無窮級數知識點匯總一、數項級數（一）數項級數的基本性質收斂的必要條件：收斂級數的一般項必趨于0.收斂的充要條件（柯西收斂原理）：對任意給定的正數￡，總存在N使得對于任何兩個N總有亳-Sjv-.（即部分和數列收斂）收斂級數具有線性性（即收斂級數進行線性運算得到的級數仍然收斂），而一個收斂級數和一個發散級數的和與差必發散.對收斂級數的項任意加括號所成級數仍然收斂，且其和不變在一個數項級數內去掉或添上有限項不會影響斂散性.（二）數項級數的性質及斂散性判斷1.正項級數的斂散性判斷方法（1）正項級數基本定理：如果正項級數的部分和數列有上界，則正項級數收斂大于的正整數m和n，（2）比較判別法（放縮法）：若兩個正項級數￡u和￡v之間自某項以后成立著關系:nn=1n=1存在常數c>0，使u<cv(n=1,2,），那么（i）當級數￡v收斂時，

nn=1級數￡unn=1亦收斂;（ii）當級數￡un發散時n=1級數￡vnn=1亦發散.推論：設兩個正項級數切氣和工vnn=1n=1且自某項以后有f1<-^^，那么

uv級數￡級數￡unn=1亦收斂;（i）當級數￡v收斂時，

nn=1（ii）當級數￡un發散時n=1級數￡vnn=1亦發散.（3）比較判別法的極限形式（比階法）：給定兩個正項級數￡氣和￡vnn=1 n=1「u7若limn=l>0，nsVn那么這兩個級數斂散性相同?（注：可以利用無窮小階的理論和等價無窮小的內容）另外，若I=°，則當級數￡nn=1v收斂時，級數￡u亦收斂；若l=8，則當級數￡u發n nn=1 n=1散時，級數￡vn亦發散.n=1常用度量：等比級數：工qn，當\q<1時收斂，當q>1時發散；n=0p-級數：￡-1，當p>1時收斂，當p<1時發散（p=1時稱調和級數）;npn=1u1廣乂p-級數：產一V，當p>1時收斂，當p<1時發散.nUnnJpn=2④交錯p-級數：￡（-1）n-1—，當p>1時絕對收斂，當0<p<1時條件收斂.npn=1（4）達朗貝爾判別法的極限形式（商值法）：對于正項級數￡u，當limUn^1=r<1時TOC\o"1-5"\h\zn 、uns虹n=1 n級數工un收斂；當limun1=r>1時級數工un發散；當r=1或r=1時需進一步判斷.n=1 18n n=1（5）柯西判別法的極限形式（根值法）：對于正項級數工匕，設r=lim，那么rV1. nT8n=1時此級數必為收斂，r>1時發散，而當r=1時需進一步判斷.（6）柯西積分判別法：設（6）柯西積分判別法：設工u為正項級數，n非負的連續函數f3）在區間［。,+8）上單調下降，且自某項以后成立著關系：f（u）=u,則級數￡un與積分j下降，且自某項以后成立著關系：f（u）=u,n=1任意項級數的理論與性質（1）絕對收斂與條件收斂：絕對收斂級數必為收斂級數，反之不然;對于級數￡u，將它的所有正項保留而將負項換為0，組成一個正項級數￡V，其中nnTOC\o"1-5"\h\zn=1 n=1V=un+un；將它的所有負項變號而將正項換為0，也組成一個正項級數工w，其中n2 nn=1W=un-un，那么若級數￡u絕對收斂，則級數?和￡W都收斂；若級數￡un2 n n n nn=1 n=1 n=1 n=1條件收斂，則級數￡n=1

絕對收斂級數的更序級數(將其項重新排列后得到的級數)仍絕對收斂，且其和相同若級數￡u和￡v都絕對收斂，它們的和分別為"和v，則它們各項之積按照任何方nnn=1 n=1式排列所構成的級數也絕對收斂，且和為"V.特別地，在上述條件下，它們的柯西乘積也絕對收斂，且和也為UV.[也絕對收斂，且和也為UV.n=1「nn=1n=1，這里c=uv+uv+ +uv+uv.nn=1n1n2n-1 n-1nn=1(2)交錯級數的斂散性判斷(萊布尼茲判別法):若交錯級數工(-1)n-1u滿足limu=0，1 nsn=1且七｝單調減少(即un>un+1)，則￡(-1)n-1un收斂，其和不超過第一項，且余和的符號n=1與第一項符號相同，余和的值不超過余和第一項的絕對值.二、函數項級數(一)冪級數1.冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域柯西-阿達馬定理：冪級數產氣(x-X0)n在|x—xj<R內絕對收斂，在X—xj>Rn=0內發散，其中R為冪級數的收斂半徑.阿貝爾第一定理:若冪級數￡a”(x-x0)n在x=&處收斂，則它必在X-xj<|&-X0In=0內絕對收斂；又若￡an(x-x0)n在x=&處發散，則它必在|x-x0|>&-x°|也發散.n=0推論1：若冪級數￡axn在x=&(&"0)處收斂，則它必在|x|<|&|內絕對收斂；又若冪nn=0級數￡axn在x=&(&u0)處發散，則它必在|x|>|&|時發散.nn=0推論2：若冪級數￡a.(x-x0)n在x=&處條件收斂，則其收斂半徑R=|&-xj，若又有n=0an>0，則可以確定此冪級數的收斂域.收斂域的求法：令lim<1解出收斂區間再單獨討論端點處的斂散性，取并集.nT8a(x)n2.冪級數的運算性質(1)冪級數進行加減運算時，收斂域取交集，滿足各項相加；進行乘法運算時，有:[Axn"n=0n\abn=°Xi=0s'JXn，收斂域仍取交集.(2)冪級數的和函數S⑴在收斂域內處處連續，且若冪級數*a(x-x0)n在"x0-Rnn=0處收斂，則S(x)在L0—R,x0+R)內連續；又若冪級數*an(x—x)n=0斂，則S(x)在(X0-R,x0+r]內連續.(3)冪級數的和函數S(x)在收斂域內可以逐項微分和逐項積分收斂半徑不變.3.函數的冪級數展開以及冪級數的求和(1)常用的冪級數展開:①ex=1+x+—x2+ +-!-xn+—=^*—，xe(—8,+8).2! n! n!n=0② =1+x+x2+?.?+xn—?= xn，xc(-1,1).1—xn=0，一1字/、

從而， 匕^(一x)1+xn=0

1宇…、一 =L(—1)nx2n.1+x2n=0③sinx=x—1x3+1x5—

3! 5!x2n+1—+(—1)n (2n+1)!+...=￡(—1)nn=0x2n+1(2n+1)!!X6(—8,+8).1.1 x2n④cosx=1——x2+—x4 +(—1)n 2! 4! (2n)!Ex2n(—1)n ，(2n)!n=0X6(—8,+8).ln(1+x)=x——x2+—x3 +(—1)n—i—xn+1+—=*(—1)n—1蘭，xe(—1,1].2 3 n+1 nn=1以(以一1) 以(以一1)—(以一n+1)(1+x)a=1+ax+ x2+—+ xn+—，xG(—1,1).2! ,n!. 1x3 (2n—1)!!x2n+1⑦arcsinx=x+ +—+ 23 (2n)!!2n+1+-=*4n(n!)2(2n+1)n=0竺!一-x2n+1，xe[—1,1]._ 1 …、 1⑧arctanx=x一一x3+ +(—1)n x2n+1+??3 2n+1.=*(—1)n—i—x2n+1，xe[—1,1].2n+1n=0(2)常用的求和經驗規律：級數符號里的部分尤可以提到級數外；系數中常數的冪中若含有n，可以與X的冪合并，如將cn和xn合并為(以)n；對工anxn求導可消去氣分母因式里的n，對工anxn積分可消去匕分子因式里的n+1；n=0 n=0系數分母含n!可考慮ex的展開，含(2n)!或(2n+1)!等可考慮正余弦函數的展開；有些和函數滿足特定的微分方程，可以考慮通過求導發現這個微分方程并求解(二)傅里葉級數狄利克雷收斂定理(本定理為套話，不需真正驗證，條件在命題人手下必然成立)若f⑴以21為周期，且在［—/,/］上滿足：連續或只有有限個第一類間斷點；只有有限個極值點；則f(x)誘導出的傅里葉級數在［-1,1］上處處收斂.傅里葉級數S(x)與f(x)的關系：f(x) ，x為連續點;S(x)=jf(x+0)+f(x—0) ，x為間斷點;2f(—1+0)+f(1—0) 、幾、為頁，匕 ——- 點為邊界點.I2以21為周期的函數的傅里葉展開展開:f(x)?S(x)=%+*(n世‘.n^x)

f(x)?S(x)=%+*n=1In1n1Ja=!J1f(x)dx0 1—1(1)在［—1,1］上展開：〈a=1\lf(x)cos^^dx；氣=(1)在［—1,1］上展開：〈(2)正弦級數與余弦級數：①奇函數（或在非對稱區間上作奇延拓）展開成正弦級數:a0=0<a=0b=-!1f(x)sin^^dx[nl0 l②偶函數（或在非對稱區間上作偶延拓）展開成余弦級數:a0<an=—\lf(x)dx=—\lf(x)cosn^xdx；l0 l（1）卜sinnxdx=('E*1；卜cosnxdx=0;0 n 0（2）J2sinnxdx=—;J2cosnxdx=—sinn^；0 n0 n 2（3）JKxsinnxdx=(**'兀;JKxcosnxdx=(°"__-；JKx2cosnxdx="(*0 n 0 n2 0 n2（4）J v… 1eaxsinnxdx= eax(asinnx-ncosnx)+C；a2+n21eaxcosnxdx= eax(nsinnx+acosnx)+C；a2+n2（5）1 ., 、 1 .z 、八sinaxsinnxdx=一