù)雜或應(yīng)力分布復(fù)雜的結(jié)構(gòu)時，往往由于數(shù)學(xué)上的問題而顯得無能為力，因而使解析法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用受到限制。第3頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月對于一般的工程構(gòu)件，即彈性體，由于偏微分方程邊值問題在數(shù)學(xué)上求解的困難，因此直接根據(jù)給定的邊界條件求解彈性力學(xué)的基本方程是十分困難的。為了避開偏微分方程邊值問題直接求解的困難，在彈性力學(xué)問題的求解中，經(jīng)常采用的方法是逆解法和半逆解法。逆解法就是根據(jù)研究問題的性質(zhì)和研究對象特點，確定基本未知量，寫出相應(yīng)的基本方程并且假設(shè)一組滿足全部基本方程的應(yīng)力函數(shù)或位移函數(shù)。然后在確定的坐標(biāo)系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，根據(jù)邊界條件確定表面作用面力或者已知位移。由此確定假設(shè)函數(shù)可以求解的彈性力學(xué)問題。

直接解法——逆解法、半逆解法：第4頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月半逆解法就是對于給定的彈性力學(xué)問題，根據(jù)彈性體的幾何形狀，受力特征和變形的特點或者已知的一些簡單結(jié)論，如材料力學(xué)得到的初等結(jié)論，假設(shè)部分應(yīng)力分量或者部分位移分量的函數(shù)形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據(jù)邊界條件確定未知函數(shù)中的待定系數(shù)。

逆解法和半逆解法的求解過程帶有“試算”的性質(zhì)，顯然彈性力學(xué)解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理論依據(jù)直接解法——半逆解法：第5頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月直接解法——有限差分法：有限差分法：微分方程和積分微分方程數(shù)值解的方法。其基本思想是：有限差分方法(finitedifferencemethod)是計算機數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點上的函數(shù)值的差商代替進行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。

第6頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月有限差分格式格式精度：一階格式、二階格式和高階格式。差分的空間形式：中心格式時間因子：顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

第7頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月間接解法——加權(quán)殘值法：是一種應(yīng)用廣泛的求解微分方程的方法.該方法先假定一族帶有待定參數(shù)的定義在全域上的近似函數(shù),該近似解不能精確滿足微分方程和邊界條件,即存在殘差.在加權(quán)平均的意義下消除殘差,就得到加權(quán)殘值法的方程.由于試函數(shù)定義在全域上,所得方程的系數(shù)矩陣一般為滿陣.選取不同的權(quán)函數(shù),可得到不同的加權(quán)參量法.

利用加權(quán)的方法消除殘值的計算方法第8頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月虛功原理定義：彈性體處于平衡狀態(tài)，對于滿足變形連續(xù)條件的虛位移及其虛應(yīng)變，外力在虛位移上所做的虛功，等于真實應(yīng)力分量在對應(yīng)的虛應(yīng)變上所做的虛功，即虛應(yīng)變能。最小勢能原理要求最后得間接解法——虛功原理：第9頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月間接解法——最小勢能原理：最小勢能原理就是說當(dāng)一個體系的勢能最小時，系統(tǒng)會處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。舉個例子來說，一個小球在曲面上運動，當(dāng)?shù)竭_曲面的最低點位置時，系統(tǒng)就會趨向于穩(wěn)定平衡。勢能最小原理與虛功原理本質(zhì)上是一致的。宇宙萬物，如果其勢能未達到“最小”（局部概念），它總要設(shè)法變化到其“相對”最小的勢能位置。舉個例子：一個物體置于高山上，它相對于地面來說有正的勢能（非最小），因而它總有向地面運動的“能力”（向地面“躍遷”）（其力學(xué)本質(zhì)是其處于一種不穩(wěn)平衡狀態(tài)）。因此，它試圖（也只有）向下運動，才能保證其達到一個相對平穩(wěn)的狀態(tài)。在有限元的理論中，最小勢能原理是在所有滿足給定邊界條件的位移時，滿足平衡微分方程的位移使得勢能取得最小值。第10頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月把一個物理學(xué)問題用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，后者就稱為該物理問題的變分原理。如果建立了一個新的變分原理，它解除了原有的某問題變分原理的某些約束條件，就稱為該問題的廣義變分原理；如果解除了所有的約束條件，就稱為無條件廣義變分原理，或稱為完全的廣義變分原理。在當(dāng)代，變分原理已成為有限元法的理論基礎(chǔ)，而廣義變分原理已成為混合和雜交有限元的理論基礎(chǔ)。在實際應(yīng)用中，通常很少能求出精確的解析解，因此大多采用近似計算方法。間接解法——變分原理：第11頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月1）假定2）將上式代入泛函，計算變分。3）由極值條件，算出待定常數(shù)，使之滿足基本微分方程。4）把得到的常數(shù)代回，得到所求問題的解。與有限元方法比較：相同點：都是求解極值問題的方法，方法類似。不同點：求解問題區(qū)域不同：局部和整體

關(guān)系。對于泛函第12頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月工程問題無論是幾何形狀、受力方式還是材料特性都是千變?nèi)f化的，因此一種求解方法是否有優(yōu)勢，其判斷標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是具有良好的規(guī)范性（不需要太多的經(jīng)驗和個人技巧）具有良好的適應(yīng)性（可以處理任何復(fù)雜的工程實際）具有良好的可靠性（計算結(jié)果收斂穩(wěn)定，精度高）具有良好的求解可行性（計算工作量）

第13頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月本章主要內(nèi)容3.1簡明問題的解析求解3.2彈性力學(xué)問題近似求解的加權(quán)殘值法3.3彈性力學(xué)近似求解的虛功原理、最小勢能原理及其變分原理3.4各種求解方法的特點及比較第14頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1簡明問題的解析求解——一維拉壓桿問題基本變量：ux(x),σx(x),εx(x)第15頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月基本方程：幾何方程物理方程平衡方程邊界條件第16頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月對三大方程直接進行求解得幾何方程物理方程平衡方程根據(jù)邊界條件可得，c=P/A,c1=0第17頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月討論1若用材料力學(xué)的經(jīng)驗方法求解，則需先作平面假設(shè)，即假設(shè)應(yīng)力為均勻分布

σx=P/A

由廣義胡克定律得

εx=P/EA

右端的伸長量為

Δu=εxl=Pl/EA第18頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月討論2

應(yīng)變能

動能

勢能第19頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月有限元分析步驟-單元分析由于桿單元只有兩個節(jié)點位移，故可以設(shè)桿單元的位移模式為之包含兩個待定常數(shù)的形式

u(x)=a1+a2x根據(jù)有限元法的基本思路，將彈性體離散成有限個單元體的組合，以結(jié)點的位移作為未知量。彈性體內(nèi)實際的位移分布可以用單元內(nèi)的位移分布函數(shù)來分塊近似地表示。在單元內(nèi)的位移變化可以假定一個函數(shù)來表示，這個函數(shù)稱為單元位移函數(shù)、或單元位移模式。第20頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月回代得寫成矩陣形式為其中Ni，Nj是形函數(shù)。根據(jù)位移條件有u(0)=u0，u(l)=ul，從而得第21頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)幾何方程得根據(jù)物理方程得從而，根據(jù)單元分析結(jié)果，進行整體分析，求解整體方程組，進行結(jié)果分析第22頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月由虛功原理可以推得

第23頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1簡明問題的解析求解——平面梁問題基本方程1）一般的建模及分析方法，取微單元體2）特征建模法，采用工程宏觀特征量來進行問題描述第24頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月簡支梁的特征：梁為細長梁，因此可以只用x坐標(biāo)來刻畫；主要變形是垂直于x的撓度，可以只用撓度來描述位移場。針對這兩個特征，可以做出以下兩個假定：直法線假定小變形和平面假設(shè)第25頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月直法線假定：一垂直中面的直線(稱為法線)，變形時不伸縮，并且仍為彈性曲面的法線。平截面假定：平截面假定是材料力學(xué)中最基本的假定之一。這個假定認為所有與桿軸線垂直的截面在桿件變形后仍保持為平面。這樣截面上每一個點的變形趨勢就可以確定，如果知道了中性軸的位置和任意一點的應(yīng)變（變形），整個斷面的應(yīng)變就可以知道，這是建立該假設(shè)的基礎(chǔ)。實驗也證明勻質(zhì)彈性體根據(jù)此項假定所得的計算結(jié)果是準(zhǔn)確的。第26頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月基于以上假定，該問題的三類基本變量為位移：中性層的撓度v（x=y=0）應(yīng)力：x方向的正應(yīng)力σx，其他應(yīng)力分量很小忽略不

計，該變量對應(yīng)于梁截面上的彎矩M

應(yīng)變：采用εx，滿足直法線假定第27頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月平衡方程：

x方向y方向第28頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何方程：ab的變形為：因此正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

其中ρ為曲率半徑。第29頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月物理方程：

由廣義虎克定律有整理得邊界條件。彎矩第30頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月x方向平衡y方向平衡。第31頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月求解方程得其中c1,c2,c3是待定系數(shù)。最后可得第32頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月討論

應(yīng)變能

外力功

勢能第33頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月由于單元有四個位移分量，可設(shè)梁單元的位移模式v(x)為包含4個待定常數(shù)的三次多項式：有限元分析步驟-單元分析第34頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)邊界條件可以確定待定系數(shù)，將其進一步回代，可以得到用節(jié)點位移表示的梁單元位移。

式中第35頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)梁的平面假定可知梁單元的軸向應(yīng)變?yōu)椋哼@里利用平面假設(shè)（變形后橫截面仍保持平面，與縱線正交）如圖：第36頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月從而可以由單向虎克定律得出單元的軸向應(yīng)力：第37頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月由虛功原理可以推得

第38頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2彈性力學(xué)問題近似求解的加權(quán)殘值法直接針對原始三大類方程邊界條件下求解三大類變量往往是非常困難的，尤其是當(dāng)幾何形狀和邊界條件比較復(fù)雜時，一般求不出相應(yīng)的解析解。如果事先假定滿足一定邊界條件的試函數(shù)，再在此基礎(chǔ)上進行近似求解，則可以大大降低求解難度。這種試函數(shù)方法可以使得求解過程比較規(guī)范和簡單，并有一定的適應(yīng)性，但是求解的精度有所降低。第39頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月試函數(shù)方法的基本原理：先假定滿足一定邊界條件的試函數(shù)，然后將其帶入需要求解的方程中（控制方程），通過使與原來的方程的誤差殘值最小來確定試函數(shù)中的待定系數(shù)。為了提高解或逼近精度，可以采用較多項數(shù)的試函數(shù)來進行計算，這種方法叫做加權(quán)殘值法。加權(quán)殘值法WRM:Galerkin加權(quán)殘值殘值最小二乘法第40頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.1梁彎曲問題近似求解的Galerkin加權(quán)殘值法設(shè)滿足以下方程和邊界條件的位移場為公式中的L為微分算子。由于平面彎曲梁的平衡方程為故第41頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)能找到事先滿足式中的邊界條件的一個試函數(shù)，將其帶入到控制方程，則一定存在殘差，記為對于更一般的情形，設(shè)有一組滿足所有邊界條件的試函數(shù)，將其線性組合為新的試函數(shù)其中c1,c2,c3…cn為待定系數(shù)。第42頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月將試函數(shù)代入原始方程組，則必有殘差，真實的c1,c2,c3…cn使得殘值的積分為零，即其中w1,w2,w3…wn為權(quán)函數(shù)。以上為關(guān)于c1,c2,c3…cn的方程組，由上式可以求出他們，最后由線性組合形式的試函數(shù)得到真實的。如果將權(quán)函數(shù)w1,w2,w3…wn取為1,

2,

3…

n，則該方法稱作伽遼金法。第43頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解代入控制方程得殘差由Galerkin加權(quán)殘值方程分析可得，第44頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月求解上式可得第45頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解代入控制方程得殘差由Galerkin加權(quán)殘值方程分析可得，第46頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月求解上式可得第47頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權(quán)殘值法求解同時滿足面力邊界條件根據(jù)Galerkin法分析可得

第48頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種函數(shù)結(jié)果比較

1、僅僅取1項試函數(shù)時，由伽遼金加權(quán)殘數(shù)法得到的結(jié)果與精確解得相對誤差為0.3861%。2、僅僅取2項試函數(shù)時，由伽遼金加權(quán)殘數(shù)法得到的結(jié)果與精確解得相對誤差為-0.027%。由以上比較可以看出，此解法精度還是比較高的。第49頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2梁彎曲問題近似求解的最小二乘法同樣，設(shè)有滿足所有邊界條件的試函數(shù)，若將試函數(shù)代入原始方程中，則必有殘差值，真實地待定常數(shù)使得殘差值平方的加權(quán)積分取極小值，即其中w為權(quán)函數(shù)，一般可以取1。將上式進一步具體化，即對上式取極值，有這是一組關(guān)于c1,c2,c3…cn的方程組，由上式可以求出它們，從而得到真實的試函數(shù)。第50頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的殘值最小二乘法求解將其帶入到控制方程，則一定存在殘差，取權(quán)函數(shù)為1，則殘差平方的積分為由最小二乘法有由上式可以解出與用伽遼金加權(quán)殘值法相同的結(jié)果。第51頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2.3一般彈性問題近似求解的加權(quán)殘值法平面問題有：三大應(yīng)力分量，三個應(yīng)變分量，以及兩個位移分量。三個物理方程，三個幾何方程，兩個平衡方程，三類邊界條件基于三大物理量之間的關(guān)系（見三大方程），可以得到基于位移表達的平衡方程（控制方程）如下：再加上邊界條件，就構(gòu)成了基于位移求解的平面應(yīng)力問題的所有方程。第52頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)有位移的試函數(shù)為式中的cui和cvi是待定常數(shù)，ψui和ψvi是滿足所有邊界條件的基底函數(shù)。將試函數(shù)代入控制方程，使得其殘值在加權(quán)積分下為零，即可得到Garlerkin加權(quán)殘值方程，得到一組關(guān)于待定系數(shù)的方程組。第53頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣，也可以得到空間問題的加權(quán)殘值法，包括伽遼金加權(quán)殘值法和最小二乘法?？梢钥闯?，彈性問題的加權(quán)殘值法的特點為：1、試函數(shù)要滿足所有邊界條件，即位移邊界條件和力邊界條件2、積分中試函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)較高（對梁的彎曲問題，導(dǎo)數(shù)為4階，而對于其他一般彈性問題為2階），因此試函數(shù)對連續(xù)性要求較高3、整個方法為計算一個全場的積分4、有求取積分問題的最小值，將原方程的求解化為線性方程組的求解5、整個方法的處理流程比較規(guī)范6、難點在于如何在全廠范圍內(nèi)尋找同時滿足所有邊界條件的具有較高連續(xù)性的試函數(shù)？第54頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3彈性問題近似求解最小勢能原理及其變分原理3.3.1虛功原理P613.3.2最小勢能原理設(shè)有滿足位移邊界條件的許可位移場，真實的位移使得物體的總勢能取最小值。當(dāng)以試函數(shù)取為許可的基底函數(shù)的線性組合時，該原理所描述的方法也叫做Rayleigh-Ritz（瑞利—里茲）原理。Rayleigh-Ritz（瑞利—里茲）原理：通過泛函駐值條件求未知（位移）函數(shù)的近似方法。令所求函數(shù)為n個已知函數(shù)的線性組合，通過泛函的駐值條件，得到n個關(guān)于未知待定系數(shù)的代數(shù)方程組，從而可以確定假定函數(shù)的具體形式。第55頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的Rayleigh-Ritz法求解解：用瑞利—里茨法。位移試函數(shù)滿足梁的位移邊界條件在x=0，l處，w=0總勢能第56頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)則所以回代故第57頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的最小勢能原理求解解：按照最小勢能原理方法求解，設(shè)有位移的試函數(shù)為式中的cui和cvi是待定常數(shù)，ψui和ψvi是滿足所有邊界條件的基底函數(shù)。計算應(yīng)變能為第58頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月相應(yīng)的外力功為則總的勢能為U-W為了使得其取極小值，則有第59頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月解出待定常數(shù)后又試函數(shù)（許可位移場）的具體表達可以看出，該方法與虛功原理求解出來的結(jié)果相同，這是因為兩種取了相同的試函數(shù)。以上求解過程中所用的試函數(shù)為許可基底函數(shù)的線性組合，因此，上式求解方法也是基于Rayleigh-Ritz原理。第60頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月一般彈性問題的最小勢能原理設(shè)有許可位移場，它滿足位移邊界條件，那么真實的一組位移可以使得該系統(tǒng)的勢能取極小值，即其中第61頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.3最小勢能原理的變分基礎(chǔ)最小勢能原理證明推導(dǎo)的過程實際上就是數(shù)學(xué)上的變分過程，所采用的方法叫做變分方法。（variationalmethod）。這里還是以受均步載荷作用下剪支梁的平面彎曲問題為例來證明，從特殊到一般的推導(dǎo)過程。該問題的原始提法為：假定有位移v（x），它滿足剪支梁的控制方程：第62頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月對于該問題的最小勢能原理，其數(shù)學(xué)變分問題為：設(shè)有滿足位移邊界條件的許可位移場函數(shù)，其中真實的一組使得以下泛函取極小值，即計算剪支梁勢能的變分（復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)）有第63頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮到剪力、彎矩和位移之間的關(guān)系，以及邊界條件等，勢能的變分可以變?yōu)榈?4頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月可以看出，要使得勢能的變分等于0，必須要滿足以下幾個條件：1、兩端的彎矩等于02、力平衡方程對于能量泛函求二次變分有可以知道，能量泛函的極值為極小值。第65頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月其中又有第66頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月由變分方法，對泛函取極值，故有故有第67頁，課件共75頁，創(chuàng)作于2023年2月以上的證明說明，總能夠找到滿足位移邊界條件的試函數(shù)，即許可位移場，在滿足幾何條件和物理方程的條件下，當(dāng)勢能取最小值時，其結(jié)果精度可以滿足剩下的平衡方程以及力邊界條件。但是在實際上，由于選擇許可位移場的局限性和盲目性，一般很難將真正精確的位移場包含在許可位移場中，這樣，就不可能由最小勢能原理來求出精確解，只能在所選擇的試函數(shù)（即許可位移場）范圍內(nèi)，通過最小勢能原理求出最好的一組解，它在加權(quán)殘值最小的意義下，對平衡