圖像處理第6章教材：《數字圖像處理與圖像通信》主講：朱秀昌；輔導：干宗良考查課程，期末書面考試48學時，3學分7/10/20231圖像處理第六章圖像重建

6.1計算機斷層掃描技術6.2投影定理6.3傅立葉投影重建6.4卷積逆投影重建6.5代數重建6.6三維圖像重建的體繪制6.7三維圖像重建的面繪制7/10/20232圖像處理圖像重建：由一系列沿直線投影圖來重建二維圖像，由一系列二維圖像重建三維物體。成像方式：透射斷層成像發射斷層成像反射斷層成像。射線種類：X射線成像、核磁共振成像、正電子發射成像、

超聲成像、微波成像、激光共焦成像、……7/10/20233圖像處理射線投影成像的基本原理：人體組織對X射線吸收和散射，造成衰減，人體內的不同結構，比如脂肪、胰、骨骼對X射線吸收能力有所不同。入射線圖6.1組織對射線的吸收散射線散射線7/10/20234圖像處理投射斷層成像：當射線穿過物體時，在檢測器上得到的遭受物體衰減的值就叫做射線的投影，根據投影可以了解物體對射線的吸收程度。發射斷層成像：發射源在物體內部，將具有放射性的離子（放射元素）注入物體內部，在物體外部檢測其經過物體吸收之后放射量。反射斷層成像：將入射信號（通常是單色平面波）入射到物體上，通過檢測經物體散射（反射）后的信號強度來重建。7/10/20235圖像處理

發射投影成像如，正電子發射成像（PET：PositronEmissionTomography）采用在衰減時放出正電子的放射性離子，放出的正電子很快與負電子相撞湮滅而產生一對相背運動的光子。相對放置的兩個檢測器接收到這兩個光子就可以確定一條射線，檢測器圍繞物體呈環形分布，相對的兩個檢測器構成一組檢測器對，檢測由一對正負電子產生的光子。正電子負電子光子光子PET成像系統示意圖檢測器檢測器7/10/20237圖像處理6.1計算機斷層掃描技術計算機斷層掃描技術又稱為計算機層析或CT（ComputedTomography)利用數字圖像處理技術來獲取三維圖像。CT機通常包括X射線管、X射線檢測器、掃描機架、病人床、用來重建圖像結構的工作站。圖6.3CT掃描成像的示意圖7/10/20238圖像處理CT實例：掃描系統的X射線源和檢測器，始終保持嚴格的相對靜止；射線管發出的是直線形波束，掃描機構圍繞人體作旋轉加平移運動；以檢測器的位置為自變量，就構成如圖6.4(b)的電流—位置函數曲線。圖6.4CT一次平移掃描所獲得的輸出信號7/10/202310圖像處理第一次直線平移掃描完畢后，掃描系統旋轉一個小角度，再作第二次直線式平移掃描，獲得另一組投影數據；重復以上過程，便得到很多組投影數據；對這些數據進行處理形成三維圖像。圖6.5頭顱CT掃描成像示意圖7/10/202311圖像處理6.2投影定理一個N維函數在第N

-1維上的映射稱為函數

f在第N

-1維的投影。二維：函數f(x,y)在x軸上（沿y方向）的投影函數f(x,y)在y軸上（沿x方向）的投影設f(x,y)

的傅立葉變換為F(u,v)，可得：（6.1）（6.2）（6.3）7/10/202312圖像處理沿y軸的投影圖示沿y軸的的投影示意圖f(x,y)(a)二維函數f(x,y)在x軸上投影yxgy(x)

(b)f(x,y)傅立葉變換F(u,v)在u軸上切片F(u,v)vuF(u,0)7/10/202314圖像處理假設函數f(x,y)沿著t1方向投影到一條和t1垂直的直線上

s，t是一條與t1平行經過原點的直線，與t垂直經過原點的直線為s，該直線s與x軸的夾角為θ，直線t1離開原點的距離為s1，如圖6.6所示。以s和t可用θ為極坐標：函數f(x,y)

沿著t1方向s投影為：圖6.6坐標旋轉關系(6.5)7/10/202315圖像處理上式表明，f(x,y)在一條與x軸夾角為θ，離開原點距離為r的直線上的投影的傅立葉變換等于二維傅立葉變換在與u軸成θ方向上的切片，這就是投影定理，也稱之為切片定理。顯然，如投影變換G(r,θ)中對所有的r和θ值都是已知的，則圖像的二維傅立葉變換也可以完全確定，進行二維傅立葉反變換，就可以得到f(x,y)，這就是三維圖像重建技術的基礎。圖6.7投影定理示意圖f(x,y)yxθ

vuF(u,v)F(r,θ)tsθ

7/10/202317圖像處理投影定理推廣到三維：令f(x,y,z)表示一個三維物體，它的三維傅立葉變換為如ω=0其中gz(x,y)正是f(x,y,z)在(x,y)平面上的投影，即表明了f(x,y,z)在(x,y)平面上投影的傅立葉變換與f(x,y,z)的三維傅立葉變換F(u,v,ω)在ω=0平面上的切面F(u,v,0)相等。在與(x,y)平面成夾角為θ的平面上投影的傅立葉變換，等于三維傅立葉變換F(u,v,ω)在與(u,v)平面成θ角的切面F(u,v,θ)。（6.10）（6.9）（6.8）7/10/202318圖像處理6.3傅立葉投影重建傅立葉投影重建的基礎：傅立葉投影定理。根據投影定理，就可以得到F(u,v)分別在相應角度位置上的切片；當切片趨向無窮多，就可獲得在(u,v)平面上的所有F(u,v)值；由F(u,v)進行傅立葉反變換就可以重建圖像f(x,y)。將f(x,y)沿s方向的投影表達式及其一維傅立葉變換式改寫為：令u=Rcosθ,v=Rsinθ，根據投影定理，用極坐標(R,θ)來表示:可見，如果知道所有R和θ的投影變換值G(R,θ)，則變換域的二維函數將全部確定。然后，取傅立葉反變換就可以得到圖像函數。（6.11）（6.12）（6.13）7/10/202319圖像處理利用傅立葉變換的共軛對稱性，積分限由0～2π換成0～π，R→|R|后，積分限由0～∞換成－∞～+∞。上式可寫成：記傅立葉投影重建圖像為：（6.16）（6.15）（6.14）7/10/202320圖像處理以上是理想的情況－－可以獲得無窮多個投影，對連續圖像的傅立葉重建。如果只有有限個角度的投影g(ρ,θn)(θn表示nθ)，G(R,θ)可用在一系列采樣點(m△s,θn)

上對g(?)求和得到(△s為沿著射線方向采樣點的間距，采樣點數為M)，于是式(6.13)可寫成：

令R=k△R(k為整數，△R為頻率域上采樣間距，采樣點數為M)，取則有

根據極坐標上點(k△R,n△θ)的值G(k△R,θn)插值出在直角坐標上點(k△u,n△v)的值F(k△u,n△v)，從而反傅立葉變換得到f(k△x,n△y)。（6.18）（6.17）7/10/202321圖像處理注意：必須得到所有投影數據后再能重建圖像，不能根據所獲得的部分投影數據重建圖像，重建圖像需要進行傅立葉反變換。傅立葉變換法步驟：(1)對N個不同θ方向上投影進行一維傅立葉變換。

(2)在傅立葉變換空間從極坐標向直角坐標插值。

(3)利用式(6.15)或離散形式的傅立葉頻譜進行反變換得到重建圖像。圖6.8傅立葉空間的直角和極坐標網格7/10/202322圖像處理在計算投影的一維傅立葉變換F(R,θ)時，R為頻域極軸變量。投影數據g(ρ,θ)總是被有限截斷。當ρ的取樣間隔為d時，在頻率R的變化范圍將是-d/2～d/2，于是投影切片定理可近似寫成:記因為，上式又可寫成（6.19）（6.20）（6.21）7/10/202324圖像處理由(6.15)可知：卷積逆投影法重建圖像為：由式（6.21）可知，右邊正是投影數據g(ρ,θ)與脈沖響應h(ρ)所表示的濾波器的卷積，h(·)為卷積函數。求f’(x,y,θ)

則是在θ角方向上卷積了的投影，因此從式（6.22）求f(x,y)可被認為是求逆投影過程，即卷積逆投影重建法。（6.21）（6.22）7/10/202325圖像處理用極坐標表示，并用離散值代替連續積分，則式(6.21)可以寫成：用極坐標和直角坐標之間的關系，求出與極坐標點相對應的直角坐標系上的點，從而得到用離散值表示的，最后，根據求逆投影式(6.22)得到重建的圖像：(6.23)和(6.24)是一組便于計算機快速運算的表達式。（6.23）（6.24）7/10/202327圖像處理卷積逆投影重建法的重建濾波器。1/2dvu-1/2d|R|H(R)圖7.12重建濾波器的頻率響應7/10/202328圖像處理6.5代數重建投影重建的傅立葉變換法和濾波器逆投影都在變換域（頻率域）內處理；這兩種方法都在連續域內進行解析處理，為便于計算機實現，引入離散化和有限近似。代數重建技術則是屬于另一類方法，也稱為級數展開法，它是一種逐次逼近的迭代算法。代數重建法：需要在重建的目標上加一柵格，將目標劃分為許多等大小的體積單元，計算每個體元的衰減系數，寫成矩陣形式如下：Y=AX；在許多位置，射線束只是部分地通過一些體元。7/10/202329圖像處理代數法重建：切片＋柵格＝小體積元（小立方體）圖6.9掃描重建柵格7/10/202330圖像處理迭代方法來求解式(6.26)的基本思想：根據物體已有的先驗知識，先對未知圖像的各像素都賦予一個初始估值，利用這些假設數據去計算各射線穿過對象時可能得到的投影值,將算得的值和實測投影值進行比較，按照差異獲得一個修正值，根據這些修正值，修正各對應射線穿過的諸像素值，如此反復迭代，直到計算值和實測值接近所要求的精度為止。7/10/202331圖像處理具體實施步驟如下：(1)對于未知圖像各像素均給予一個假定的初始值，從而得到一幅初始計算圖像，如設各像素的初始值均為0。(2)根據假設圖像，求對應第i條射線穿過時，各體單元應得到的各個相應投影值Z1*，Z2*，…，Zn*。(3)將計算值Z1*，Z2*，…，Zn*和對應的實測值Z1，Z2，…，Zn進行比較，然后取對應差值ΔZi=Zi－Zi*作為修正值。(4)用每條射線的修正值來修正和該射線相交的諸像素值。(5)用修正后的像素值重復(1)～(4)步，直到計算值和實測值之差，即修正值小到所允許的精度為止。7/10/202332圖像處理四單元矩陣實例：第一次運算是：水平照射后，將射線和放入圖像單元，即：構成第二次運算是：垂直照射后，再將射線和加到上面那個圖像單元中去，即：

02132244243759157/10/202333圖像處理第三次運算是：取對角線方向的照射(向右上方向)，獲得的射線和加到前圖像單元中去，即：第四次運算是：取向左上方的對角線照射，并將此射線和加到前面所獲得取的圖像單元中去，即：最后一次運算是：從每個圖像單元中減去最小數6，然后用3去除每個單元值，便可解出該問題開始的那個矩陣。3108120332316129157/10/202334圖像處理6.6三維圖像重建的體繪制前面：傅立葉投影重建、卷積逆投影重建、代數法重建－－進行降維處理，重建的基礎是投影切片定理，三維物體的重建是從大量的二維投影圖像得到，二維圖像的重建是從大量的一維投影圖像得到，這類重建方法在CT、核磁共振中應用廣泛，重建圖像質量較高。本章：三維圖像重建－－“直接體繪制法”－－“三維圖像顯示技術”，“三維空間數據可視化”實際應用中，要求在獲得大量二維切片圖像之后，希望能觀察到三維圖像，即三維圖像顯示，獲得更加直觀、逼真、形象的視覺效果。關鍵：已知物體的各層切片圖像，通過三維重建在屏幕上顯示物體。7/10/202335圖像處理對于分布在三維空間的大量數據來說，比較簡單的一種是這些數據均勻地分布在三維網格點上，即在x，y，z三個方向上，網格點之間的距離均相等，如圖所示。圖6.10規則數據場示意圖及掃描得到的頭部切片圖7/10/202336圖像處理在三維空間的規則數據場中，無需給出各數據點空間位置，只要給出三維網格某一角點的空間位置和某一數據點的序號（第k層的i，j值），即可根據網格間距所對應的距離求出該點的空間位置。每個網格是結構化數據的一個元素，通常叫做“體元”(Voxel)，數據場的函數值f(i,j,k)

對應于三維空間(i,j,k)

的位置。圖6.10(b)是掃描得到的一系列頭部切片圖像的其中三幅切片。直接體繪制：將已采集到計算機上的三維離散數據場重新采樣（先重構再采樣），按照一定的規則轉換為圖像顯示緩存中的二維離散信號。注：將三維離散（圖像）數據場集合稱為物體空間，將顯示圖像的屏幕稱為圖像空間，如圖6.11所示。7/10/202337圖像處理體繪制方法中最常見的有兩種：（1）圖像空間掃描的體繪制法：如圖，從圖像空間到物體空間的方法。圖6.11重構和重采樣圖6.12光線投射體繪制的重采樣7/10/202338圖像處理（2）物體空間掃描的體繪制法：如圖，從物體空間到圖像空間的方法。圖6.13空間采樣點對屏幕的貢獻示意圖7/10/202339圖像處理光線投射體繪制方法：是一個三維離散數據場的重采樣和圖像合成的過程(1)對物體空間的三維離散數據場進行預處理；(2)從圖像空間——顯示屏幕上的每一個像素點根據設定的觀察方向發出一條投射光線；(3)為了增強三維逼真效果，突出顯示不同組織的邊界面，可以采樣表面明暗計算；(4)計算每條射線對屏幕像素點的貢獻。用該方法對40幅頭部切片重建結果如圖所示。圖6.14頭部切片數據光線投射重建后顯示7/10/202340圖像處理6.7三維圖像重建的面繪制面繪制技術：由已知物體的三維網格離散數據，在三維空間數據場中構造出中間幾何圖元，然后再由傳統的計算機圖形學技術實現面繪制。面繪制方法構造出的可視化圖形當中間幾何圖元較小時，可以得到光滑的表面和清晰的圖像，而且在構造出中間圖元之后，可以利用現有的圖形硬件實現繪制功能，速度比體繪制要快，因而得到了廣泛的應用。面繪制的典型算法：立方體步進法（MC法：MarchingCubes)，四面體步進法（MT法：MarchingTetrahedra)、剖分立方體法(DividingCubes)等。7/10/202341圖像處理對于三維數據場，確定的是物體表面輪廓信息，類似于二維圖像的邊緣輪廓線信息。需要以下幾個步驟：1.確定包含表面輪廓面的體元：離散的三維空間數據場中的一個體元如圖6.10(a)所示，8個數據點位于該體元的8個角點位置上。如果一個體元的8個角點位置用A，

B，…，F表示，其8個角點對應的狀態為1，0，0，0，0，0，0，0，則等值面必定與AB、AD、AE相交。每個體元有8個角點，每個角點有0，1兩種可能狀態，因此，每個體元的8個角點共有個不同的狀態。圖6.17角點的狀態及其體元與等值面的相交7/10/202342圖像處理我們可以利用不同種對稱性將256種狀態簡化為下面的15種狀態。1)繞3條坐標軸的任一軸旋轉，2)沿3條坐標軸的任一軸鏡向反轉。圖6.18體元角點和等值面的不同分布7/10/202343圖像處理

2.等值面與體元相交的