2023年黑龍江省佳木斯八中高考數學第四次質檢試卷一、選擇題：（40分）1．（5分）已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣2）}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，則A∪B＝（）A．[1，3] B．（2，3] C．[1，+∞） D．（2，+∞）2．（5分）設z的共軛復數是，若z﹣＝4i，z?＝8，則z＝（）A．﹣2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．2+2i或﹣2+2i3．（5分）“sinα＝cosα”是“α＝2k，k∈Z”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．（5分）已知一個圓柱的側面積等于表面積的，且其軸截面的周長是16，則該圓柱的體積是（）A．54π B．36π C．27π D．16π5．（5分）已知函數f（x）的定義域為R，f（x+2）為偶函數，f（2x+1）為奇函數，則（）A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝06．（5分）2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，在酒泉衛星發射中心按照預定時間精準點火發射，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛行乘組狀態良好，發射取得圓滿成功．火箭在發射時會產生巨大的噪音，已知聲音的聲強級d（x）（單位：dB）與聲強x（單位：W/m2）滿足d（x）＝10lg．若人交談時的聲強級約為50dB，且火箭發射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為109，則火箭發射時的聲強級約為（）A．130dB B．140dB C．150dB D．160dB7．（5分）已知函數f（x）的導函數為f'（x），滿足f'（x）＞2f（x）．設a＝e2f（0），，c＝f（1），則（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．（5分）聲音是由物體振動產生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數．若某聲音對應的函數可近似為f（x）＝sinx+sin2x，則下列敘述正確的是（）A．x＝為f（x）的對稱軸 B．（，0）為f（x）的對稱中心 C．f（x）在區間[0，10]上有3個零點 D．f（x）在區間[]上單調遞增二、多選題：（20分）9．（5分）某市教育局為了解雙減政策的落實情況，隨機在本市內抽取了A，B兩所初級中學，在每一所學校中各隨機抽取了200名學生，調查了他們課下做作業的時間，并根據調查結果繪制了如下頻率分布直方圖：由直方圖判斷，以下說法正確的是（）A．總體看，A校學生做作業平均時長小于B校學生做作業平均時長 B．B校所有學生做作業時長都要大于A校學生做作業時長 C．A校學生做作業時長的中位數大于B校學生做作業的中位數 D．B校學生做作業時長分布更接近正態分布10．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則下列結論正確的是（）A．的最小值是4 B．ab+的最小值是2 C．2a+2b的最小值是2 D．log2a+log2b的最小值是﹣211．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點F2的直線與該橢圓相交于A，B兩點，點P在該橢圓上，且|AB|≥1，則下列說法正確的是（）A．存在點P，使得∠F1PF2＝90° B．滿足△F1PF2為等腰三角形的點P有2個 C．若∠F1PF2＝60°，則 D．|PF1|﹣|PF2|的取值范圍為12．（5分）如圖，在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是平面A1BC1內一個動點，且滿足PD+PB1＝，則下列結論正確的是（）A．B1D⊥PB B．點P的軌跡是一個半徑為的圓 C．直線B1P與平面A1BC1所成角為 D．三棱錐P﹣BB1C1體積的最大值為三、填空題：（20分．）13．（5分）二項式（+）8的展開式的常數項是．14．（5分）曲線y＝lnx+x+1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為．15．（5分）已知某超市為顧客提供四種結賬方式：現金、支付寶、微信、銀聯卡，若顧客甲只帶了現金，顧客乙只用支付寶或微信付款，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中三種結賬方式，則他們結賬方式的可能情況有種．16．（5分）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形．設點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，?的最大值為．四、解答題：（70分．）17．（10分）已知a，b，c分別為△ABC內角A、B、C的對邊，sinB﹣sinC＝sinC﹣cosB，且b＞c．（1）求A；（2）若a＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．18．（12分）已知△ABC的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c．a＝2，b＝2，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．（1）求A；（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．19．（12分）主播代言、優惠促銷、限時“秒殺”……目前，各類直播帶貨激起人們的消費熱情，但也存在不少問題．日前，中國消費者協會發布了網絡直播銷售侵害消費者權益案例分析，歸納出虛假宣傳、退換貨難、誘導交易等七大類問題．某相關部門為不斷凈化直播帶貨環境，保護消費者合法權益，進行了調查問卷，隨機抽取了200人的樣本進行分析，得到列聯表如下：參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計女性9030120男性503080總計14060200（1）根據以上數據，判斷是否有90%的把握認為是否參加直播帶貨與性別有關？（2）將頻率視為概率，從樣本的女性中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記抽取的3人中“未參加過直播帶貨”的人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求隨機變量X的分布列和均值E（X）．附：，其中n＝a+b+c+d．P（k2≥k0）0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.02420．（12分）如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點G為弧的中點，且C、E、D、G四點共面．（1）證明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若平面BDF與平面ABG所成銳二面角的余弦值為，求直線DF與平面ABF所成角的大小．21．（12分）橢圓M：+＝1（a＞b＞0）的左頂點為A（﹣2，0），離心率為．（Ⅰ）求橢圓M的方程；（Ⅱ）已知經過點（0，）的直線l交橢圓M于B，C兩點，D是直線x＝﹣4上一點．若四邊形ABCD為平行四邊形，求直線l的方程．22．（12分）已知函數f（x）＝x﹣1﹣alnx．（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥0成立，求實數a的取值集合．

2023年黑龍江省佳木斯八中高考數學第四次質檢試卷參考答案與試題解析一、選擇題：1．（5分）已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣2）}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，則A∪B＝（）A．[1，3] B．（2，3] C．[1，+∞） D．（2，+∞）【答案】C【分析】求出集合A，B，利用并集定義能求出A∪B．【解答】解：集合A＝{x|y＝ln（x﹣2）}＝{x|x＞2}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，則A∪B＝{x|x≥1}．故選：C．【點評】本題考查集合的運算，考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2．（5分）設z的共軛復數是，若z﹣＝4i，z?＝8，則z＝（）A．﹣2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．2+2i或﹣2+2i【答案】D【分析】根據已知條件，結合共軛復數的定義，以及復數的四則運算，即可求解．【解答】解：設z＝a+bi（a，b∈R），z﹣＝4i，z?＝8，則a+bi﹣（a﹣bi）＝2bi＝4i，（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝8，解得a＝±2，b＝2，故z＝2+2i或﹣2+2i．故選：D．【點評】本題主要考查復數的四則運算，屬于基礎題．3．（5分）“sinα＝cosα”是“α＝2k，k∈Z”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據充分必要條件的定義結合集合的包含關系判斷即可．【解答】解：由“sinα＝cosα”得：α＝kπ+，k∈Z，故sinα＝cosα是“”的必要不充分條件，故選：B．【點評】本題考查了充分必要條件，考查三角函數以及集合的包含關系，是一道基礎題．4．（5分）已知一個圓柱的側面積等于表面積的，且其軸截面的周長是16，則該圓柱的體積是（）A．54π B．36π C．27π D．16π【答案】D【分析】設圓柱的底面半徑為r，高為h，由題意列關于r與h的方程組，求得r與h的值，代入圓柱體積公式求解．【解答】解：設圓柱的底面半徑為r，高為h，由題意可得，，解得．∴該圓柱的體積是πr2h＝16π．故選：D．【點評】本題考查圓柱的側面積、表面積與體積的求法，考查運算求解能力，是基礎題．5．（5分）已知函數f（x）的定義域為R，f（x+2）為偶函數，f（2x+1）為奇函數，則（）A． B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0【答案】B【分析】推導出函數f（x）是以4為周期的周期函數，由已知條件得出f（1）＝0，結合已知條件可得出結論．【解答】解：因為函數f（x+2）為偶函數，則f（2+x）＝f（2﹣x），可得f（x+3）＝f（1﹣x），因為函數f（2x+1）為奇函數，則f（1﹣2x）＝﹣f（2x+1），所以，f（1﹣x）＝﹣f（x+1），即f（x+3）＝﹣f（x+1）＝f（x﹣1），∴f（x）＝f（x+4），故函數f（x）是以4為周期的周期函數，因為函數F（x）＝f（2x+1）為奇函數，則F（0）＝f（1）＝0，故f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，其它三個選項未知．故選：B．【點評】本題考查了函數的性質，學生的數學運算能力，屬于基礎題．6．（5分）2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，在酒泉衛星發射中心按照預定時間精準點火發射，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛行乘組狀態良好，發射取得圓滿成功．火箭在發射時會產生巨大的噪音，已知聲音的聲強級d（x）（單位：dB）與聲強x（單位：W/m2）滿足d（x）＝10lg．若人交談時的聲強級約為50dB，且火箭發射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為109，則火箭發射時的聲強級約為（）A．130dB B．140dB C．150dB D．160dB【答案】B【分析】利用題中的公式，直接將數據代入即可解出．【解答】解：設交談時的聲強為x，則50＝10lg，∴x＝10﹣7，所以火箭發射時的聲強為：10﹣7×109＝102，故火箭發射時聲強級為：d（x）＝10lg＝140，故選：B．【點評】本題考查了對數的運算，學生的數學運算能力，屬于基礎題．7．（5分）已知函數f（x）的導函數為f'（x），滿足f'（x）＞2f（x）．設a＝e2f（0），，c＝f（1），則（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【答案】A【分析】依題意，可構造函數g（x）＝，分析知g（x）＝在R上單調遞增，從而可得答案．【解答】解：令g（x）＝，因為對于任意實數x，有f'（x）＞2f（x），則g′（x）＝＝＞0，故g（x）＝在R上單調遞增，所以g（0）＜g（）＜g（1），即＜＜，所以a＝e2f（0）＜＝b＜f（1）＝c，故選：A．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，構造函數g（x）＝，并判定其單調性是解決問題的關鍵，考查推理與運算能力，屬于中檔題．8．（5分）聲音是由物體振動產生的聲波，我們聽到的聲音中包含著正弦函數．若某聲音對應的函數可近似為f（x）＝sinx+sin2x，則下列敘述正確的是（）A．x＝為f（x）的對稱軸 B．（，0）為f（x）的對稱中心 C．f（x）在區間[0，10]上有3個零點 D．f（x）在區間[]上單調遞增【答案】D【分析】利用f（x+a）＝f（a﹣x）知f（x）關于直線x＝a對稱的性質驗證A；求得f（）＝﹣1≠0可判斷B；化簡f（x）＝sinx（1+cosx），令f（x）＝0，得x＝kπ（k∈Z），進而判斷C；利用導數研究函數的單調性可判斷D．【解答】解：對于A．由已知得f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+sin2（π﹣x）＝sinx﹣sin2x，即f（π﹣x）≠f（x），故f（x）不關于x＝對稱，故A錯誤；對于B．f（）＝sin+sin3π＝﹣1≠0，故B錯誤；對于C．利用二倍角公式知f（x）＝sinx（1+cosx），令f（x）＝0得sinx＝0或cosx＝﹣1，即x＝kπ（k∈Z），所以該函數在區間[0，10]內有4個零點，故C錯誤；對于D．求導f′（x）＝cosx+cos2x＝2cos2x+cosx﹣1，令cosx＝t，由x∈[]，知t∈[，1]，即g（t）＝2t2+t﹣1，利用二次函數性質知g（t）≥0，即f′（x）≥0，可知f（x）在區間x∈[]上單調遞增，故D正確；故選：D．【點評】本題考查了三角函數的性質，也考查了利用導數判斷函數的單調性，屬于中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.（多選）9．（5分）某市教育局為了解雙減政策的落實情況，隨機在本市內抽取了A，B兩所初級中學，在每一所學校中各隨機抽取了200名學生，調查了他們課下做作業的時間，并根據調查結果繪制了如下頻率分布直方圖：由直方圖判斷，以下說法正確的是（）A．總體看，A校學生做作業平均時長小于B校學生做作業平均時長 B．B校所有學生做作業時長都要大于A校學生做作業時長 C．A校學生做作業時長的中位數大于B校學生做作業的中位數 D．B校學生做作業時長分布更接近正態分布【答案】AD【分析】根據已知條件，結合頻率分布直方圖，即可依次求解．【解答】解：由直方圖可知，A校學生做作業時長大部分在1﹣2小時，而B校學生做作業時長大部分在2.5﹣3小時，故A正確，C錯誤，B校有學生做作業時長小于1小時的，而A校有學生做作業時長超過5小時的，故B錯誤，B校學生做作業時長分布相對A校更對稱，故D正確．故選：AD．【點評】本題主要考查直方圖的應用，屬于基礎題．（多選）10．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，則下列結論正確的是（）A．的最小值是4 B．ab+的最小值是2 C．2a+2b的最小值是2 D．log2a+log2b的最小值是﹣2【答案】AC【分析】利用基本不等式以及基本不等式的各種變形即可求解．【解答】解：A：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴+＝（+）（a+b）＝++2≥2+2＝4，當且僅當＝，a＝b＝時取等號，∴+的最小值為4，∴A正確，B：∵ab+≥2＝2，當且僅當時取等號，∵無解，∴ab+＞2，∴B錯誤，C：∵a+b＝1，∴2a+2b≥2＝2＝2，當且僅當a＝b＝時取等號，∴2a+2b的最小值為4，∴C正確，D：∵a＞0，b＞0，∴1＝a+b≥2，∴ab≤，當且僅當a＝b＝時取等號，∴log2a+log2b＝log2（ab）≤log2＝﹣2，∴log2a+log2b的最大值為﹣2，∴D錯誤，故選：AC．【點評】本題考查了基本不等式的應用，涉及到基本不等式的變形，考查了學生的轉化能力，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點F2的直線與該橢圓相交于A，B兩點，點P在該橢圓上，且|AB|≥1，則下列說法正確的是（）A．存在點P，使得∠F1PF2＝90° B．滿足△F1PF2為等腰三角形的點P有2個 C．若∠F1PF2＝60°，則 D．|PF1|﹣|PF2|的取值范圍為【答案】ACD【分析】首先求出橢圓方程，當點P為該橢圓的上頂點時，求出∠F1PF2，即可判斷A；再根據|PF2|的范圍判斷B；利用余弦定理及三角形面積公式判斷C；根據橢圓的定義及|PF1|判斷D．【解答】解：根據題意可得c＝，|AB|的最小值為1，所以|AB|min＝＝1，又c2＝a2﹣b2，所以a＝2，c＝，b＝1，故橢圓方程為+y2＝1，當點P為該橢圓的上頂點時，tan∠OPF2＝，所以∠OPF2＝60°，此時∠F1PF2＝120°，所以存在點P，使得∠F1PF2＝90°，故A正確；當點P為該橢圓的上，下頂點時，滿足△F1PF2為等腰三角形，又因為2﹣≤|PF2|≤2+，|F1F2|＝2，所以滿足|PF2|＝|F1F2|的點P有2個，同理滿足|PF1|＝|F1F2|的點P有兩個，故B不正確；若∠F1PF2＝60°，|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2，即|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1|?|PF2|＝12，又|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|＝16，|PF1|?|PF2|＝，所以＝×|PF1|?|PF2|×sin∠F1PF2＝，故C正確；|PF1|﹣|PF2|＝|PF1|﹣（2a﹣|PF1|）＝2|PF1|﹣4，分析可得|PF1|∈[2﹣，2+]，∴|PF1|﹣|PF2|∈[2﹣，2+]，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查橢圓的橢圓的幾何性質，考查運算能力，是中檔題（多選）12．（5分）如圖，在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是平面A1BC1內一個動點，且滿足PD+PB1＝，則下列結論正確的是（）A．B1D⊥PB B．點P的軌跡是一個半徑為的圓 C．直線B1P與平面A1BC1所成角為 D．三棱錐P﹣BB1C1體積的最大值為【答案】ACD【分析】證明出B1D⊥平面A1BC1，利用線面垂直的性質可判斷A選項；利用勾股定理計算出PE的長，可判斷B選項；利用線面角的定義可判斷C選項；計算出△PBC面積的最大值，結合錐體體積公式可判斷D選項．【解答】解：對于A選項，連接B1D1，因為四邊形A1B1C1D1為正方形，則B1D1⊥A1C1，∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，則A1C1⊥DD1，因為B1D1∩DD1＝D1，∴A1C1⊥平面B1DD1，∵B1D?平面B1DD1，∴B1D⊥A1C1，同理可證B1D⊥A1B，∵A1B∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1BC1，∵PB?平面A1BC1，∴PB⊥B1D，A對；對于B選項，設B1D∩平面A1BC1＝E，因為，所以，三棱錐B1﹣A1BC1為正三棱錐，所以，，∵，∴，∵B1D⊥平面A1BC1，PE?平面A1BC1，∴PE⊥B1D，即B1E⊥PE，DE⊥PE，因為，即，∵PE＞0，解得PE＝1，所以，點P的軌跡是半徑為1的圓，B錯；對于C選項，∵B1E⊥平面A1BC1，所以，B1P與平面A1BC1所成的角為∠B1PE，且，∵，故，C對；對于D選項，點E到直線BC的距離為，所以點P到直線BC1的距離的最大值為，因為B1E⊥平面A1BC1，則三棱錐B1﹣BPC1的高為B1E，所以，三棱錐P﹣BB1C1體積的最大值為，D對．故選：ACD．【點評】本題考查了立體幾何的綜合，屬于難題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）二項式（+）8的展開式的常數項是7．【答案】7．【分析】寫出二項式展開式的通項公式，令x的指數為0，解出r，可得常數項．【解答】解：二項式（+）8的展開式的通項公式為Tr+1＝C（）8﹣r（）r＝C（）rx，r＝0，1...8，令8﹣4r＝0，解得r＝2，展開式的常數項是C（）2＝7．故答案為：7．【點評】本題考查二項式展開式的常數項，考查學生計算能力，屬于基礎題．14．（5分）曲線y＝lnx+x+1的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為y＝2x．【答案】見試題解答內容【分析】求得函數y＝lnx+x+1的導數，設切點為（m，n），可得切線的斜率，解方程可得切點，進而得到所求切線的方程．【解答】解：y＝lnx+x+1的導數為y′＝+1，設切點為（m，n），可得k＝1+＝2，解得m＝1，即有切點（1，2），則切線的方程為y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，故答案為：y＝2x．【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程，考查直線方程的運用，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．15．（5分）已知某超市為顧客提供四種結賬方式：現金、支付寶、微信、銀聯卡，若顧客甲只帶了現金，顧客乙只用支付寶或微信付款，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中三種結賬方式，則他們結賬方式的可能情況有20種．【答案】見試題解答內容【分析】排列組合及簡單的計數問題得：分①當結賬方式為現金、支付寶、微信，②當結賬方式為現金、支付寶、銀聯卡，③當結賬方式為現金、微信、銀聯卡，討論即可得解．【解答】解：這四名顧客購物后，恰好用了其中三種結賬方式，①當結賬方式為現金、支付寶、微信，則他們結賬方式有（1+）＝10（種），②當結賬方式為現金、支付寶、銀聯卡，則他們結賬方式有1+＝5（種），③當結賬方式為現金、微信、銀聯卡，則他們結賬方式有1+＝5（種），綜合①②③得：這四名顧客購物后，恰好用了其中三種結賬方式，則他們結賬方式的可能情況有10+5+5＝20種，故答案為：20．【點評】本題考查了排列組合及簡單的計數問題，屬中檔題．16．（5分）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結構示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形．設點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，?的最大值為36．【答案】36．【分析】根據題意建立平面直角坐標系，然后將涉及到的點的坐標求出來，其中P點坐標借助于三角函數表示，則所求的結果即可轉化為三角函數的最值問題求解．【解答】解：據題意：圓D（后輪）的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形．點P為后輪上的一點，如圖建立平面直角坐標系：則A（﹣8，0），B（﹣6，2），C（﹣2，）．圓D的方程為x2+y2＝3，可設P（cosα，sinα），0≤α＜2π，所以＝（6，），＝（cosα+6，sinα﹣2）．故?＝6sinα+6cosα+24＝12（sinα+cosα）+24＝12sin（α+）+24≤12+24＝36，當且僅當α＝時，取得最大值36．故答案為：36．【點評】本題考查數量積的運算、三角函數的性質在實際問題中的應用，同時考查了學生的數學建模的核心素養．屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知a，b，c分別為△ABC內角A、B、C的對邊，sinB﹣sinC＝sinC﹣cosB，且b＞c．（1）求A；（2）若a＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．【答案】（1）．（2）3+．【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡已知等式可得sin（B+）＝sinC，由題意可求得B＞C，進而根據B++C＝π，可得A的值．（2）由已知利用三角形的面積公式可求bc＝2，進而根據余弦定理可求b+c的值，即可求解△ABC的周長的值．【解答】解：（1）因為sinB﹣sinC＝sinC﹣cosB，所以sinB+cosB＝2sinC，即sin（B+）＝sinC，因為b＞c，可得B＞C，所以B++C＝π，可得B+C＝，A＝．（2）因為a＝，△ABC的面積為＝bcsinA，又sinA＝，所以bc＝2，由余弦定理可得cosA＝＝＝，所以＝，可得b+c＝3，所以△ABC的周長的值為3+．【點評】本題主要考查了兩角和的正弦公式，三角形的面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．18．（12分）已知△ABC的內角A，B，C的對應邊分別為a，b，c．a＝2，b＝2，且cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．（1）求A；（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．【答案】（1）π；（2）．【分析】（1）由正弦定理可將等式化簡，再由三角形中的角的范圍求出A的值；（2）由（1）可得求出c邊，進而由余弦定理可得cosC的值，再由三角形AD⊥AC可求出D為CB的中點，可得三角形ABD的面積為三角形ABC的一半，求出三角形ABD的面積．【解答】解：（1）因為cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0，由正弦定理可得：cosA（sinCcosB+sinBcosC）+sinAsinA＝0，可得：cosAsin（B+C）+sin2A＝0，在△ABC中，sin（B+C）＝sinA≠0，所以可得cosA+sinA＝0，即tanA＝﹣，而A為三角形的內角，所以可得A＝π；（2）在△ABC中由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，因為a＝2，b＝2，所以28＝4+c2﹣2×2c?（﹣），解得：c＝4或c＝﹣6（舍），所以c＝4，再由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2bacosC，可得cosC＝，在Rt△ABD中，CD＝＝＝，所以可得CD＝，S△ABD＝S△ABC＝?AB?ACsin∠BAC＝＝?4?2?＝；所以△ABD的面積為．【點評】本題考查了三角形正余弦定理，面積公式的知識點，屬于中檔題．19．（12分）主播代言、優惠促銷、限時“秒殺”……目前，各類直播帶貨激起人們的消費熱情，但也存在不少問題．日前，中國消費者協會發布了網絡直播銷售侵害消費者權益案例分析，歸納出虛假宣傳、退換貨難、誘導交易等七大類問題．某相關部門為不斷凈化直播帶貨環境，保護消費者合法權益，進行了調查問卷，隨機抽取了200人的樣本進行分析，得到列聯表如下：參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計女性9030120男性503080總計14060200（1）根據以上數據，判斷是否有90%的把握認為是否參加直播帶貨與性別有關？（2）將頻率視為概率，從樣本的女性中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記抽取的3人中“未參加過直播帶貨”的人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求隨機變量X的分布列和均值E（X）．附：，其中n＝a+b+c+d．P（k2≥k0）0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.024【答案】（1）有90%的把握認為是否參加直播帶貨與性別有關；（2）分布列見解析，E（X）＝．【分析】（1）直接根據列聯表計算觀測值K2，再根據獨立性檢驗思想判斷即可；（2）由題意，可得X～B，再根據二項分布概率公式求解即可．【解答】（1）解：根據以上數據，得觀測值，所以有90%的把握認為是否參加直播帶貨與性別有關；（2）解：由題意，女生未參加過直播帶貨的頻率為，所以頻率視為概率，每個女生未參加過直播帶貨的概率為，因為每次抽取的結果是相互獨立的，所以X～B，所以，所以，所以隨機變量X的分布列為：X0123P所以隨機變量的均值．【點評】本題考查了獨立性檢驗和離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．20．（12分）如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點G為弧的中點，且C、E、D、G四點共面．（1）證明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若平面BDF與平面ABG所成銳二面角的余弦值為，求直線DF與平面ABF所成角的大小．【答案】見試題解答內容【分析】（1）連接CE，證明CE⊥CG．推出BF⊥CG．證明BC⊥BF．即可證明BF⊥平面BCG，然后證明平面BFD⊥平面BCG．（2）以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設AF＝2，AD＝t，求出平面BDF的一個法向量，求出平面ABG的一個法向量，利用平面BDF與平面ABG所成的銳二面角的余弦值為，求出AD＝2．說明∠DFA就是直線DF與平面ABF所成的角，然后求解即可．【解答】（1）證明：連接CE，因為∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，即CE⊥CG．因為BC∥EF，且BC＝EF，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以BF∥EC，因此，BF⊥CG．因為BC⊥平面ABF，BF?平面ABF，所以BC⊥BF．又因為BC∩CG＝C，所以BF⊥平面BCG，又因為BF?平面BFD，所以平面BFD⊥平面BCG．（2）解：以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設AF＝2，AD＝t，則A（0，0，0），B（0，2，0），F（2，0，0），D（0，0，t），G（﹣1，1，t），于是，，，．設平面BDF的一個法向量為，由，令z＝2，得．設平面ABG的一個法向量為，由，令z'＝1，得．由平面BDF與平面ABG所成的銳二面角的余弦值為，得，解得t＝2，即AD＝2．因為DA⊥平面ABF，所以∠DFA就是直線DF與平面ABF所成的角，在△ADF中，因為∠DAF＝90°，AD＝AF＝2，所以∠DFA＝45°，因此直線DF與平面ABF所成的角為45°．【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應用，二面角以及直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題．21．（12分）橢圓M：+＝1（a＞b＞0）的左頂點為A（﹣2，0），離心率為．（Ⅰ）求橢圓M的方程；（Ⅱ）已知經過點（0，）的直線l交橢圓M于B，C兩點，D是直線x＝﹣4上一點．若四邊形ABCD為平行四邊形，求直線l的方程．【答案】（Ⅰ）+y2＝1；（Ⅱ）y＝±x+或y＝．【分析】（Ⅰ）由左頂點及離心率的值，可得a，c的值，進而求出b的值，求出橢圓的方程；（Ⅱ）設D